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文档简介
1、专题:基本不等式基本不等式求最值 利用基本不等式求最值:一正、二定、三等号三个不等式关系: (1)a,bR,a2b22ab,当且仅当ab时取等号 (2)a,bR,ab2,当且仅当ab时取等号 (3)a,bR,()2,当且仅当ab时取等号上述三个不等关系揭示了a2b2 ,ab ,ab三者间的不等关系其中,基本不等式及其变形:a,bR,ab2(或ab()2),当且仅当ab时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知且,则的最小值为 .练习:1若实数满足,且,则的最小值为 2.若实数满足,则的最小值为 3.已知,且,则的最小值为
2、.【典例2】已知x,y为正实数,则的最大值为 【典例3】若正数、满足,则的最小值为_.变式:1.若,且满足,则的最大值为_.2.设,则的最小值为_ 3.设,则的最大值为_ 4.已知正数,满足,则的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数满足,则的最小值为 练习1已知正数满足,则的最小值为 .2.已知正数满足,则的最小值为 3已知函数的图像经过点,如下图所示,则的最小值为 .4己知a,b为正数,且直线 与直线 互相平行,则2a+3b的最小值为_5.常数a,b和正变量x,y满足ab16,.若x2y的最小值为64,则ab_.6.已知正实数满足,则的最大值为 【题型三】代入消元法【典例5
3、】(苏州市2016届高三调研测试·14)已知,则的最小值为 练习1设实数x,y满足x22xy10,则x2y2的最小值是 2已知正实数x,y满足,则x + y 的最小值为 3已知正实数满足,则的最小值为 4.若,且,则使得取得最小值的实数= 。5.设实数x、y满足x2xy10,则xy的取值范围是_6.已知,且,求的最大值为_【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)ax2xb(a,b均为正数),不等式f(x)0的解集记为P,集合Qx|2tx2t若对于任意正数t,PQÆ,则的最大值是 2已知正数a,b,c满足b+ca,则+的最小值为练习1若实数x,y满足2x2xyy21,则的最
4、大值为 2设是正实数,且,则的最小值是_.3.若实数x,y满足2x2xyy21,则的最大值为 4若实数满足,当取得最大值时,的值为 .【题型五】判别式法【典例7】已知正实数x,y满足,则xy的取值范围为 练习1.若正实数满足,则的最大值为 2.设,则的最大值为_ 变式1在平面直角坐标系中,设点,若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值是 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法:将所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数,有1)对恒成立2)对恒成立分离变量法:若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有:1)恒成立2)恒成立确定主元法:如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。2设二次函数(为常数)的导函数为对任意,不等式恒成立,则的最大值为 【题型六】分离参数法【典例8】已知x0,y0,若不等式x3+y3kxy(x+y)恒成立,则实数k的最大值
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