计量方法与误差理论CH5-误差部分

1、第五章第五章 测试数据处理测试数据处理一个简单的数学问题一个简单的数学问题:9 . 23 yx9 . 02 yx9 . 132 yx由由、3517067yx代入代入：01419 . 1351370672第五章第五章 测试数据处理测试数据处理一个实际的例子：电容器的测量（并、串联）一个实际的例子：电容器的测量（并、串联）uFCCCCuFCCuFCuFC1035. 04111. 02056. 02071. 021212121电容最可信赖的值是多少？电容最可信赖的值是多少？求标准米尺的温度膨胀系数：求标准米尺的温度膨胀系数：一个实例一个实例)1 (20ttLL为确定为确定、，需要进行，需要进行2组测

2、量！组测量！ 实际为提高测量精度，往往增加测量组数实际为提高测量精度，往往增加测量组数n，利，利用抵偿性减小随机误差的影响。用抵偿性减小随机误差的影响。根据任意根据任意2个方程求个方程求得的解代入其它方程不能完全满足。得的解代入其它方程不能完全满足。 希望找到一组最佳的解，使希望找到一组最佳的解，使 与零相差很小，从方程组整体上看，这组解可以理与零相差很小，从方程组整体上看，这组解可以理解为解为误差最小的解误差最小的解。)1 (20ttLL这就是最小二乘法的出发点！这就是最小二乘法的出发点！一、最小二乘法的基本原理一、最小二乘法的基本原理测量方程：测量方程：),.,(),.,(212111mn

3、nmxxxfyxxxfy xi为待求解的参数为待求解的参数, yi为直接测量量的估计值，为直接测量量的估计值，nm误差（残差）方程：误差（残差）方程：),.,(),.,(2121111mnnnmxxxflvxxxflv 参数的最佳估计值应在参数的最佳估计值应在残差平方和为最小残差平方和为最小的条的条件下求出，即件下求出，即 。也就是说，另取任一。也就是说，另取任一组其它解，其组其它解，其 都将大于都将大于 。min12niiv2ivniiv12有误差的实际测量值有误差的实际测量值等精度测量的最小二乘原理：niinvvvv1222221最小 不等精度测量的最小二乘原理：niiinnvpvpvpv

4、p122222211最小最小二乘原理最小二乘原理 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。和（或加权残余误差平方和）最小。二、最小二乘法的基本运算二、最小二乘法的基本运算1、等精度等精度线性函数线性函数运算运算)()(2211121211111mnmnnnnmmxaxaxalvxaxaxalv误差方程：误差方程：m个参数个参数n个方程（个方程（nm）待求解参数待求解参数矩阵形式：矩阵形式：（L、A为测量数据为测量数据）XALV待求解参数待求解参数min)()(minXALXALVV或最小二乘法要求：最小二乘法要求：利用微分求极值：

5、利用微分求极值：n个方程转化成个方程转化成m个新的方程，个新的方程，“正规方程组正规方程组”解出正规方程组，即得符合最小二乘原理的最佳解解出正规方程组，即得符合最小二乘原理的最佳解01212212112xvxvxvxvn先看：先看：021122111112laxaaxaaxaaxvmm将以上各式相加：将以上各式相加：nnnmnmmmnnnnlalalalaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1221111112211111212221121121112121111111高斯符号，对应列相加列号22112222211211221111laxaaxaaxaalaxaaxaaxaalax

6、aaxaaxaammmmmmmmmm得正规方程：得正规方程：对称分布的各系数彼此两两相等如何求解如何求解X？主对角线分布着平方项系数02211mmrrrrxaaxaaxaala对第对第r个方程：个方程：即：即：0)()()()()()(221122112222121221212111112211222222212111121211112211nnrrrmnmnnnnrmmrmmrmnmnrmmrmmrnnrrrnnrrrnnrrrvavavaxaxaxalaxaxaxalaxaxaxalaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaalalala故：正规方程可写成故：正规方程可写成00

7、0221122221121221111nnmmmnnnnvavavavavavavavava0VA矩阵形式：矩阵形式：XALV0VA0)(XALAVALAXAALAAAX1)(）yxmmymmxmmxxxxx(/0000183. 0/)(97.1999/(03654. 0)(97.19993 .340201565017003.1200617060220212121按矩阵形式解算，则有按矩阵形式解算，则有6111ttA0012. 0034. 0034. 013. 11C565017017061621616iiitttnAAC3 .34020103.120061161616161iiiltlllt

8、tLA03654. 097.19991LACX2、不等精度不等精度线性函数线性函数运算运算npppPPVVPV000000minmin212或原理：原理：)1(2iip测量值测量值 li 的方差的方差00022211122222112112212111122112222211211221111nnmnmmnnnnnnmmmmmmmmmmvapvapvapvapvapvapvapvapvaplpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapalpaxapaxapaxapa或0PVA即PLAPAAXXPAAPLAXALPAXALV)(0)(1故：由矩阵解：矩阵解：如果在不等精度误差方程的两

9、端同乘以如果在不等精度误差方程的两端同乘以ip3、（等精度、不等精度）（等精度、不等精度）非线性函数非线性函数运算运算il最终的近似线性方程组：最终的近似线性方程组：再按等精度、不等精度方式处理再按等精度、不等精度方式处理4、最小二乘原理与算数平均值的关系最小二乘原理与算数平均值的关系xlvxlvxlvnn2211正规方程为：正规方程为：nnnnnnnnnppplplplpxlaplaplapxaapaapaaplpaxapa212211122121111112121211111111)()(即三、最小二乘法的精度估计三、最小二乘法的精度估计的精度估计待估计参数的精度估计直接测量量mnxxxl

10、ll,21211、测量数据的精度估计测量数据的精度估计mnv22、最小二乘法估计量的精度最小二乘法估计量的精度nnmmnnmmmmmmladadadladadadladadadladladladx)()()(1212111221221221111111212111112121111nmmnnnmmmmadadadhadadadhadadadh12121111212212211112111212111111nnlhlhlh1212111行的第为矩阵1,111211Cdddm由于：由于：22121221121)(nxhhh)()(12121111nnlhlhlhDxD2212221221211nn

11、hhhmnpv2注：若为非等精度，注：若为非等精度，单位权标准差单位权标准差为：为：（需要对上式进行化简，使结论更明确）（需要对上式进行化简，使结论更明确）001)(001121222121211111211Cddddddddddddmmmmmmm001001)(001)( 1111211CCCCdddCm由于：由于：需要将左边矩阵乘积展开：需要将左边矩阵乘积展开：所以：即为对称矩阵而,212221212111CCaaaaaaaaaaaaaaaaaaCmmmmmm0010010011122111121222111211122111111121121222121211111211mmmmmmmm

12、mmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaadddaaaaaaaaaaaaaaaaaadddC22121221121)(nxhhh对于对于将其系数将其系数h展开，并注意到：展开，并注意到：001112211112122211121112211111mmmmmmmmmdaadaadaadaadaadaadaadaadaa适当的合并同类项后得：适当的合并同类项后得：mmxxxdddm221121 结论：结论：)(),(12211的标准差为等精度测量量对角线为lCdddmm（等精度测量等精度测量）对于非等精度测量：对于非等精度测量：mmxxxdddm221121 结论：结

13、论：nnnpppP00000021 通过直接测量待测参数的组合量（一般是等精度），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量及精度估计。四、最小二乘法的组合测量四、最小二乘法的组合测量 以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离 。321,xxxABCD1x3x2xABCD1l3l2l4l6l5l直接测量各组合量，得mmlmmlmmlmmlmmlmml032. 3981. 1016. 2020. 1985. 0015. 1654321首先列出误差方程)()()(3216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv由此可得：11111

14、0011100010001032. 3918. 1016. 2020. 1985. 0015. 1321654321AxxxXllllllL则LAAALACxxxXTTT11321)(式中，21012101241)(11AACT013. 1983. 0028. 1321xxxX 现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入误差方程中，误差方程中，008. 0)(015. 0)(005. 0)(007. 0002. 0013. 03216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv那么，212000536.0mmvnii

15、测量数据 的标准差为654321,llllllmmmnvnii013. 012已知：已知：5 . 0412, 5 . 0412, 5 . 0412332211ddd则最小二乘估计量 的标准差为321,xxxmmdmmdmmdxxx009. 0009. 0009. 0333222111思考：思考：两个电容器，分别测量其电容（串、并联），两个电容器，分别测量其电容（串、并联），得如下结果得如下结果uFCCCCuFCCuFCuFC1035. 04111. 02056. 02071. 021212121电容最可信赖的值及精度是多少？电容最可信赖的值及精度是多少？最小二乘法最小二乘法： 如何寻求待测量的

16、如何寻求待测量的最佳估计值最佳估计值及及精度精度。回归分析回归分析： 寻找两个或多个寻找两个或多个变量之间的内在关系变量之间的内在关系。一、回归分析的基本概念一、回归分析的基本概念变量之间既存在密切的关系，变量之间既存在密切的关系，又不能精确求解，要通过试验又不能精确求解，要通过试验和调查研究确定它们之间的关和调查研究确定它们之间的关系。系。( (数理统计中称为回归分析数理统计中称为回归分析regression analysis ) ) 可以用明确的函数关系式精确可以用明确的函数关系式精确地表示出来。地表示出来。函数关系：函数关系：函函数数与与相相关关相关关系相关关系: :( (确定性关系确定

17、性关系) )( (非确定性关系非确定性关系) ) 测量数据测量数据确定经验公式（回归方程）确定经验公式（回归方程） 的形式的形式回回归归分分析析思思路路 确定参数确定参数参数估计，最小二乘法参数估计，最小二乘法 可信度检验可信度检验对回归方程的可信赖度进对回归方程的可信赖度进 行统计检验行统计检验 因素分析因素分析确定影响变量的主要因素、确定影响变量的主要因素、 次要因素次要因素例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：温度19.125.030.136.040.046.550.0电阻76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散点图：20 25 30 35 4045 5

18、07678828084从散点图可以看出：从散点图可以看出： 电阻与温度大致成电阻与温度大致成线性关系。线性关系。设测量数据有如下结构形式：设测量数据有如下结构形式：Ntxytt, 2 , 1,0思路思路：要求电阻：要求电阻y与与x的关系，即根据测量数据要求出的关系，即根据测量数据要求出0和和 的估计值。根据测量数据，可以得到的估计值。根据测量数据，可以得到7个测量方程，未知数有两个，而方程个数大个测量方程，未知数有两个，而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小二乘法求解。于未知数的个数，适合于用最小二乘法求解。设得到的回归方程bxby0对照最小二乘法的矩阵形式，令NNNvvvVbbBxxxXy

19、yyY2102121111相当于矩阵A相当于矩阵L设测得值设测得值yt的精度相等，则有的精度相等，则有CYXXXB/2824. 090.70)(1xCy)/2824. 0(90.70回归方程：回归方程： 问题：这条回归直线是否符合问题：这条回归直线是否符合y与与x之间的客观之间的客观规律？回归直线的预报精度如何？规律？回归直线的预报精度如何？二、一元线性回归分析二、一元线性回归分析 确定两个变量之间的线性关系，工程或科研确定两个变量之间的线性关系，工程或科研中常用的中常用的“直线拟合直线拟合”问题。问题。1 1、回归方程的求解方法、回归方程的求解方法图解法图解法平均值法平均值法最小二乘法最小二

20、乘法a、图解法、图解法 测量点均匀分布在测量点均匀分布在“回归直线回归直线”两侧，回归两侧，回归参数从图中量取后计算。参数从图中量取后计算。b、平均值法、平均值法将将n对测量数据分成两组，代入回归方程对测量数据分成两组，代入回归方程kkbxbybxby0101nnkkbxbybxby0101其中其中k = n/2 (n为偶数为偶数)kikixbkby101nkinkixbbkny101)()/()(1111nkikinkikixxyybxbynxbnybkiki110c、最小二乘法、最小二乘法使各实验点与回归直线的偏差的平方和最小。使各实验点与回归直线的偏差的平方和最小。bxby0)()()(

21、020221011nnnbxbyvbxbyvbxbyv误差函数：误差函数：假设假设y为等精度测量，则为等精度测量，则 nxxxX 1. 1 121nyyyY.2110bbB（矩阵（矩阵B为待为待估计量）估计量）nniinniiniixxnyxyxnb1122111)()(xbyxxnyxxyxbnniinniiinnii1122111120)()()(YXXXB)(1xbyb0bxby0代入回归方程代入回归方程得：得：将将)(xxbyy说明说明回归直线通过点回归直线通过点),(yx74. 2)()(1122111nniinniiniixxnyxyxnb8 .19)()()(1122111120

22、 xbyxxnyxxyxbnniinniiinnii利利用用代代数数法法回归成线性是否合理？回归成线性是否合理？显著性检验问题显著性检验问题回归的是否准确？回归的是否准确？回归精度问题回归精度问题两个问题：两个问题：解决方法：解决方法：方差分析法方差分析法2、回归方程的方差分析（精度分析）、回归方程的方差分析（精度分析）nininixxxnxxxl121212)(1)(nininiiniixyyxnyxyyxxl1111)( )(1)(nininiyyynyyyl121212)(1)(令：令：x离差平方和离差平方和y离差平方和离差平方和x、y离差积之和离差积之和y的离差的离差ii (1) 引起

23、观测值引起观测值y发生差异（变差）的原因：发生差异（变差）的原因： A、自变量、自变量x取值的不同；取值的不同； B、其它因素（试验误差）的影响。、其它因素（试验误差）的影响。(2) 方差分析方差分析总的离差平方和（即总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）个观测值之间的变差）NtyytlyyS12)(2121)()()(yyyyyySttNtNt0)(yyyyttt由于：由于：可以证明：可以证明：所以：所以：)()(212ttNtyyyySQU 其中：xyyyNtttbllyyQ12)(xyxxtblyyxxbxxbxxblbxxbxbbbxbyyU)()()()()()()(2222002

24、U回归平方和回归平方和，反映总变差中由于，反映总变差中由于x和和y的线性关的线性关 系而引起系而引起 y变化的部分。变化的部分。Q残余平方和残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对余误差，即其它因素对y变差的影响。变差的影响。S、U、Q的自由度的自由度：1 NVS1UV2NVVVUSQ残余方差残余方差 (Q残余平方和，残余平方和，N-2为自由度为自由度)残余标准差：残余标准差：22NQ2NQ 衡量所有随机因素对衡量所有随机因素对y的一次性观测的平均变差的大小，的一次性观测的平均变差的大小，值越小，回归直线精度越高，值越小，回归直线精度越高，

25、可作为回归方程的精度参数。可作为回归方程的精度参数。3、回归方程的显著性检验、回归方程的显著性检验 从回归平方和从回归平方和U与残差平方和与残差平方和Q的意义可知：的意义可知：检验公式效果的好坏，检验公式效果的好坏，取决于取决于U与与Q的大小的大小，或，或者说者说U/Q的大小，的大小，U越大或越大或Q越小，经验公式精度越小，经验公式精度越高。越高。(线性关系的显著性检验线性关系的显著性检验)例：是否为线性关系？（例：是否为线性关系？（99%的可能）的可能）高高度度显显著著不不显显著著在在0.1水平水平显著显著在在0.05水平水平显著显著(回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验)（1）重复试验

26、回归直线的求法）重复试验回归直线的求法 设N个试验点，每个试验点重复m次试验，则将这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进行拟合。（2）方差分析）方差分析4、重复试验情况、重复试验情况211)(yyQQUSNtmitiLE1mNVVVVQEQLUS211)(tNtmitiEyyQ21)(tNttLyymQ) 1(mNVEQ2 NVLQ21)(yymUNtt1UV（3）失拟检验）失拟检验EELLVQVQF/1（一元回归方程拟合的好）（一元回归方程拟合的好）（若误差显著，重做回归方程）（若误差显著，重做回归方程） 1）重复试验的回归分析对了解测量误差来源和）重复试验的回归分析对了解测量误差来源和

27、提高测量精度是有益的。提高测量精度是有益的。 2）方程拟合得好的真正含义应该是）方程拟合得好的真正含义应该是失拟平方和失拟平方和相对相对误差平方和误差平方和不显著。但如果没有条件做重复试不显著。但如果没有条件做重复试验，只能用验，只能用残余平方和残余平方和对对回归平方和回归平方和进行进行F检验，检验，也大致说明回归效果的好坏，习惯上也称为拟合得也大致说明回归效果的好坏，习惯上也称为拟合得好与坏（好与坏（不严格不严格）。）。总结：总结：三、一元非线性回归分析三、一元非线性回归分析3 3、 求解未知参数。求解未知参数。 可化曲线回归为直线回归，用最小二乘法求解；可化曲线回归为直线回归，用最小二乘法

28、求解； 可化曲线回归为多项式回归。可化曲线回归为多项式回归。1 1、 确定函数类型。确定函数类型。求解思路：求解思路： 2 2、 对经验公式进行检验。对经验公式进行检验。 1、确定经验公式的类型、确定经验公式的类型(1) (1) 直接判断法。专业知识、实际经验或其他资料直接判断法。专业知识、实际经验或其他资料(2) (2) 作图观察法。与典型曲线比较，确定其属于何作图观察法。与典型曲线比较，确定其属于何 种类型。种类型。2、经验公式类型的检验、经验公式类型的检验 (1) (1) 直线检验法直线检验法 (2) (2) 表差法表差法 直线检验法适合：直线检验法适合：bxaxyaxyeyaeybbxabx