矩阵QR分解在直线误差的运用,

1、矩阵QR 分解在直线度误差测量中的应用摘要直线度误差检测是产品尺寸和几何技术规范(GPS 的重要组成部分,是机械产品加工精度好坏的一个重要度量指标。国家标准GB/T 11336-2004规定,直线度误差是指实际直线对理想直线的变动量1。由定义可知,直线度误差的测量原理是选用一条标准直线作为理想直线与被测实际线相比较,从而确定该变动量的大小,同时应满足理想直线的位置符合最小条件。它分为给定平面内、给定方向上和任意方向上的直线度误差等三种形式,本文主要就第一种情况进行本算法的探讨。目前对于给定平面内的直线度误差的测量,主要是采用最小区域法、两端点连线法和最小二乘法;最小区域法尽管是从直线度的定义出

2、发,对直线度进行了很精确的评定,但当采样样本数量很大时,其评定算法的计算速度较慢,而两端点连线法评定直线度的精度又太低;最小二乘法是以最小二乘直线作为评定基准对直线度误差进行评定,本方法不仅计算上简单,同时也有统计和几何上的意义,但当采样样本数量很大时,其处理速度仍然不快3。基于此,本论文主要描述了在最小二乘法意义下,利用矩阵的QR 分解原理对直线度误差进行测量。1. 矩阵的QR 分解矩阵的QR 分解是指将矩阵A 分解为A=QR ,其中,Q 是正交矩阵,R 是上三角阵。因此,QR 分解有时也称为正交三角分解,下面给出相关定理、推论2。定义1 (教材85页如果(1,2,ii a i n = 均为

3、正实数,(,1,2,1;1,ij a R i j i n j i 且b 。然而,实际情况中很难找到这样的直线l 使样本点12,k P P P 均在直线上,即除非非齐次项b 在A 的列向量组成的子空间中,否则过定方程组通常没有精确解。因此代替求精确解,考虑求最优的解:arg m in kx RxA x b =- (10 在这里,其中的范数取2-范数,也就是说,求得的向量(Tx m n=使得A x b -最小,我们把A x b -记为残差r ,则最小残差r 为r A x b =-;从几何上看,残差r 就是指样本点12,kP P P 与直线l mxn =+:y 在Y 轴方向上的差值,即有: i pi

4、pi rm X nY =+- (11 将(11式表示成矩阵的形式如下:rA x b =- (12 这里,最小二乘法问题即是寻求2xR ,使得残差r 的2-范数22r Ax b =- 取得最小值。传统的求解最小二乘问题的算法是使得残差r 的2-范数2J r = 分别对变量m 、n 求偏寻,令其为零从而求出解向量(Txm n=,即:00JmJ n =(13 将式(13简化为求得的最小二乘直线的待定参数m 、n :111211211112211(k k kPi Pi Pi pii i i m mpi pi i i k k k kPi Pi Pi Pi pi i i i i k kpi pi i i

5、k X Y X Y m k X X X Y X X Y n X k X =-=-=- (14 可以看到,当采样数据量很大时,上式的计算量是很大的,这样势必会造成计算速度的减慢,然而基于矩阵的QR 分解则能很好地解决这一难题。由于正交矩阵保持欧氏距离2,即对任何正交矩阵(Q O n ,都有:(222TTT Qb QAx b Ax Q Q b Ax b Ax E b Ax b Ax r -=-=-=-= (15对最小二乘问题,当A 和b 分别用Q A 和Qb 代替时,方程A x b =的最小二乘解并没有改变,也就是说,使二范数2b A x - 取得最小值的x同时也使二范数2Q b Q A x -

6、取得最小值,即这两个过定方程组有相同的最小二乘解。由于矩阵A 是列满秩矩阵,由定理2,对方程式r A x b =-中的A 进行QR 分解,如是有:0R r Q x b=- (16等式两边同时左乘T Q ,由于Q 为正交矩阵,有2T T Q Q Q Q E =,则上式等价变形为:0TTR Q r x Q b=- (17记残差s Rx c =-,其中,T s Q r =,T c Q b =,记1T c c Q b d = ,0R R = ,则残差s 可写成110R c Rx c s x d d -=-= -(18因此2222122s R x c d =-+ (19因为项22d 与x 无关,所以,求

7、22s 的最小值等价于求212Rx c - 的最小值,而2120R x c - ,且2120R x c -= 当且仅当1R x c =,即22s 的最小值在1R x c =时达到。因为R 是非奇异的,所以方程组1Rx c =有唯一的解,它正是唯一使22s 达到最小值的解2。解出x 即确定了最小二乘拟合直线l 的系数m、n ,这样我们便找到了采样样本点的最小二乘拟合直线。从而可以求出以最小二乘拟合直线作为基准直线来计算各测点对其的最大正偏差和最大负偏差值,找出最大正偏差值的样本点i P 和最大负偏差值样本点j P ,过点i P 、j P 作最小二乘拟合直线l 的平行线1l 、2l ,则所有样本点必全被包含在这两条直线内,这两条平行直线的距离便是所求的直线度误差。示意图如图1所示: 图1 直线度误差示意图3. 结论及讨论(1本文从矩阵的QR分解的理论出发,建立了在最小二乘法意义下的评定直线度算法的数学模型,详细叙述了通过矩阵的QR分解对直线度误差进行测量的原理及其过程。(2基于矩阵QR分解的直线度误差算法进一步