微积分在大学物理中的几点应用

1、 毕 业 设 计(论文 题 目:微积分的几点物理应用学 院:数理学院专业名称:应用物理学 号:200941220103学生姓名:孙 川指导教师:李 建2013年 05月 18日摘 要 微元法在物理学中应用非常普遍 . 在大学物理学中 , 从静电场到恒定磁场,从 质点的运动学到刚体的力学,都要遇到用微积分来解决的问题 . 本论文主要探讨的 是在大学物理学习中 , 应用微积分方法解决问题时几个问题 .微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时 , 可以先把它分割 成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题 , 然后再对此可研究 的简单的基本问题进行讨论 , 最后再把所有局部范

2、围内研究的结果累积起来 , 就可 以得到问题结果 . 在理论分析时 , 把分割过程无限地进行下去 , 局部范围便会无限地 小下去 , 这就是微分 ; 把所有的无限多个微分元的结果进行叠加 , 便是积分 . 这就是 微积分的主要思想和方法 , 是一种辩证的思想和分析方法关键字微积分 微元法 质点力学 刚体力学 电磁学 AbstractCalculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the

3、electrostatic field and a constant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues.The main ideas and methods of the calculus, using the ca

4、lculus method to deal with more complex physical problems. It s first “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “ Zero for the whole p

5、lot” , within the scope of all the result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus.

6、 This is the main ideas and methods of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods.Key wordsCalculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism 目 录第一章 绪论 . 4第二章 微积分在质点力学中的应用 . 5 2.1 用微积分解决速度和加速度的问题 . 5 2.2用微积分解决变力做功问题 . 8第三章 定积分在计

7、算刚体转动惯量中的应用 . 9第四章 定积分在电场强度以及电势计算中的应用 . 11 4.1、定积分在电场强度计算中的应用 . 11 4.2、定积分在电势计算中的应用 . 12参考文献 . 15致 谢 . 16 第一章 绪论伟大的科学家牛顿 , 有很多伟大的成就 , 建立了经典物理理论 , 比如:牛顿三大 定律,万有引力定律等;另外 , 在数学上也有伟大的成就 , 创立了微积分 .微积分 (Calculus 是研究函数的微分、 积分以及有关概念和应用的数学分支 . 微积分是建立在实数、 函数和极限的基础上的 . 微积分最重要的思想是用 " 微元 " 和 " 无限逼

8、近 " , 就像一个事物始终在变化 , 很难研究 , 但通过微元分割成许多无限小 , 那 就可以认为是常量处理 , 最终加起来就是积分 .微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想, “无限细分”就是微 分,那么“无限求和”就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它 是要运用一种运动的思想来看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一, 在大学物理中,微积分思想发挥了极其重要的作用。微积分方法是一种辨证思想方法 , 它包含有限与无限的对立统一 , 近似与精确 的对立和统一 . 它把复杂物理问题进行时间和空间上的有限次分割,在有限小的范 围内进行近似处理 , 然后让分

9、割无限地进行下去 , 局部范围无限的变小 , 那么近似处 理也就会越来越精确 , 这样在理论上就能得到精确的结果 . 微分就是理论分析时, 把 分割过程无限的进行下去 , 局部范围便无限小下去 . 积分就是把无限小的微分元求 和这 , 就是微积分的方法 . 物理学就是要抓住主要方面,忽略次要方面 , 从而使得复 杂问题简单化 , 因此在大学物理中应用微积分方法 , 能够把看似复杂的问题近似成 简单、基本、可研究问题 . 物理现象及其规律研究都是以最简单的现象和规律为基 础 , 例如质点运动学是从匀速、 匀变速的直线运动开始 , 带电体产生的电场是以点电 荷为基础的 , 对于实际中复杂问题 ,

10、则可化整为零 , 把它分割成在较小时间、空间等 范围内的相应局部问题,只要把局部范围被分割到足够小 , 小到这些局部问题可近 似处理为简单、基本、可研究地问题,然后把局部范围内结果累积起来,就可以得 出问题的结果 . 5 图 1-2第二章 微积分在质点力学中的应用2.1 用微积分解决速度和加速度的问题1. 位置矢量定义:由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢 量(简称位矢或径矢 。如图选取的是直角坐标系, r为质点 P 的位置矢量k z j y i x r+= 因为 x 、 y 、 z 都是时间的函数,既 (t x x =; (t y y =; (t z z =因此 k t z j t y

11、i t x t r r( ( ( (+=, 可以反映任意 t 时刻 质点的位置,因此把上式称作质点的运动方程。在 Oxy 平面直角坐标系中,有一个质点由时刻 t 1,起始 位置 A 处, 经过 21t t t =-时间后, 质点运动到了位置 B 处,质点的位矢由 Arr变化到 B r处。由始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB称为点 A 到点 B 的 位移矢量,简称位移。可用 AB r或 r 表示。矢量 A r , B r , r 刚好为三角形的三边,由三角形法则可以得出 r =B r -A r3. 速度为了描述质点运动快慢及方向,从而引进速度概念。 (1 平均速度在时刻 t 时间内,质点的

12、位移为 r ,那么二者的比值,称为质点在 t 时间内 的平均速度r x y z v i j k t t x t =+, 6平均速度描述物体的运动是比较粗糙的,因为在 t 时间内,质点的各个时刻的运 动情况不一定相同,质点的运动可以时快时慢,方向也可以不断地改变,平均速度 不能反映质点运动的真实细节, 如果要精确到质点在某一刻时刻或某一位置的实际 运动情况,应使 t 尽量小,即 0t ,用平均速度的极限值瞬时速度来秒速。(2 瞬时速度瞬时速度即为平均速度的极限值dtr d t r v t=0lim即瞬时速度(速度为位置矢量对时间的一阶导数 速度在直角坐标系下表达式为: x y z dr dx d

13、y dz v i j v i v j v k dt dt dt dt=+=+x dx v dt =, y dy v dt =, z dz v dt= 3. 加速度同理加速度应该为位置矢量对时间的二阶导数,速度对时间的一阶导数, 22dt r d dt v d a =直系分解形式:222222y x z dv dv dv dv d x d y d z a i j z i j k dt dt dt dt dt dt dt=+=+这就是说, 质点在某时刻或某位置的 (瞬时 加速度等于速度矢量对时间的一阶 导数,或等于位置矢径对时间的二阶导数。 例题 1、 一质点在 xOy 平面上运动,运动方程为x

14、=3t +5, y =21t 2+3t -4. 式中 t 以 s计, x , y 以 m 计. (1以时间 t 为变量,写出质点位置矢量的表示式; (2求出质点速度矢量表示式,计算 t =4 s 时质点的速度; (3求出质点加速度矢 7量的表示式,计算 t =4s 时质点的加速度.解:(1 j t t i t r4321( 53(2-+=m(2 1s m 3(3d d -+=j t i trv 则 j i v734+= 1s m -(3 2s m 1d d -=j tva 由例题 1可知,由运动方程求速度、加速度,这类问题主要是用求导的方法解 决例题 2 已知一质点作直线运动,其加速度为 a

15、=4+3t 2s m -,开始运动时,x =5 m,v =0,求该质点在 t =10s 时的速度和位置.解: t t va 34d d += 分离变量,得 t t v d 34(d += 积分,得12234c t t v +=由题知, 0=t , 00=v , 01=c故 2234t t v +=又因为 2234d d t t t x v += 分离变量, t t t x d 234(d 2+=积分得 232212c t t x +=由题知 0=t , 50=x , 52=c故 521232+=t t x所以 s 10=t 时m70551021102s m 1901023=-x v 8由例题

16、2知、已知加速度(或速度以及初始条件求运动方程,这类问题主要用积 分的方法功:力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。元功 cos dA F dr = d A Fd r =变力所作的功 cos b baaA dA F dr F dr =直角坐标系中 ( B bx y z AaA F dr F dx F dy F dz =+说明:功是力对空间的累积;合力对质点所作的功,等于每个分力所作的功的代数和。 例题 3 选取弹簧自然伸长处为 x 坐标的原点,当 弹簧形变量为 x 时,弹性力做功为多少? 解:弹性力为 F=-kx 式中 k 为弹簧的劲度系数 则 02201122( x xx

17、 x x A F dx kxdx kx kx =-=-可见,功是力对位置的积分。上述例子在整个过程中间, F 为变力,为了解决问题,取位移元 dx ,则在 dx 内, F 可以看做一恒力,那么利用功的定义,元功 Fdx dA =, 再对于整个区间进行积分, 就可得到结果。 9第三章 定积分在计算刚体转动惯量中的应用刚体 :把物体看作有质量和大小形状,但在外力作用下大小形状不发生改变的理 想模型;转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,是刚体力学中的一个重要参数,在质点 系中转动惯量的表达式为=ii i r m J 2有定积分的定义可知当质量连续分布时,刚体的转动惯量可表示为=mdm r J 2例 1

18、、 如图所示,求质量为 m ,长为 l 的均匀细棒的传统惯量:(1转轴通过棒 的中心并与棒垂直; (2转轴通过棒一端并与棒垂直。解:(1转轴通过棒的中心并与棒垂直在棒上任取一质元,其长度为 dx ,距轴 0的距离为 x ,设棒的线密度(即单位长度上的质量为 lm=,则该质元的质量 dm=dx . 该质元对中心轴的转动惯量为dx x dm x dj 22=整个棒对中心轴的转动惯量为221212121ml dx x dJ J =- (2转轴通过棒的一端与棒垂直时,整个棒对该轴的转动惯量为20221ml dx rx J l =由于棒上各点到转轴距离不一样,因此不能用转动惯量的定义计算,那么我们 就要

19、选取就要选取一个质元 dm=dx ,此质元可以作为质点来看,那么运用转动惯量定义, 那么该质元对转轴的转动惯量dx x dm x dj 22=, 然后对整个区间进行积 分,就得到整个棒的转动惯量。由此看出,同一均匀细棒,转轴位置不同,转动动量不同。由上述例子,可以看出定积分可以解决已知质量分布时,刚体的转动惯量。 第四章 定积分在电场强度以及电势计算中的应用4.1、定积分在电场强度计算中的应用1、设真空中的优点电荷为 q , P 点位空间一点(称为场点 。 r 为从 q 到 P 点的矢径。 P 点处的电场强度020014Fq E r q r=由叠加原理,点电荷系在空间 P 点处的电场强度201

20、4i i iiq E E r r = 由定积分的定义,连续带电体在空间 P 点处的电场强度0204dq E dE r r=例 1、 一个半径为 R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为 , 求环心处 O 点的场强. 解 : 如图在圆上取 Rd dl =d d d R l q =,它在 O 点产生场强大小为 204d d RR E =方向沿半径向外 则 d sin 4sin d d 0RE E x =d cos 4 cos(d d 0RE E y -=-= 积分 RR E x 0002d sin 4= 0d cos 400=-=RE y RE E x 02=,方向沿 x 轴正向.上述例题中因为带电体为

21、一圆环, 各点在在 O 点处的场强的方向不同, 因此计算上 不可能一蹴而就, 我们的方法是先取微元 dl dq =, 此时 dq 可以看出是点电荷, 其在 O 点处激发的电场 0200204141r rdl r r dq E d=, 然后对 E d 在整个区间上积分即 可得到结果。4.2、定积分在电势计算中的应用1、设真空中的优点电荷为 q , P 点位空间一点(称为场点 。 r为从 q 到 P 点的矢径。 P 点处的电势04p pq V E dl r=由叠加原理,点电荷系在空间 P 点处的电势14i p iq V r =由定积分的定义,连续带电体在空间 P 点处的电势p pV E dl =例

22、 2、 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 , 两直导线的长度和半 圆环的半径都等于 R .试求环中心 O 点处的场强和电势.解 : (1由于电荷均匀分布与对称性, AB 和 CD 段电荷在 O 点产生的场强互相抵 消,取 d d R l = 则 d d R q =产生 O 点 Ed 如图,由于对称性, O 点场强沿 y 轴负方向 cos 4d d 2220-=R R E E yR04= 2sin(-2sin -R02-=(2 AB 电荷在 O 点产生电势,以 0=U=AB200012ln 44d 4d R R x x x x U 同理 CD 产生 2ln 402=U 半圆环产生

23、 00344=R R U 0032142ln 2+=+=U U U U O 上述例题中因为带电体为不规则, 各点在在 O 点处的电势的大小不同, 因此计算上 也不可能一蹴而就,我们的方法是先取微元 dl dq =,此时 dq 可以看出是点电荷, 其在 O 点处激发的电场 r dlr dq dU 004141=, 然后对 dU 在整个区间上积分即可得到结果。总结:由以上的分析可以看出, 微积分在大学物理中的应用不仅是数学工具 的 应用,还是一种思维方法的应用 . 在物理学中应用微积分解决问题是学习物理必不 可少的一部分,在具体的问题当中选取合适的微元,是解题的关键,也就是把具体 问题怎样分割才能便于我们更简单的解题。毕业设计 （论文） 参考文献 1贾晓峰.微积分与数学模型.高等教育出版社. 2008 年 6 月 2王飞.物理学.新华出版社.2006 年 6 月 3许瑞珍.大学物理.机械工业出版社.2006 年 8 月 1 日 4黎定国.大学物理中微积分的思想方法浅谈J.大学物理 2005，24（12）：52 54. 5赵建彬.物理学M.北京机械出版社，2006. 6周圣源.高工专物理学M.北京高等教育出版社，1996. 7 Jia Xiaofe