安徽省马鞍山市2017年高考数学一模试卷(理科)-Word版含答案(共26页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2017年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分1集合A=0，1，2，B=x|x=32a，aA，则AB=（）A1B1，2C0，1，2D2已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a的值为（）A0B1C2D0或23已知等差数量an前5项和为35，a5=11，则a4=（）A9B10C12D134已知函数f（x）=cos（2x）（xR），下列命题正确的是（）A若f（x1）=f（x2）=0，则x1x2=k（kZ）Bf（x）的图象关于点（，0）对称Cf（x）的图象关于直线x=对称Df（x）在区间（，）上是增函数5已知双曲线的一个焦点坐标为（0，

2、2），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）Ay2=1B=1Cx2=1D=16设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A“m，m”是“”的充分不必要条件Bmn时，“m”是“n”的必要不充分条件Cn时，“m”是“mn”的既不充分也不必要条件Dm，n时，“mn”是“”的充要条件7我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A1365石B338石C168石D134石8设，是平面上的三个单位向量，且=，则（2+）（）的最小值是（）A2B1CD09已

3、知平面区域=（x，y）|x0，y0，x+y2，A=（x，y）|x1，y1，x+y1，若在区间内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）ABCD10一个几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A6B6C6+D6+11已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（1）=0，若f（x2）0，则x的取值范围是（）A1，3B1，22，3C1，23，+D，13，+12设数列an的前n项和为Sn，对任意nN*，函数f（x）=x2Sncosx+2ann在定义域内有唯一的零点若不等式对任意nN*恒成立，则实数的最小值是（）A1BCD2二、填空题：每小题5分，共20分136展开式中的常数项等于14执

4、行如图所示的程序框图，则输出的S的值为15已知圆的圆心在曲线y2=x上，且与直线x+2y+6=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为16已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+（a1）f（x）=a有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是三、解答题17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2c2=2b2（）求C的大小；（）若ABC的面积为21，求b的值18（12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一PM2.5日均值越小，空气质量越好.2012年2月29日，国家环保部

5、发布的环境空气质量标准见表：针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理马鞍山市环保局从市区2015年11月12月和2016年11月12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）PM2.5日均值k（微克）空气质量等级k35一级35k75二级k75超标（）分别求这两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2016年11月12月的空气质量是否比2015年同期有所提高？（）在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望19（12分）如图，在四棱锥SABCD中，点O是正方形ABCD的中心，SO平面

6、ABCD，且SO=OD，点P为棱SD上一点（） 当点P为棱SD的中点时，求证：SD平面PAC；（）是否存在点P，使得直线BC与平面PAC所成角的正弦值为？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由20（12分）已知椭圆E： +=1（ab0）的焦距为4，过焦点且垂直于x轴的弦长为2（）求椭圆E的方程；（）过椭圆E右焦点的直线l交椭圆于点M，N，设椭圆的左焦点为F，求的取值范围21（12分）设函数f（x）=axlnx+（a0）（）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（x）ax，若g（x）0恒成立，求a的取值范围四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

7、记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数，R），在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线（）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（）若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值五、选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|xa|（）若a=1，解不等式：f（x）4|x3|；（）若f（x）1的解集为0，2，（m0，n0），求mn的最小值2017年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题：每小题5分，共60分1集合A=0，1，2，B=x|x=32a，aA，则AB=（）A1B

8、1，2C0，1，2D【考点】交集及其运算【分析】由题意求出集合B，由交集的运算求出AB【解答】解：集合A=0，1，2，B=x|x=32a，aA，集合B=3，1，1，则AB=1，故选A【点评】本题考查了交集及其运算，属于基础题2已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a的值为（）A0B1C2D0或2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数=为纯虚数（其中i为虚数单位），则=0，0，解得a=2故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知等差数量an前5项和为35，a5=11，则a4=（）

9、A9B10C12D13【考点】等差数列的通项公式【分析】设等差数列的首项为a1，由已知列式求得a1，进一步求得公差，再由通项公式求得a4 【解答】解：设等差数列的首项为a1，a5=11，S5=35，解得：a1=3d=a4=a1+3d=3+3×2=9故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础的计算题4已知函数f（x）=cos（2x）（xR），下列命题正确的是（）A若f（x1）=f（x2）=0，则x1x2=k（kZ）Bf（x）的图象关于点（，0）对称Cf（x）的图象关于直线x=对称Df（x）在区间（，）上是增函数【考点】正弦函数的对称性【分析】利用余弦函数

10、的对称性质可知，2x=k可得对称轴，2x=k+，可得其对称中心，根据2k2x2k单调递减，可得增区间【解答】解：函数f（x）=cos（2x）（xR），其周期T=，一个周期有两个零点，即f（x1）=f（x2）=0，则x1x2=k（kZ）故A不对余弦函数的性质可知：由2x=k+，可得其对称中心为（，0），经考察，故B不对由2x=k可得其对称中轴x=k+，（kZ），经考察，故C不对由2k2x2k可得增区间为，f（x）在区间（，）上是增函数故选D【点评】本题考查余弦函数的对称性的应用，属于中档题5已知双曲线的一个焦点坐标为（0，2），它的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的方程为（）Ay2=1

11、B=1Cx2=1D=1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程【分析】判断双曲线的焦点坐标所在轴，然后求解双曲线方程【解答】解：双曲线的一个焦点坐标为（0，2），焦点坐标在y轴，方程设为，可得： m，解得m=1，所求双曲线方程为：x2=1故选：C【点评】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，是基础题6设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A“m，m”是“”的充分不必要条件Bmn时，“m”是“n”的必要不充分条件Cn时，“m”是“mn”的既不充分也不必要条件Dm，n时，“mn”是“”的充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用线面面

12、面平行与垂直的判定及其性质定理即可判断出关系【解答】解：A“m，m”是“”的既不充分也不必要条件，因此不正确；Bmn时，“m”是“n”的既不充分也不必要条件，因此不正确；Cn时，“m”是“mn”的充分但不必要条件，因此不正确；Dm，n时，“mn”是“”的充要条件，正确故选：D【点评】本题考查了线面面面平行与垂直的判定及其性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A1365石B338石C168石D134石【考点】简单随

13、机抽样【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1524×=168石，故选：B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础8设，是平面上的三个单位向量，且=，则（2+）（）的最小值是（）A2B1CD0【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得（2+）（）=（2）当且仅当与（2）方向相同时，取等号，问题得以解决【解答】解：，是平面上的三个单位向量，且=，则（2+）（）=22+=2×（2）1=（2）1=，当且仅当与（2）方向相同时，取等号，故选：C【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数

14、量积的定义，属于基础题9已知平面区域=（x，y）|x0，y0，x+y2，A=（x，y）|x1，y1，x+y1，若在区间内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：区域=（x，y）|x0，y0，x+y2，表示的图形是第一象限位于直线x+y=2的下方部分，面积S=2再观察集合A=（x，y）|x1，y1，x+y1，表示的图形的面积为=，根据几何概率的公式，得向区域上随机投一点P，P落入区域A

15、的概率为P=故选C【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题10一个几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A6B6C6+D6+【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知该几何体是棱长为1是正方体，在一个顶点处挖去半径为1的球体，结合图中数据求出其表面积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为1是正方体，在一个顶点处挖去半径为1的球体，如图所示；则其表面积为S=6×123××12+×4×12=6+故选：D【点评】本

16、题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是易错题11已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（1）=0，若f（x2）0，则x的取值范围是（）A1，3B1，22，3C1，23，+D，13，+【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行求解即可【解答】解：奇函数f（x）在区间（0，+）单调递增，函数f（x）在区间（，0）上单调递增，由f（1）=0，f（x2）0，即f（x2）f（1）或f（x2）f（1），得x21或1x20，则x3或1x2，故选C【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键1

17、2设数列an的前n项和为Sn，对任意nN*，函数f（x）=x2Sncosx+2ann在定义域内有唯一的零点若不等式对任意nN*恒成立，则实数的最小值是（）A1BCD2【考点】数列与函数的综合【分析】首先判断函数f（x）为偶函数，由题意可得f（0）=0，运用数列的递推式：n=1时，a1=S1；当n2时，an=SnSn1，可得数列an+1为首项为2，公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，结合题意可得对任意nN*恒成立，设g（n）=，作差判断g（n）的单调性，可得最大值，即可得到所求范围【解答】解：函数f（x）=x2Sncosx+2ann在定义域R内有唯一的零点，且f（x）=（x）2Sncos

18、（x）+2ann=x2Sncosx+2ann=f（x），即f（x）为偶函数，可得f（0）=0，则Sn=2ann，由n=1时，a1=S1=2a11，可得a1=1，当n2时，Sn1=2an1（n1），an=SnSn1=2ann2an1+（n1），化简可得an=2an1+1，即有an+1=2（an1+1），则数列an+1为首项为2，公比为2的等比数列，可得an+1=2n，即an=2n1，则不等式对任意nN*恒成立，即为对任意nN*恒成立，设g（n）=，即有g（n+1）=，g（n+1）g（n）=，当n=1，2时，g（1）g（2）=g（3），当n3时，g（n+1）g（n），即有g（n）递减，可得g（n）

19、g（3）=g（2），可得g（2）取得最大值，且为，则则实数的最小值是故选：C【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，同时考查函数的奇偶性及零点的个数问题，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推式的运用和数列单调性，是解题的关键二、填空题：每小题5分，共20分13（2x+）6展开式中的常数项等于60【考点】二项式系数的性质【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式的常数项【解答】解：（2x+）6展开式中的通项公式为Tr+1=26r，令6=0，求得r=4，展开式中的常数项等于4=60，故答案为：60【点评】本题主要考查二项式

20、定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为5【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=1，n=2a=2，b=2；当n=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=2，n=3a=3，b=3；当n=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=3，n=4a=4，b=4；当n=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=4，n=5a=5，b=5；当n=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=5，n

21、=6a=6，b=6；当n=6时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为5，故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答15已知圆的圆心在曲线y2=x上，且与直线x+2y+6=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为（x1）2+（y+1）2=5【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】设出直线方程与抛物线y2=x相切，求出切点坐标就是圆心坐标，平行线之间的距离为半径，写出圆的方程即可【解答】解：直线x+2y+b=0与抛物线y2=x的相切时说起的圆的半径最小，可得：y2+2y+b=0，则=44b=0，解得b=1，此时直线x+2y+1=0与抛物线相切，

22、切点坐标为：（1，1），直线x+2y+1=0到直线x+2y+6=0的距离d=，即圆的半径为所以圆的方程为（x1）2+（y+1）2=5故答案为：（x1）2+（y+1）2=5【点评】本题考查抛物线与位置关系的综合应用，求圆的方程确定出圆的圆心和半径是关键16已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+（a1）f（x）=a有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是（2，1）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】画出函数的图象，f（x）=1时有3个不等的实数根，f（x）=a时，有4个不等的实数根，利用函数的图象，求解a的范围【解答】解：函数f（x）=，的图象如图：关于x的方程f2（x）+（a1）f（

23、x）=a，即f（x）=a或f（x）=1f（x）=1时有3个不等的实数根，f（x）=a时，有4个不等的实数根，由函数f（x）图象，可得a（1，2），a（2，1）故答案为（2，1）【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力三、解答题17（12分）（2017马鞍山一模）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=bcosC，a2c2=2b2（）求C的大小；（）若ABC的面积为21，求b的值【考点】正弦定理【分析】（）由已知及正弦定理可得，sinCsinB=sinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC=，即可得解C的

24、值（） 由（）利用余弦定理可求a2+b2c2=ab，又a2c2=2b2，可得a=3b，利用三角形面积公式即可解得b的值【解答】（本小题满分12分）解：（）由已知及正弦定理可得，sinCsinB=sinBcosC，sinB0，tanC=，C= （） 由（）可得，cosC=，a2+b2c2=ab，又a2c2=2b2，a=3b，由题意可知，SABC=absinC=b2=21，b2=28，可得：b=2 （12分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题18（12分）（2017马鞍山一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为

25、可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一PM2.5日均值越小，空气质量越好.2012年2月29日，国家环保部发布的环境空气质量标准见表：针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理马鞍山市环保局从市区2015年11月12月和2016年11月12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）PM2.5日均值k（微克）空气质量等级k35一级35k75二级k75超标（）分别求这两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2016年11月12月的空气质量是否比2015年同期有所提高？（）在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质

26、量为一级的天数，求X的分布列与期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用平均数计算公式即可得出（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X的所有可能取值是0，1，2，3，利用P（X=k）=即可得出【解答】解：（1）2015年数据的中位数是58，平均数是57.32016年数据的中位数是51，平均数是46.32016年11月12月比2015年11月12月的空气质量有提高（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X的所有可能取值是0，1，2，3，利用P（X=k）=可得：P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=X01

27、23PE（X）=0+1×+2×+3×=【点评】本题考查统计和离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2017马鞍山一模）如图，在四棱锥SABCD中，点O是正方形ABCD的中心，SO平面ABCD，且SO=OD，点P为棱SD上一点（） 当点P为棱SD的中点时，求证：SD平面PAC；（）是否存在点P，使得直线BC与平面PAC所成角的正弦值为？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（） 当当P是SD的中点时，APSD，CPSD，又APCP=P，即可证明：S

28、D平面PAC；（）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC的一个法向量，利用直线BC与平面PAC所成角的正弦值为，即可得出结论【解答】（）证明：由题意不妨设OS=OD=1，则SD=，CD=AD=，SA=SC=，SAD，SCD为等边三角形，当P是SD的中点时，APSD，CPSD，又APCP=P，SD平面PAC（）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则可得，B（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），D（1，0，0），A（0，1，0）假设存在符合题意的点P，可设=，P（，0，1）=（，1，1），=（0，2，0），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），则不妨取=（1，0，），又=（

29、1，1，0）由|=可得328+4=0，解得=（=2舍去）所以符合题意的点P是棱SD上靠近点D的三等分点（12分）【点评】本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）（2017马鞍山一模）已知椭圆E： +=1（ab0）的焦距为4，过焦点且垂直于x轴的弦长为2（）求椭圆E的方程；（）过椭圆E右焦点的直线l交椭圆于点M，N，设椭圆的左焦点为F，求的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由已知求出椭圆焦点坐标，并得到所过定点（2，），再由椭圆定义可得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（）当直线l

30、垂直于x轴时，求出M，N的坐标，直接求得的值；当直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x2），联立直线方程与椭圆方程，借助于根与系数的关系及向量的坐标运算求得的取值范围【解答】解：（）椭圆E： +=1（ab0）的焦距是4，焦点坐标是（2，0），（2，0）由题意可得，椭圆E过（2，）点，2a=则a=2，椭圆E的方程是；（）由题意得，左焦点F（2，0），右焦点坐标为（2，0）若直线l垂直于x轴，则点M（），N（2，）=（4，）（4，）=14；若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x2），设点M（x1，y1），N（x2，y2）联立，得到（1+2k2）x28k2x+8k28=0则=018，的

31、取值范围是4，14【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线的综合运用，属中档题21（12分）（2017马鞍山一模）设函数f（x）=axlnx+（a0）（）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（x）ax，若g（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）法一：求出g（x）的导数，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：问题转化为a=alnx+a0恒成立，令h（x）=alnx+a，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（）由已知，当a=1时，f（x）=xlnx+，f（x）=lnx+1，（a0），f（x）在（0，+）上单调递增，且f（1）=0，0x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增（）（方法一）由题可得，g（x）=axlnx+ax，（x0），则g（x）=alnx，a0，g（x）在（0，+）