三角形外角的性质及应用3

1、三角形外角的性质及应用蔡志武阮正法角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一. 三角形外角的概念及特征如图1，像ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如ACD的顶点C是ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如ACD的一条边AC正好是ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如ACD的边CD是ABC的BC边的延长线。二. 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。3. 三角形的一个外角大于任何一个和它

2、不相邻的内角。4. 三角形的外角和等于360°。三. 应用1. 求角的度数例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（ ）A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°解析：如图2，A的外角为：180°=125°。B的外角为：180°65°=115°ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D。图2例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB/CD，B=23

3、6;，D=42°，则E=（ ）A. 23°B. 42°C. 65°D. 19°图3解析：延长BE交CD于F因为AB/CD所以1=B=23°BED是EDF的外角则BED=1+D=23°+42°=65°故选C。例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，BAD=，且AE=AD，则EDC=（ ）A. B. C. D. 图4解析：设EDC=x°因为ADC是ABD的外角所以ADC=ABC+BAD即ADE+x=ABC+（1）因为AB=AC，AD=AE所以B=C，ADE=AED而AED是DEC的外角所

4、以AED=EDC+C即AED=x+C（2）将（2）代入（1）得：所以所以选A。2. 判定三角形的形状例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种情况都有可能解析：如图5，在三角形ABC中，BAC的外角CAD<BAC而CAD+BAC=180°即：CAD=180°BAC所以180°BAC<BAC所以BAC>90°故选C图53. 证明两角相等例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC

5、边上，且ADE=B，AD=DE。求证：ADBDEC。图6分析：因为ADC是ADB的外角所以ADC=B+BAD而ADE=B，ADC=ADE+CDE所以ADE+CDE=ADE+BAD因此BAD=CDE又AB=AC，可得B=C而AD=DE所以ADBDEC例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60°，BP=1，则ABC的边长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6图7分析：因为ABC为等边三角形，所以B=C=60°又因为APC是ABP的外角所以APC=B+BAP而B=APD=60°所以BAP=CPD又B=C，所以ABPP

6、CD所以。设ABC边长为x，则解得x=3故选A4. 证明角度不等关系例7. 已知，如图8，在ABC中，D是三角形内一点，求证：BDC>BAC。图8证明：延长BD交AC于E在ABE中，BEC>A在CDE中，BDC>BEC所以BDC>A例8. 已知：如图9，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，E是AD上一点，求证：DEC>ABC。图9证明：因为BAC=90°所以BAD+DAC=90°又因为ADBC所以ADB=90°所以ABC+BAD=90°所以ABC=DAC又因为DEC是AEC外角所以DEC>DAC所以DE

7、C>ABC5. 证明角度的和差关系例9. 如图10，已知：在ABC中，AB>AC，AEF=AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：。图10证明：因为AEF=B+G又因为AEF=AFE，AFE=GFC所以AEF=GFC所以GFC=B+G又因为ACB=GFC+G+得：ACB=B+2G所以例10. 如图11，求证：A+B+C+D+E=180°。图11证明：如图11，1=C+D，2=A+E而1+2+B=180°所以A+B+C+D+E=180°练习：1. （1996年昆明市中考）如图12，、分别是ABC的外角，且，则ACB等于（ ）A. 20°B. 30°C. 40°D. 80°图122. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P。若A=50°，则BPC的度数是（ ）A. 150