西南交通大学数值分析题库

1、考试目标及考试大纲本题库的编纂目的旨在给出多套试题， 每套试题 的考查范围及难度配置均基于“水平 测试” 原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评 定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。 通过它可以有效鉴别和分离 不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重 要方法的考查。考试内容包括以下部分：绪论与误差： 绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差 估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。非线

2、性方程求解： 方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、 迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、 r 阶收敛定理、 Aitken 加速法、 Newton 法与弦截法、 牛顿局部收敛性、 Newton 收敛的充分条件、 单双点割线法 （ 弦截法）、 重根加速收敛法。解线性方程组的直接法 ：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、 高斯-若当消元法、 求逆阵、 各种消元运算的数量级估计与比较、 矩阵三角分解法、 Doolittle 和 Crout 三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、 Cholesky 分解、改进的平方 根法 （免去开方 ）、可

3、追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。解线性方程组迭代法： 向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩 阵的相容范数、 诱导范数、常用范数的计算； 方程组的性态和条件数、 基于条件数误差估计 与迭代精度改善方法；雅可比（ Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径 的关系、 谱判别法、 基于范数的迭代判敛法和误差估计、 迭代法误差的事前估计法和事后估 计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。插值法： 插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理； Lagrange 插值多项式；差商的概念和性质、

4、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton ）插值多项式； 差分、 差分表、 等距节点插值公式； Hermite 插值及其插值基函数、 误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收 敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。曲线拟合和函数逼近： 最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有 唯一解的条件、 一般最小二乘法问题、 最小二乘拟合函数定理、 可化为线性拟合问题的常见 函数类； 正交多项式曲线拟合、 离散正交多项式的三项递推法。 最佳一致逼近问题、最佳一 致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最

5、小偏差定理、切比雪夫多项式的应用（插值余项近似极小化、多项式降幂 ） 。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化，但概念需要理解。数值积分与微分 ：求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值 型求积公式的代数精度；牛顿一柯特斯 （Newton-Cotes）公式、辛卜生（Simpson）公式、几种 低价牛顿一柯特斯求积公式的余项； 牛顿一柯特斯公式的和收敛性、 复化梯形公式及其截断 误差、复化 Simpson 公式及其截断误差、 龙贝格（ Romberg ）求积法、外推加速法、 高斯型 求积公式、 插值型求积公式的最高代数精度、 高斯点的充分必要条件。 正交多项式的构造方 法、高斯公式权

6、系数的建立、 Gauss-Legendre 公式的节点和系数。 本段加黑斜体内容理论 推导可以淡化，但概念需要理解。常微分方程数值解： 常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、 龙格库塔法、 阿当姆斯方法。本套题库均采用闭卷考试，卷面总分为 100 分。试题形式分为判别正误、多项选择、填空、 解答和证明等多种题型。 其中判断题、 多项选择题和填空题覆盖整个内容范围， 题量 多而广， 重点集中在基本概念、 公式和方法的构建与处理思想等方面， 此类题型主要用于考 查学生对整体内容的理解与掌握情况； 解答题重点放在主要的计算技术和方法的具体实现过 程，主要考查学生对主要计算技术、 技巧和方法理解

7、与掌握情况； 证明题主要集中在主要的 计算技术和方法的分析过程，主要考查学生的理论分析能力和知识的综合运用能力。本课程的考试方法与要求： 期末闭卷考试，按时完成上机习题。学习合格条件：考试卷面成绩 60 且上机习题符合要求，二者缺一不可。综合成绩： 原则上 =卷面成绩，但可参考上机习题完成情况作微调。1绪论(1).要使.20的近似值的相对误差限0.1%,应至少取 _4位有效数字。 1.20 = 0.4 10, a1=4, r2a110-(n-1)< 0.1%，故可取n 4,即4位有效数字。(2).要使,20的近似值的相对误差限0.1%,应至少取 4 位有效数字，此时的绝对误差限为(3).

8、1 z 10'32设y=f(X1,X2)若X1,X2,的近似值分别为X1*, X2*,令y*=f(x1*,X2*)作为y的近似值，其绝对误差限的估计式 为:| |f(X1*,X2*)|X 1-X* 1|+ |f(X1*,X2*)|X2-X*2|(4).计算 f=(、2 -1)6 ,取 2 =1.4 ,利用下列算式，那个得到的结果最好？答:1(2 1)6(B)(3-2 2 )2, (C),(D)99-70 J 2(32、2)3(5).要使的近似值的相对误差限 0.1%,应至少取位有效数字?J7 =0.410, a1=4, r 10-(n-1)< 0.1%2a1故可取n 3.097,

9、即4位有效数字。(6) .设x=3.214, y=3.213，欲计算u= Jx,请给出一个精度较高的算式u=. u= . X .L.X Jy(7) .设x=3.214, y=3.213，欲计算u= Jx Jy，请给出一个精度较高的算式u=. u= ； X (8) .设y=f (x1,x2)若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令水二仆1*,%2*)作为y的近似值，其绝对误差限的估计式为:_|f(X1*,X2*)|X 1-X* 1|+ |f(X1*,X2*)|X 2-X* 2； _2方程根(9).设迭代函数(x)在 x*邻近有r ( 1)阶连续导数，且x* =(x*)，并且有(k)(x*

10、)=0但(r) (X*) 0，则Xn + 1= (Xn)产生的序列 Xn 的收敛阶数为r(k=1,r-1)，(10).称序列Xn是p阶收敛的如果limnXn 1 X*XnX*(11).用牛顿法求f(x)=0的n重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0 的单根，u(x)=f(x)f (X)(12).(13).(14).(15).(16).(17).(18).(19).(20).(21).(22).(23).(24).用牛顿法解方程x3x2 10的迭代格式为解xk 1Xk3xk2Xk23Xk 2Xk迭代过程Xk 1（xk ）收敛的充分条件是（x） _1.的根，取初值X0= 1.5,

11、则 X1 = 1.5970149.3用 Newton 法求方程 f(x)=x +10x-20=03用牛顿法解方程X2x 10的迭代格式为xk 13Xk3x：2Xk用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10x- 20=0 的根，取初值 X0= 1.5, _则 X1=解 X1=1.5970149a (3, 3)，03 223迭代公式 xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求 a1/2 的(12)阶方法3方程组矩阵的LU分解中L是一个 为单位下三角阵，而 U是一个上三角阵21438413设线性方程组的系数矩阵为 A=，全主兀消兀法的第一次可选的主兀素为-8,或135174868，第

12、二次可选的主元素为_8+7/8或-8-7/8.列主元消元法的第一次主元素为 -8;第二次主元素为（用小数表示） 7.5:在方阵A的LU分解中，方阵A的所有顺序主子不为零，是方阵A能进行LU分解的充分（充分,必要） 条件；严格行对角占优阵_（能,不能）进行LU分解；非奇异矩阵不一定（一定，不一定）能 进行LU分解。设A是正定矩阵，则 A的cholesky的分解（唯一环唯一）.210设A12a ，为使A可分解为A=LL T，其中L是对角线元素为正的下三角形矩阵，则a的0a2取值范围是，取a=1，则 L=00 改进的方法不会234迭代(1). A1，则 |A|1，|A|2，l|A|答：4,3.618

13、0340,5；(2).已知方程组2 x1或“不”）。(3).给定方程组a23=(4).(5).(6).(7).(8).(9).0.321x2b1b2，则解此方程组的Jacobi迭代法是收敛（填“是”相应的X21记此方程组的Jacobi迭代矩阵为BJ = (aij)3 3,则X3Jacobi迭代序列是发散的。3设 f (x) = (x- 1),则 f (x)关于 C0,1的Rn疋上的两个范数 是等价的。x (3,0,已知方程组“发散”），X (2,3,，则 l|A|1 4, (A)1(|x|p, |x|q等价指的是 _ C,D R,（选填“一定”或“不一定”4,12)T，则 |x|10.322

14、X11x24)T 则 |X |hI A|x|p1)2, 1,2D |x|q ；d|x|2 13_，|x|1)Rn上的两个范数12t>1 ，则解此方程组的Jacobi迭代法收敛（填“收敛”或b2，|X|2，|X | X |h 9,|X |229,|X |41（10）.已知方程组0.32X1“是”或“不”），解（3）因A迭代是收敛的,（11）.已知方程组X2b1b2，则解此方程组的Jacobi迭代法收敛（填0.32的Jacobi迭代矩阵B0.3220，(B)0.8'故Jacobi5x 2y3x 20y268，其雅可比法的迭代矩阵是，高斯-塞德尔法1c2、，(k 1)2 y(k)80

15、-xy5553 0 ,(k 1)y3 (k 1)x1320201012X1(12).已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法0.321X2b2“是”或“不'”)，收敛(填(13).已知方程组5x3x2y 820y26其雅可比法的迭代矩阵是，高斯-塞德尔法的迭1202解因A的Jacobi迭代矩阵B5(B)0.8，故Jacobi迭代是收0.3210.320敛的,11代格式是2(k 1)2(k)80x-y5553J0(k 1) y2x(k 1)13202010a10(14).A01 ，要使lim Ak 0，a应满足 k2解a1(15). X (2,3, 4)T 则 HXIh ，|X|2

16、，|X|A ； 0，则 IIAI1 ， (A)解 |X|h 9,|X |229,|X|4。| A|1 4, (A)1(| I A| (21)，1,2 1)A(16).设若1 031 ,则矩阵 A 的 1-范数 A 1，cond1(A) =_16。(17).如果线性方程组 Ax b用Jacobi迭代法，其迭代矩阵 B满足 B 11。如果用Gauss-Seidel迭代法解此线性方程组 Ax b，则方法 一定(一定，不一定)收敛12 x1b1，则解此方程组的Jacobi 迭代法 _是.收敛(填“是”0.321x2b22，则 A!=6，A Y = _7_,A的谱半径 (A)=1 (5+33)0 a2，

17、当 a <1 时Gauss-Seideli迭代格式收敛。a 0(22) .已知方程组或“不”)1(23) .已知A3(18).设1，则 Q2(19). x(3,0, 4,12)t，则 |x|1，l|x|2l|x|答案：(1)19, 13, 12;(20).方程组Ax=b用超松驰法求解时，迭代矩阵为B (DL) 1(1 )D U,要使迭代法收敛，条件0< <2是必要条件(充分条件、必要条件、充要条件)；如果A是正定矩阵，用超松驰法求解，方法收敛当且仅当1 a 为10a(21).给定方程组，其Jacobi迭代格式的迭代矩阵为a 1x?2a 0在区间(0,2) 时。当 a <

18、1 时，Jacobi迭代格式收敛；其 Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵为3(24). ( 1).设 f (x) = (x- 1)，则 f(X)关于 C0,1的 ff 2 =,7(25). X (2,3, 4)T 则 |X|1 ，|X|2 ，|X|解 | X |h 9,|X|2<'29,|X |45x 2y 8(26)已知方程组，其雅可比法的迭代矩阵是，高斯-塞德尔法的迭3x 20y26代格式是；n02(k 1)2(k)8X-y5553J0(k 1)3 (k 1)1320yX2010解21438设线性方程组的系数矩阵为 A=413，列主元消元法的第一次主元素为(13);第

19、二次主元素13517486为(用小数表示)(14);记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(aj)4 4,则a23= (15) ,.(13) -8 ; (14)7 .5;(15)-17/4;(27).5插值n(28) .在等式f Xo,X1, Xn ak f (Xk )中,系数ak与函数f(x _关。(限填“有”或“无”)k 0n(29) .设lk(x)是关于互异节点XO, X1,，xn,的Lagrange插值基函数，则(Xk 乂)”"&)_0k 0m=1,2,n(30) .用n+1个不同节点作不超过 n次的多项式插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法

20、所得多项式(相等，不相等)。0,3(31) .函数 f (x) X ,X (x是三次样条函数的函数是。a)设Pk(xk,yk) , k=1,2,5为函数y=x2- 3x+1上的5个互异的点，过 P1,P5且次数不01)2,11 与函数g(x)2X3 2x 1,2x3 2x 1,0 x 1，另一函数不是三次样条函数的理由是二阶导不连续0,1X0超过4次的插值多项式是 x2- 3x+1。函数 f (x)X3,0X1与X3 (X 1)2,1X2x3 2x 11函数 g(x)3',12x3 2x 1,0x 0中,是三次样条函数的函数是X 1g(x)，另一函数不是三次样条函数的理由是不满足具有二

21、阶连续导数。(32).令 f(x)=ax 7+ x4+3x+1,则 f20, 21,27= _a_; f20, 21,2勺=_0(33).设 I。)(X Xo) (X Xi i)(x Xi 1) (X Xn)(Xi Xo) (Xi Xi i)(XiXi 1) (XiXn)(i=0,l,，则 xJk(x)=k 0,Xnf )n!x,这里(xi xj,i j, n 2)。(34).牛顿插商与导数之间的关系式为：f Xo,2次插值多项(35).设XO,X1,X2是区间a, b上的互异节点，f(x)在a, b上具有各阶导数，过该组节点的f (3) ( ) 2 式的余项为：R2(x)=(x Xk)3!

22、k 0n(36).在等式 fx0,Xi, xn ak f (xk)中，系数 ak与函数 f(x)_ 无_关.k 0(37) .高次插值容易产生 龙格(Runge)现象。(38) .(39) .设P«xk,yk) , k=1,2,5为函数y=x2- 3x+1上的5个互异的点，过 P1,P.若 0(x),1(x),，n(x)是a,b上的正交族。 (X) ak k(x)为f(x)的最佳平方逼近。系 k 0且次数不超过4次的插值多项式是x2- 3x+1。(40) .令 f(x)=x 7+ x.在函数的最佳一致逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的(10)范数,在函数的最佳平方逼近问题中，

23、评价逼近程度的指标用的是函数的(11)范数.无穷范数；|f| ; 2-范数n+3x+1,则 f20, 21,2s =0(41) .确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要 4n个(42) .若 f(X)充分 光滑， 若 2 n + 1 次 多项式 H2n+1(X)满 足 H2n+1(Xi)= f (Xi),H2n1(Xi)f (Xi),(i1,2,n) ,则称 H2n+1(x)是 f (X)的Hermite 插值多项式，且余项 R (x) =f (x) H2n+1(x)=R(x)(2n 2)(2n 2)!(xX°)2(XX1)2(x Xn)2(43) .设Pk(xk,yk)

24、 , k=1,2,5为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过 P1,P5且次数不超过4次的插值多项式是 _。解(4) y=x2- 3x+1(44) .用n+1个作不超过n次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式相等(相等，不相等)6拟合(1) .采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的法方程组病态问题。(2) .试确定0,1区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x),该多项式唯一否？答：p(x)=(3/2)x,;唯一。.设f(x) Ca,b， f(x)的最佳一致逼近多项式是_一定存在的。k 0,1, n数 ak= ak(f,

25、k)(6) .在函数的最佳一致逼近问题中 在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的,评价逼近程度的指标用的是函数的无穷范数.2范数.(无穷范数；2-范数，1-范数)(7) .设f(x)=2x4在-1,1上的不超过3次最佳一致逼近多项式P(x)= 2x2- 1/4。(8) .采用正交多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的(9)问题.(9) .在函数的最佳一致逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的(10)范数.(10) .函数的最佳平方逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的(11)范数.一1(11) .函数f(x)=|x|在-1,1的，次数不超过一次的最佳平方逼近

26、多项式是一27积分(45) . Gauss型求积公式不是插值型求积公式。(限填“是”或“不是”)(46) . n个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1次n(47) .设Ckn)称为柯特斯系数贝UCkn) =1k 0(48) .为辛卜生(Simpson)公式具有 3次代数精度。(49) . 2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。n(50).设公式In Ak f (xk)为插值型求积公式，则Akk 0lk(x)dx(k0,1,n)n且 Ak =b-ak 0(51) . n个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n 1次。(52) . Gauss点与积分区间无

27、关但与被积函数有关。(53).当常数A=109B= 109数值积分公式1602 f(x)dx? Af( a)+ f (0) + Bf (a)是 Gauss型积分公式 29(54). Simpsons 数值求积公式具有10(x4 (In 2)x2 2x 0.45)dx所产生的误差值为次代数精度，1120用于计算b(55).形如 f (x)dxan阶,Ak f (xk)的插值型求积公式，其代数精度至少可达到 k 0至多可达到_2n+1阶；(56) .勒让德(Legendre)多项式是区间 -1,1上，带权1正交的正交多项3 x2用梯形公式计算积分e X dx 9.219524E-003:此值比实际

28、值小(大,小)2 11)；如果知道f(x)0，则(57) .用复化梯形公式计算积分0f(x)dx,要把区间0,1 一般要等分 41_ 份才能保证满足误差小于0.00005的要求(这里f (2) (x)1用复化梯形公式计算积分° f (x)dx此实际值 大(大，小)。1x.(58).若用复化梯形求积公式计算积分I 0edx区间0,1应分2129等分，即要计算个12130点的函数值才能使截断误差不超过-10 7 ;若改用复化Simpson公式，要达到同样精2度区间0,1应分12等分，即要计算个25 点的函数值。(59). Simpsons 数值求1420(x (In 2)x积公式具有2x

29、0.45)dx所产生的误差值为次代数精度，用于计算120b(60).形如 f (x)dxanAkk 0f (Xk )的插值型求积公式，其代数精度至少可达到n阶,至多可达到2n+1阶;(61).若用复化梯形求积公式计算积分I1 x0edx区间0,1应分2129 等分，即要计算个2130 点的函数值才能使截断误差不超过1 10 7 ;若改用复化Simpson2公式，要达到同样精度区间0,1应分12等分，即要计算个 25 点的函数值1(62).在以(g(x), f(x)0xf(x)g(x)dx, f (x), g(x)C0,1为内积的空间C0,1中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 x(

30、63). Simpsons 数值求积公式具有 ；(X4 (In 2)X2 2x 0.45)dx所产生的误差值为2。3次代数精度，用于计算b(64).形如 f (x)dxaAk f (Xk)的插值型求积公式，其代数精度至少可达到k 0阶,至多可达到阶;8微分方程(25).欧拉预报-校正公式求解初值问题y f(X,y)的迭代格式(步长为h)yk+1 =y(a)此方法是阶方法。hyk+1= yk 2 f(Xk,yk)(28).欧拉预报-校正公式求解初值问题y yy(0)x 0，如取步长h=0.1,计算y(0.1)的近似值为(29).0.005000，此方法是t 1(1)当 a 一2阶方法时,下述形式

31、的RK公式为二阶公式ynK1K2y hK2 f (Xn, yn) f (Xn ah, ynhbKJ(30).欧拉预报-校正公式求解初值问题yf(x,y)的迭代格式(步长为y(a)h) yk+1 =f(xk h, yk hf(xk,yk)，此方法是 2 阶方法。(26) .称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为0(hp+1)。.求解微分方程数值解的Euler法的绝对稳定区间是 (- 2,0)。11hYk+ ?f (Xk, Yk)+ f (Xk + h, yk + hf (Xk,yk)，此方法是阶方法。11(31).用Euler方法解初值问题y yy(0)0的近似解的最终表达式y

32、n= (1+ h)n( 取步长11h= X)；当 nn时，lim yn =n1题库分类填空题1. 绪论部分(32).设x=3.214, y=3.213，欲计算u= x . y ,请给出一个精度较高的算式u=. u=x y1(33).设y=f (xi,X2)若xi ,X2,的近似值分别为xi*, X2*,令y*=f(xi*,X2*)作为y的近似值，其绝对误 差限的估计式为：| |f(xi *,X2*)|x 1-x* 1|+ |f(xi*, X2*)|x 2-x* 2|、i7 = 0.4iO, ai=4,2aiiO-(n-i)< O.i%20 = 0.4110, ai=4, r10-(n-1

33、)< 0.1%2a1故可取n 4,即4位有效数字。(34).要使20的近似值的相对误差限O.i%,应至少取位有效数字?(35).要使Ji7的近似值的相对误差限O.i%,应至少取位有效数字?11故可取n 3.097,即4位有效数字。i(36).对于积分In=e-ixneXdx试给出一种 数值稳定的递推公式0 In- 1=(1 - In)/n , In 0易知 10=1 - e-1I n=1 - nI n- 1故 In- 1 = (1 - In)/n0<In 1/(n+1)0 (n )取In 0选择填空(37).计算f=( 2-i)6 ,取、2 = 1.4 ,利用下列算式，那个得到的结

34、果最好？(C)1(A) C21)6(B)(3-2 、2 )2,(C)(3 2 2)3 '(D)99-70 212. 方程的根(1) .用 Newt on 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 xo=1.5,贝 U xi= (3) xi=1.59701 49(2) .迭代公式 xk+1=xk(xk2+3a)/ (3xk2+a)是求 a1/2 的(12)阶方法(3) .3. 方程组直接解法4.迭代解法2143(1).设线性方程组的系数矩阵为A =8413，全主元消元法的第一次可选的主元素13517486为(13),第二次可选的主兀素为(14).列主兀消兀法的第一次主兀素

35、为(15)第二次主兀素为(用小数表示)(佝；记此方程组的咼斯-塞德尔迭代矩阵为BG = (aij)4 4，则 a23= (17) ;-8,或 8;8+7/8 或-8-7/8 ;-8;7 .5;第1章插值§ 1.填空(1) .设Pk(xk,yk) , k=1,2,5为函数y=x2- 3x+1上的5个互异的点，过 P1,P5且次数不超过4次的插值多项式是。y=x2- 3x+1(2) .设X0, X1,X3是区间a, b上的互异节点，f(x)在a, b上具有各阶导数，过该组节点的 2次插值多项式的余项为：.f(3)( ) 2R2(X)=(x Xk)3! k 0(3) .设 li(x) (x

36、X。) (x Xi1)(x Xi J (x Xn)(j=°,1,呵,则 ° Xklk(x)=(XiX0) (XiXi 1)(Xi Xi 1)(Xi Xn )k 0,这里(Xi xj,i j, n 2)。X(4) .三次样条插值与一般分段3次多项式插值的区别是-三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。(5) .插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数f(x)的一种逼近，二者的侧重点分别为。用n+ 1个作不超过n次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插1值方法所得多项式相等（相等，不相等）(6) .3次的lagrange插值多项式 L3（x）

37、.§ 2.计算题（1）. （a10分）依据下列函数值表，建立不超过137 27l0(x)=-x3+x2-X+18841 3亠 28l1(x)=-X2xX331 352l2(x)=XXX441 3121l2（X）=X-XX24812解：基函数分别为Lagrange插值多项式nL3(x)=f (Xk)lk(x)=11 3X445 2x4X0123f(x)19233值方法所得多项式相等（相等，不相等）值方法所得多项式相等（相等，不相等）j 0j 1,2,., nj n 1（2）. （b10分）已知由插值节点（0,0）,（0.5,y）,（1,3）和（2,2）构造的3次插值多项式P3（x）的x

38、3的系数 为6，试确定数据y.n解: P3(X)=f(xQlk(X)k 0故最高次项系数为f（X。）(X0X1 )(X0 X2 )(X0 f (XjX3)(X1Xo)(X1 X2)(X1 f (X2)X3)(X2Xo)(X2 X(X2 f(X3)X3)(X3Xo)(X3X1)(X3X2)带入数值解得y=4.25.（3）. （c15分）设lk（x）是关于互异节点xo, X1，,xn,的Lagrange插值基函数，证明1,nxklk(O)0,k 0n证明：f （x）nnXk1lk(x)(n 1)!Wn1(X)(1) X0X1 .Xnn其中,Wn+i(x)= (X Xj)j 0故当0 j n时,nx

39、klk(x)=xj.当 j=n+1 时，xn+1= f (x)nxn 1lk(x) Wn 1(X)k 0nn将x=0带入ok!(4).证:f(x)nn xk 01lk (x)是n次多项式，且最高次系数为X0+ xn,x( 1lk(x)0f( )Wn 1(X)-5 分(n 1)!注意余项匸Awn1(X)(n 1)!=Wn 1(X)(Xj 0Xj)nn 1n 1 /n+1/ x_ / XXkl k ( X) =X-W n+1 (x)5 分k 0ok!(5). (C10分)设函数f(x)是k次多项式，对于互异节点X1,Xn,X1,xn 0，当n k时，该差商是 k-n次多项式。证明当n>k时，

40、差商f x,证明：因f x, x1,f("()n!(c10分)设lk(x)是关于互异节点 xo, xi，,xn,的Lagrange插值基函数，证明n注意到 n>k 时，f(n)(x)=0 ,n=k 时，f(n)(x)=k!a k, ak 为 f(x)的 k 次项系数。(7f)n k-1由差分定义递推，查n=k-1,k-2,(3f) ok!(6). (c10分)设g(x)和h(x)分别是f(x)关于互异节点X1,Xn-1以及互异节点X2,xn的插值 多项式，试用g(x)和h(x)表示f(x)关于互异节点X1,xn的插值多项式.解:令 q(x)=Ag(x)(x-x n)+Bh(x)

41、(x-x 1)为待定n次多项式，A,B为待定系数，注意到g(xk)=f(x k), k=1,n-1h(xk)=f(x k), k=2,n(7f)带入得 A=1/X 1-Xn,B=1/Xn-X1,带入ok!(7) . (a10f)设lk(x)是关于互异节点 X0, X1，,xn,的Lagrange插值基函数，证明n(1) Xk lk(x) x m=0,1,nk 0(2) (Xk x)mh(x) 0m=1,2,nk 0证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知(2)(8) . (a10f)证明对于不超过 k次的多项式p(x)有np(Xk)lk(x)p(x), k nk 0lk(x)是关于互异节点 xo

42、,xi,xn,的Lagrange插值基函数证明：由插值唯一性定理知。(9) . (a10f)设p(x)是任意首次项系数为 1的n+1次多项式，lk(x)是关于互异节点 xo, xi,xn,的Lagrange插值基函数n证明 p(x) p(Xk)lk(X) Wn 1(X)k 0n其中 Wn 1(X) (X Xj )j 0证明：插值余项直接计算(10).(a10f)已知函数明ok!him0fX0,X1,Xn证明：因f Xo, X1,f 5)(X0)n!f(n)()(X0,X0+ nh)注意到n阶导数连续性，两边取极限ok! n!y=f(x)在点X0的某邻域内有n阶连续导数,记xk=x0+ kh (

43、k=1,2,n),证n(11) .(c10f)用等节距分段二次插值函数在区间0,1上近似函数ex,如何估算节点数目使插值误差2 10-6解：考虑子区间Xi-1 ,Xi二次插值余项f(x) P2(x)f (3)()(x3!Xi)(X Xi 1/2)(X Xi 1)e-max (x6 xi x xi 1Xi)(X Xi 1/2)(X Xi 1)nn令 x=Xi+”2+s(h/2)上式化简为-max (s 1)s(seh3 2.348 9令489610 得 h 0.028413故子区间个数为 N=2/h 70.4,取N=71故插值节点数为2N+1=143(12) .(b10分)设f(x)在区间a,b

44、上有二阶连续导数，Pi(x)为其以a,b为节点的一次插值多项 式，证明f (x) P1(x)_ max f (x) x a, b证明：利用插值余项结果可得线性插值多8 a x b项式P1(x)在子区间a,b上的余项估计式，再估计最值ok!f (x) PMx)a)(x/max fa x bb)(13) .(b10分)已知s(x)是0,2上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定0 x 11)3, 1 x 21 2x x3,S(x) 2 b(x 1) c(x 1)2 d(x中的参数b,c,d解：利用边界条件s/(2-0)=0及样条函数定义可得b=-1,c=-3,d=1(14) .(b10分)判断下

45、面2个函数是否是-1,1上以0为内节点的三次样条函数。设(1)S(x)=x3 3x2 x 2, x3 3x2 x 2,-1x00 x 1S(x)=5x3 3x2 x 2,x3 3x2 x 2,-1x00 x 1解：(1)是，(2)否。(15) . (a10f)令 f(x)=x 7+ x4+3x+1求 f2°, 21,27及 f20, 21,28f (n)()解：fX°,X1, ,Xnn!f20, 21,27=1f20, 21,28=0(16) . (a10f)证明n阶均差有下列性质：(1) 若 F(x)=cf(x),则FX0, X1,Xn=C fX0, X1,xn(2) 若

46、 F(x)=f(x)+g(x),贝VFX0, X1,Xn= fX0, X1,Xn+ gX0, X1,Xnn证明：f X0,X1, ,Xnak f (Xk)k 0其中，1ak=ok!(17) .(a10f)回答下列问题：(1) 什么叫样条函数？(2) 确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？(3) 三转角法中参数 mi的数学意义是什么？答：(1 )略(2) 4n 个(3) mi=S/(xi)即样条函数在节点 xi处的一阶导数。(18) .(a10f)回答下列问题：(1) 何谓Hermite插值问题？(2) Hermite插值与一般多项式插值有什么区别？第2章拟合(1) .采用正交

47、多项式拟合可避免最小二乘或最佳平方逼近中常见的问题.(2) .在函数的最佳一致逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的(10)范数在函数的最佳平方逼近问题中，评价逼近程度的指标用的是函数的(11)范数无穷范数|f| ； 2-范数(3) .§ 3.计算题(1) . (b10f)设f(x) -a,a的最佳一致逼近多项式为P(x),试证明(1) f(x)是偶函数时P(x)也是偶函数；(2) f(x)是奇函数时P(x)也是奇函数。证明：(1)令t=-x,考查max |f(x)-P(x)|= max |f(-t)-P(-t)|= max |f(t)-P(-t)|,故 P(-x)也是 f(x)

48、 -a,a的最佳一致逼近a x aa t aa t a多项式，由最佳一致逼近多项式的唯一性知P(-x)=P(x).(2) 略。(2) . (a10f)试确定0,1区间上2x3的不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x)，该多项式唯一否？解：p(x)=(3/2)x,唯一。(3) .求f(x)=2x3+x2+2x- 1在-1,1上的最佳二次逼近多项式P(x)。已知T0(x)=cos0=1T1 (x)=cos =xT2(x)=cos2 =2x2-1T3(x)=cos3 =4x3-3x T4(x)=cos4 =8x4-8x2+1解：f(x)=2x3+x2+2x- 1- P(x)1 1=2.盯T3(x)= 2T3(x)11故 P(x)= f(x)- T3(x)= 2x3+x2+2x- 1- 2 x3+ 3x222 7=x + x- 12(4) .求f(x)=2x4在-1,1上的3次最佳一致逼近多项式P(x)。已知To(x)=cosO=1T1 (x)