行列式的定义

1、第二章 行列式§1-3 排列，行列式的定义一、知识结构与内容提要（一）、排列1 由1，2，组成的一个有序数组称为一个级排列注： 1）所有不同级排列的共有！个 (的阶乘)2）自然序排列：1234（它的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序）2.逆序、逆序数定义： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数注 1）排列的逆序数记为注2）=后面比小的数的个数+后面比小的数的个数或=前面比大的数的个数+前面比大的数的个数+前面比大的数的个数3. 奇排列、偶排列(1) 逆序数为奇

2、数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列(2) 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换(3) 对换改变排列的奇偶性即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列推论 任有级排列中，奇、偶排列各半，均为个(4) 任意一个排列与自然序排列都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同(二) 级行列式的定义：级行列式 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 （1）的代数和，这里为1、2、n的一个排列每一项（1）都按下列规则带有符号：当为奇排列时（）带负号；当为偶排列时（）带正号即，这里表示对所有1、2、n的级排列求和注：1）

3、常记或2）中的数称为行列式处于第行第列的元素，称为行指标，称为列指标3）级行列式定义展开式中共有项特别的,对二级与三级行列式我们有(1) 对角形行列式 ,次对角形行列式 (2) 上三角形行列式,次上三角形行列式 (3) 下三角形行列式,次下三角形行列式 二、解题方法与典型例题（一） 关于排列1 求排列的逆序数;2 对换与排列的奇偶性;例1 求,使5元排列为奇(偶)排列.解 显然, 只能取3,5这两个数,若,容易计算,这时为偶排列,当 为奇排列.例2 求排列的逆序数，并讨论排列的奇偶性.解 容易计算排列的逆序数为，当为偶排列，当是为奇排列.例3 证明 对任意整数，存在数的一个排列，此排列的逆序数

4、为.证明 对用归纳法.当时，命题显然成立.假设对成立，即存在的一个排列，使该排列的逆序数为，对该排列中的数码1与1右边的数码相对换，则对换后排列的逆序数为.所以命题对任意的都成立.(二)、关于行列式定义1 利用行列式定义求较简单的行列式的值 2 利用行列式定义证明一些行列式的性质例1 选择，使是5级行列式中一个带负号的项.解 由于的符号决定的奇偶性，而时，是奇排列，故时，在5级行列式中带负号.例2 计算=解 中不含零的项为与而这两项符号分别是正号和负号，所以=- 例3 证明：如果级行列式在个行和个列的交叉点出的元素都为零，时，.证明：若级行列式在个行和个列的交叉点出的元素都为零，设这个行分别是

5、,那么这些行中不为零的元素至多有个，因此行列式每项中至少含有一个0.事实上，每项中，取自于第中非零数的可能是中，则取自于第行中非零数的可能是，取自于第行中非零数的可能至多.因为，所以.三、 问题探讨1假如一个级行列式中等于0的元素个数比多，那么这个行列是等于什么？2 讨论下列关于文字的行列式的系数与常数项.3 设有以下俩个行列式：其中，试讨论的关系. 4设是一个实级行列式，证明：的项中若有负项 （元素的符号计算在内），则当时，负项个数为奇数；当时负项的个数为偶数.四、思考题与达标训练（一）、填空题1 全体级排列共有 个，奇排列有 ，偶排列有 个（这里）.2 级排列中逆序数最大的排列是 ，逆序数

6、是 ；最小的排列是 ，逆序数是 .3 排列经一次对换，奇排列变成 ，偶排列变成 ；经奇数次对换，奇排列变成 ，偶排列变成 ；经偶数次对换 奇排列变成 ，偶排列变成 .4 级排列中，数1与余数形成的逆序数是 .5 级排列中，数与余数形成的逆序数是 .6.是 项的代数和，每一项取自 元素的乘积，项的符号是 .7中 是的项.8= ， .9 ， .10 ， .，则中非零元素个数至少有 .（A）；（B），（C）；（D）.12.中零的个数多多于 ，=0.（A）；（B），（C）；（D）.13.（选择填空）设，对排列施行一次对换得到排列的逆序数是 （4） .（A）；（B）；（C）；（D）（二）判断题1 恰有个

7、元素等于0，则=0.2中项的符号是.（三）、解答题1求以下排列的逆序数，并指出排列的奇偶性.（1） 1437265（2）13572468. 2. 选择和，使（1）成偶排列；（2）成奇排列.3. 如果元排列的反序数为,那么的反序数是多少? 4. 若,证明存在元排列,其反序数为.5.证明 6.计算7.证明：8.利用级行列式，证明级排列的奇偶排列各占一半.为个数码的一个排列，求§4-5,7 n级行列式的性质，Gramer法则一、 知识结构与内容提要(一)行列式的性质 1（转置变换）行列式与其转置行列是相等.该性质说明行列式的行列的位置是同等的，因此行所具有的性质列也具有.2 （换法变换）对

8、换行列式中两行（列）位置，行列式反号3（倍法变换）行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外即（1）行列式中某一行（列）为零，则行列式为零（2）如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）（3）行列式中两行（列）成比例，则行列式为04（分行变换） 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和.5 （消法变换）把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变.（二）矩阵与矩阵的初等变换1 定义 由sn个数排成s行n列的表 称为一个s×n矩阵，常记为这些数称为矩阵的元素，i为行指标，j为列指

9、标若矩阵A=， i=1，2，s， j=1，2，n，则说A为数域P上的矩阵 当s=n时，称为n级方阵 n级方阵A=定义的n级行列式称为矩阵A的行列式，记作或detA即，= 矩阵的相等：A=，B=定义A=Bs=p， n=q， =， i=1，2，s， j=1，2，n2矩阵的初等行变换定义 数域P上矩阵的初等行变换是指：1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行，；3) 互换矩阵中两行的位置注：矩阵A经初等行变换变成B，一般地AB3阶梯形矩阵1 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩

10、阵2 任意一个矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯形矩阵3方阵A经过一系列初等行变换变成阶梯阵D，则=3任何一个方阵都可以通过矩阵的初等变换化为上（下）三角形、对角形矩阵.因此任何一个行列式都可以化为上（下）三角形或者是对角形行列式进行计算.（三）、Gramer法则1 n元线性方程组缩写为当不全为0时，称 （）为非齐次线性方程组；当 时，称() 为齐次线性方程组 2Gramer法则 如果线性方程组() 的系数矩阵 的行列式 ，则方程组()有唯一解，其中是把行列式中第列的元素用方程组()的常数项代换所得的一个n阶行列式，即 注：()的系数行列时，()有解且只有唯一解； 若()无解或有两个不同的解，

11、则()的系数行列式 3. （1）形如 称为齐次线性方程组.注： 齐次线性方程组（3）总有解； 为它的一个解， 称之为零解； 除零解外的解（若还有的话）称为非零解（2） 若齐次线性方程组（3）的系数行列 ，则(3)只有零解二、 解题方法与典型例题1 行列式的性质性质是本章的重点，它是行列式计算的理论基础与依据.因此不仅要正确理解这几个性质，更要灵活运用它们.行列式的计算，技巧性强，难度大，只有多做题目，总结方法与题型，积累经验，才能较好的解决行列式的计算问题.不过，不论行列式题目么千变万化，利用行列式的性质把行列式化成上（下）三角形或对角形是进行行列式计算的基础.利用行列式性质进行计算主要掌握三

12、种方法：化简法，目标行列式法，归一法.（1） 化简法，就是利用行列式的倍法变换分行变换和消法变换把行列式的元素化的尽可能的简单. （2） 目标行列式法就是利用行列式的性质，不行列式化成上（下）三角形或对角形行列式.（3） 归一法就是 把行列式的煤航（列）元素都加到某一行（列）上，然或再利用行列式的性质进一步化简.例1 解：将行列式按第一列分解将等号右边的两个行列式按第二列分解，并继续下去，注意到两列相同，行列式为0，得，当时，当.例2 计算解：将第一列乘以-1加到2，3，4列得到 例3 解 将2，3，n列都加到第一列然后将提到行列式的外边，于是得到让第一列分别乘以后，加到第2，3，n+1列得到

13、例4 证明：解：将行列式的行乘以加到第一列得到2 行列式的计算采用程序化的方法，把它通过消法变换化成三角形行列式.其方法的核心是利用矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵.例1 用初等变换将矩阵化为 阶梯形矩阵.解 例2.计算行列式； 解 3 Gramer有关解题方法与典型例题略三、 问题探讨1用数学归纳法证明：对任意级行列式总可以通过允许的变环化成对角形、上三角形、下三角形.2不展开行列式，计算， 3不展开行列式求的的系数.4若级行列式满足，(反对称行列式)则当为奇数时，5设，其中（1）（2）求行列式的值四、思考题与达标训练（一）、判断题1.2.3.（二）、填空题1的第一行的-3倍加到第二行得到 .2

14、交换方阵的两行得到矩阵，则 .3方阵的第二行乘3变为矩阵，则 .4方阵的第二行乘2加到第一行得到矩阵，则 .（三）、解答题1 计算下列行列式 ； ；2.已知546，273，169都是13的倍数，用行列式性质证明也是13的倍数.3 .计算下列行列式； 其中为的一个排列，这两个行列式之间有什么关系？证明你的结论.5.用初等行变换将矩阵化为阶梯形.6.计算行列式 §2.6 行列式的展开定理，拉普拉斯定理一、 知识结构与内容提要1定义：在行列式中划去元素所在的第行与第列，剩下个元素按原来的排法构成一个级的行列式称之为元素的余子式，记为令，称之为元素的代数余子式2位于行列式的第行及第列（， ）

15、交叉位置上的元素按照原来的相对位置组成的行列式称为行列式的一个级子式.在中划去这行列后余下的元素按原来的相对位置所构成的一个级行列式称为级子式的余子式.而称称为的代数余子式.3行列式的展开定理（1）设表示元素的代数余子式，则下列公式成立：即 ， 4. 拉普拉斯定理：任取级行列式的某行（列），由这（列）元素的一切级子式（共个）与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式的值.5. 行列式的乘法规则 设有两个级行列式则其中.6范德蒙行列式范德蒙行列式中，至少有两个相等二、 解题方法与典型例题1、 定义法：适用于0比较多的行列式2、 利用7条基本性质3、 按行（列）展开降级适用于某行（列）0较多的行列式4

16、、 其他方法（一）析因子法例：计算解：由行列式定义知为的4次多项式又，当时，1，2行相同，有，为D的根当时，3，4行相同，有为D的根故有4个一次因式，设令则，即，（二）箭形行列式解：把所有的第列的倍加到第1列，得：可转为箭形行列式的行列式： （第2把第行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式 （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化箭的可转为箭形行列式）（加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）2）解：1)2)（五）三对角型行列式递推公式法1）解：即有于是有同理有即 （先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推

17、关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出的值） 解：同理而 由以上两式解得（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）解： 继续下去，可得 （）1）也可以用加边法做：，2）解：，得（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：证：当时，结论成立假设时结论成立，即，对，将按最后一列拆开，得所以时结论成立，故原命题得证2）证明：证： 时，结论成立假设时，结论成立当时，按第行展开得由归纳假设于是时结论亦成立，原命题得证（八） 范德蒙行列式1）解：考察阶范德蒙行列式显然就是行列式中元素的余子式，即（为代数余子式）又由的表达式（及根与系数的关系）知，中的系数为即，2）解：考虑

18、级范德蒙行列式显然就是行列式中元素的余子式，即，由的表达式知，的系数为 即（三）、问题探讨1若级行列式的所有元素为，则时，.2若级行列式的所有元素为，则.3设，讨论行列式的不同求法：4 设为整数，讨论等于0 的条件.四、思考题与达标训练（一）、填空题1 在中，元素的余子式是 ，代数余子式是 .2 若，则元素的余子式是 ，代数余子式是 .3 设是级行列式，则 ， .4 . 5. .5 4级行列式中的余子式 ，的代数余子式是 （二）、解答题1计算下列行列式； ； ；2.证明3 证明.4用拉普拉斯定理计算下列行列式；5用行列式的乘法定理计算行列式5.计算.6. 计算，其中第二章 总练习题（A）一、 填空题1 奇排列经偶数次对换变成 ，经奇数次对换变成 .2 .3 级行列式