相似三角形判定

1、定义定义判定方法判定方法全等全等三角三角形形相似相似三角三角形形回顾并思考三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角ASA边边边AAS角角边边角边SAS斜边与直角边HL 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？SSS 对应角对应角_, 对应边对应边的的两个三角形两个三角形, 叫做相似三角形叫做相似三角形 .相等相等成比例成比例 相似三角形的相似三角形的, 各对应边各对应边。对应角相等对应角相等成比例成比例A=D, B=E, C=FEFBCDFACDEAB ABC DEFABCDFE 相似比相似比: =kDFACEFBCDEABk=1 两三角形全等

2、两三角形全等1、让我们先从最常见的三角尺开始。30与60的直角三角形45与45的直角三角形如果一个三角形的三个角分别与另一个三角如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？形的三个角对应相等，那么它们相似吗？DEF5182任意画两个三角形，使三对角分任意画两个三角形，使三对角分别对应相等，再量一量对应边，别对应相等，再量一量对应边，看看是否成比例看看是否成比例.ABC82474751你发现了什么，这两个三角形相似吗？你发现了什么，这两个三角形相似吗？53610612探究1 如果两个三角形三组对应角分别相等，如果两个三角形三组对应角分别相等， 那么这两个三角形的对应

3、边一定成比例那么这两个三角形的对应边一定成比例。知识小结：知识小结： 。如果两个三角形三组对应角分别相等，如果两个三角形三组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。那么这两个三角形相似。相似三角形的定义相似三角形的定义三角形内角和三角形内角和180180如果两个三角形有两组对应角分别相等，如果两个三角形有两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。那么这两个三角形相似。已知在已知在ABC和和ABC中中.A=A ， B=B 求证：求证：ABCABCDEABCABC如果一个三角形的两个角分别与另外一个三角形的如果一个三角形的两个角分别与另外一个三角形的两两个角个角对应相等，那么这两个三角形相似简称：对

4、应相等，那么这两个三角形相似简称：两角两角对应相等，两三角形相似。对应相等，两三角形相似。 A=D， B=E ABC DEFBACEDF下列图形中两个三角形是否相似？ABC ABC小试牛刀小试牛刀ABC不相似于不相似于ABCABC ADE做题时要注意题目隐含的条件：做题时要注意题目隐含的条件：对顶角相等、公共角对顶角相等、公共角.ABC DEC例例2. 如图，如图，ABC中，中， DEBC，EFAB， 求证；求证；ADEEFC. 师生互动师生互动 ADEB AEDC又又 EFAB（已知）已知） BEFC ADE EFC 证明证明 DEBC （已知）已知） ADEEFC（两个角分别两个角分别对应

5、相等的两个三角形相似）对应相等的两个三角形相似）还有其他还有其他解法吗？解法吗？法二法二 DEBC （已知）已知）ADEABC又又 EFABEFCABCADEEFC“双垂直”三角形BDAC有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABCAD C CBD ABC常用的成比例的线段：常用的相等的角：A =DCB ；B =ACD2ACAD AB2BCBD AB2CDAD DBBDAC练习练习2 2、如图、如图1 1，要使，要使ABCABCACACD D， 只需要条件只需要条件 ；3 3、如图、如图2 2，要使，要使ABEABEACDACD， 只需要条件只需要条件 ；ABCD图1ABCED

6、图2B F A DC E例例4、如图如图,E,E是平行四边形是平行四边形ABCDABCD的的CDCD边上一边上一点点, ,连结并延长连结并延长AEAE交交BCBC的延长线于点的延长线于点F.F. 求证求证: :F FE ED DC CB BA AADAB=FBED 观察图23310，如果有一点E在边AC上移动，那么点E应该在什么位置才能使ADE与ABC相似呢？E图23.3.10图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为 将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE AC时，ADE与ABC似乎相似此时31ABAD=_31边角边SAS探究2已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC111

7、1,ABBCkABBC求证：B =B1 .你能证明吗？如果一个三角形的两条边分别与另一个三角如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么它们相似吗？么它们相似吗？类比全等SAS已知在已知在ABCABC和和ABCABC中中. . A=A A=A ， 求证：求证：ABCABCABCABCDEABCABCCAACBAAB如果相等的角不是成比例两边的夹角，那么这两个三角形还相似吗？ A AB BC CD DE EF F ABC DEF B=E如果一个三角形的如果一个三角形的两条边两条边分别与另外一个三角形的分别与另外一个三角形的两

8、两条边条边对应成比例，并且对应成比例，并且夹角夹角相等，那么这两个三角形相等，那么这两个三角形相似简称：相似简称：两边对应成比例且夹角相等的两个三角两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似形相似.。2、如图，D在ABC的AB边上， AD=1,BD=2, AC= . 问：ACD与ABC相似吗？3ABCD1、依据下列各组条件，证明ABC和A B C 相似. A40，AB8，AC15， A 40，A B 16，A C 30 ABCD4、如果AFAC=AEAB,那么相似三角形 有多少组？分别是？B BC CD DE EF FA A3、如图所示，D是ABC的边AB上的一点，根据下列 条件，可证明ABCA

9、CD的是（ ） A. ACAB=ACCD C. AC2=ABAD B. BCAD=CDAC D. CD2=ADBDC C如果两个三个形两边对应成比例，增加三边对如果两个三个形两边对应成比例，增加三边对应成比例，这两个三个形相似吗？应成比例，这两个三个形相似吗？ 做一做：做一做：在图23313的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ 图23.3.13边边边SSS已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC111111.ABBCACABBCAC求证：有效利用判定定理一去求

10、证。探究1 证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .11A B1ADAB11DEB C11AC1111A DEA B CA1B1C1ABCDE11111111ADAEDEABBCAC1111111,ABBCACADABABBCAC1AEAC,DEBC111ABCABC1ADEABC又A1B1C1ABCDE111111111,AEDEBCACBCBCACAC（SSS）1111ADEABC 如果两个三角形的三组对应边的比相等（成比例），那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之一ABCA1B1C1.111111,A BB CA CA BB CA

11、 C即：如果那么A1B1C1ABC 三边对应成比例，两三角形相似。边边边SSSABBCACADDEAE，求证：BAD=CAE。ADCEBABCADEBAC=DAEBACDAC =DAEDAC即BAD=CAE已知：解：ABBCACADDEAE，ABCEDF 2. ADBC于点D， CEAB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF 3. 过ABC(CB)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与ABC相似，这样的直线有几条？CD BCADEEBCAD ADE ABC AED ABCA=AAED=CA=AAED=B作DE，使AED=C作DE，使AED=B

12、这样的直线有两条：1. 相似图形-三角形的判定方法： 通过定义 平行于三角形一边的直线 三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角对应相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL） 4. 已知：如图，ABEF CD，图中共有_对相似三角形。CDABEFO3EOFCOD ABEFAOB FOE ABCDEFCDAOB DOC 5. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_。 6. 若ABC与ABC相似，一组对应边的长为AB=3 cm，AB=4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_。 7. 若ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个ABC的最小边长为12 cm，那么ABC的最大边长是_。全等4324cm 8. 如图，在ABC中，DGEHFIBC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1:4例例5、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，E是是BC边的中点，边的中点，点点P在射线在射线AD上，过