高考数学(理)：第七章立体几何

1、第七章第七章立立 体体 几几 何何 目录链接目录链接第二节第二节 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积.10第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系.17第四节第四节 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质.23第五节第五节 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质.31第六节第六节 空间向量及其运算空间向量及其运算.39第七节第七节 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用.44第一节第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图空间几何体的结构特征及其三视图和直观图3第一节第一节 空间几何体的结

2、构特征空间几何体的结构特征 及其三视图和直观图及其三视图和直观图 考 纲 展 示1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4会画某些建筑物的三视图与直观图 (在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求 ) 空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属中档题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯

3、关一：了解考情，熟悉命题角度 高考对三视图的考查常有以下几个命题角度：(1)由几何体的直观图求三视图；(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图；(3)由几何体的三视图还原出几何体的形状高频考点全通关空间几何体的三视图【命题角度命题角度】【考情分析考情分析】 【答案答案】D 闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解由几何体的三视图求直观图由几何体的三视图求直观图例 1(2013 四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ()【解析】由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.高频考点全通关空间几何体的三视图 【答案答案】 C例 2(2013 湖南高考)已知棱长为 1

4、的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 ()A1B.2C.212D.212【解析】由题可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视图的面积最小，为 111；当正方体逆时针旋转 45时，其正视图的面积最大，为 122.而2121，所以正方体的正视图的面积不可能等于212.闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解由几何体的部分视图画出剩余的部分视图由几何体的部分视图画出剩余的部分视图高频考点全通关空间几何体的三视图闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略三视图问题的常见

5、类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图高频考点全通关空间几何体的三视图闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能1.底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为 2，当其正视

6、图有最大面积时，其侧视图的面积为()A23B3C.3D4解析：选 A当正视图的面积达到最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为 23.高频考点全通关空间几何体的三视图闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能2.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()解析：选 DA 图是两个圆柱的组合体的俯视图；B 图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C 图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选 D.高频考点全通关空间几何体的三视图第二节空间几何体的表面积和体积第二节空间

7、几何体的表面积和体积 考 纲 展 示了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填空题 高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关空间几何体的体积【考情分析考情分析】【命题角度命题角度】 【答案答案】24闯关二闯关二: :典题针对讲解典题针对讲解求以三视图为背景的几何体的体积求以三视图为背景的几何体的体积例 1(2013浙江高考)若某几何体的三视图(单位：

8、cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm3.【解析】根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个三棱柱削去一个三棱锥，则几何体的体积V12345131243324 cm3.高频考点全通关空间几何体的体积闯关二闯关二: :典题针对讲解典题针对讲解求简单几何体的体积求简单几何体的体积例 2(2012江苏高考)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥 ABB1D1D 的体积为_cm3.【解析】由题意，四边形 ABCD 为正方形，连接 AC，交 BD 于 O，则 ACBD.由面面垂直的性质定理，可证AO平面 BB1D1D.四棱锥底面 BB1D1D 的面积

9、为32262，从而 VABB1D1D13OAS长方形 BB1D1D6.【答案】6高频考点全通关空间几何体的体积闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求组合体的体积若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解(3)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解高频考点全通关空间几何体的体积闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能1.(2013广

10、东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4B.143C.163D6解析：选 B由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1111，下底面积 S2224，高 h2，代入台体的体积公式 V13(S1S1S2S2)h13(1144)2143.高频考点全通关空间几何体的体积闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能2.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2009B20018C1409D14018解析：选 A这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为 62210,1214,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为62

11、3，母线长为 2，故 V1045123222009.高频考点全通关空间几何体的体积 考 纲 展 示第三节空间点、直线、平面第三节空间点、直线、平面 之间的位置关系之间的位置关系1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 平面基本性质问题是高考的基础考点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中 高考对平面性质问题的考查有以下两个命题角度：(1)共线、共面、共点问题的证明；(2)空间两直线位置关系的判断 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关平面基本性质的应用【考

12、情分析考情分析】【命题角度命题角度】闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解平面性质的应用平面性质的应用例(2013安徽高考)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当 0CQ12时，S 为四边形；当 CQ12时，S 为等腰梯形；当 CQ34时，S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R13；当34CQ1 时，S 为六边形；当 CQ1 时，S 的面积为62.【解析】对于，如图 1，因为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，当

13、CQ12时，PQ22，这时过 A，P，Q 三点的截面与正方体表面交于点 D1，APD1Q52，且 PQAD1，截面 S 为等腰梯形，当 0CQ12时，过 A，P，Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱 DD1上，截面 S 为四边形，故正确；高频考点全通关平面基本性质的应用闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解平面性质的应用平面性质的应用对于，如图 2，延长 QR 交 DD1的延长线于点 N，连接 AN 交 A1D1于点 M，连接 MC1.取 AD 的中点 G，作 GHPQ交 DD1于点 H，可得 GHAN，且 GH12AN，设 CQt12t1，则 DN2t，ND12t1，C1QND1RC1D1

14、R1t2t1，当 t34时，RC1D1R12，可得C1R13，故正确，当34t1 时，S 为五边形，故错误，当 t1 时，M 为 A1D1的中点，S 为菱形 APC1M，AN5，APPC152，C1N2，S 的面积菱形 APC1M 的面积2SC1MN21223262，故正确高频考点全通关平面基本性质的应用【答案】闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问

15、题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点高频考点全通关平面基本性质的应用闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB 和 AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F 四点共面；(2)CE、D1F、DA 三线共点证明：(1)连接 EF，CD1，A1B.E、F 分别是 AB、AA1的中点，EFA1B.又 A1BCD1，EFCD1，E、C、D1、F 四点共面(2)四边形 EF

16、D1C 是梯形，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA.CE、D1F、DA 三线共点.高频考点全通关平面基本性质的应用 考 纲 展 示第四节直线、平面平行的第四节直线、平面平行的 判定及其性质判定及其性质1能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题 线面平行的判定及性质是每年高考的必考内容，多出现在解答题中的第(1)、(2)问，难度适中，属中档题 高

17、考对线面平行的判定及性质的考查常有以下两个命题角度：(1)以多面体为载体，证明线面平行问题；(2)以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关线面平行的判定及性质【考情分析考情分析】【命题角度命题角度】闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解以多面体为载体，证明线面平行问题以多面体为载体，证明线面平行问题例 1(2013福建高考)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量 AD的方向相同时，画出四棱锥 PABCD的正视图(要求标出

18、尺寸，并写出演算过程)；(2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM平面 PBC；(3)求三棱锥 DPBC 的体积解:(1)在梯形 ABCD 中，过点 C 作 CEAB，垂足为 E.由已知得，四边形ADCE 为矩形，AEDC3，在 RtBEC 中，由 BC5，CE4，依勾股定理得 BE3，从而 AB6.又由 PD平面 ABCD，得 PDAD，所以在 RtPDA 中，由 AD4，PAD60，得 PDADtan 6043.正视图如图所示：高频考点全通关线面平行的判定及性质闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解以多面体为载体，证明线面平行问题以多面体为载体，证明线面平行问题(2)证明：如图所示，取

19、PB 中点 N，连接 MN，CN.在PAB 中，M 是 PA 中点，MNAB 且 MN12AB3.又 CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形 MNCD 为平行四边形，DMCN.DM平面 PBC，CN平面 PBC，DM平面 PBC.(3)VDPBCVPDBC13SDBCPD，又SDBC6，PD4 3，VDPBC8 3.高频考点全通关线面平行的判定及性质闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解以多面体为载体，考查与以多面体为载体，考查与 线面平行有关的探索性问题线面平行有关的探索性问题例 2(2014日照模拟)如图所示，四边形 ABCD 为矩形，DA平面 ABE，AEEBBC2，BF平面 A

20、CE 于点 F，且点 F 在线段 CE 上(1)求证：AEBE；(2)设点 M 在线段 AB 上，且满足 AM2MB，试在线段 CE上确定一点 N，使得 MN平面 ADE.解: (1)证明：由 DA平面 ABE 及 ADBC，得 BC平面 ABE，又 AE平面 ABE，所以 AEBC，因为 BF平面 ACE，AE平面 ACE，所以 BFAE，又 BCBFB，BC，BF平面 BCE，所以 AE平面 BCE.因为 BE平面 BCE，故 AEBE.高频考点全通关线面平行的判定及性质闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解以多面体为载体，考查与以多面体为载体，考查与 线面平行有关的探索性问题线面平行有

21、关的探索性问题(2)在ABE 中，过点 M 作 MGAE 交 BE 于点 G，在BEC 中，过点 G 作 GNBC 交 CE 于点 N，连接 MN，则由CNCEBGBEMBAB13，得 CN13CE.因为 MGAE，AE平面 ADE，MG平面 ADE，所以 MG平面 ADE，又 GNBC，BCAD，AD平面 ADE，GN平面 ADE，所以 GN平面 ADE，又 MGGNG，所以平面 MGN平面 ADE，因为 MN平面 MGN，所以 MN平面 ADE.故当点 N 为线段 CE 上靠近 C 的一个三等分点时，MN平面 ADE.高频考点全通关线面平行的判定及性质闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关

22、三：总结问题类型，掌握解题策略线面平行问题的常见类型及解题策略(1)线面平行的证明问题判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义(无公共点)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性质(，aa)；利用面面平行的性质(，a，a，aa)(2)线面平行的探索性问题对命题条件的探索常采用以下三种方法：a先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果

23、得到了矛盾的结果就否定假设高频考点全通关线面平行的判定及性质闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能(2013新课标全国卷)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面 A1CD；(2)设 AA1ACCB2，AB22，求三棱锥 CA1DE 的体积解：(1)证明：连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点又 D 是 AB 中点，连接 DF，则在ABC1中，BC1DF.因为 DF平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)因为 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 AA1平面 A

24、BC，则 AA1CD.由已知 ACCB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB.又 AA1ABA，AA1，AB平面 ABB1A1，所以 CD平面 ABB1A1.由 AA1ACCB2，AB22，得ACB90， CD2，A1D6， DE3， A1E3， 故 A1D2DE2A1E2，即 DEA1D.所以 VCA1DE13126321.高频考点全通关线面平行的判定及性质 考 纲 展 示第五节直线、平面垂直的判定及其性第五节直线、平面垂直的判定及其性质质1能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简

25、单命题 直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题 高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度：(1)同真假命题的判断相结合考查；(2)以多面体为载体，证明线面垂直问题；(3)以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关直线与平面垂直的判定与性质【考情分析考情分析】【命题角度命题角度】闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解与真假命题的判断相结合考与真假命题的判断相结合考查查例 1(2013 浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若 m，

26、n，则 mnB若 m，m，则C若 mn，m，则 nD若 m，则 m解析：设直线 a，b，abA，m，ma，mb.又 nm，na，nb，n.【答案】C高频考点全通关直线与平面垂直的判定与性质闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解以多面体为载体，证明线面垂直问题以多面体为载体，证明线面垂直问题例 2(2013广东高考)如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADAE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G.将ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 ABCF，其中 BC22.证明：DE平面 BCF；证明：CF平面 ABF；当 AD

27、23时，求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG.证明：（1）在等边三角形 ABC 中，ABAC.ADAE，ADDBAEEC，DEBC，DGBF，又 BF平面 BCF，DG平面 BCF，DG平面 BCF.同理可证 GE平面 BCF.DGGEG，平面 GDE平面 BCF，又 DE平面 GDE，DE平面 BCF.高频考点全通关直线与平面垂直的判定与性质闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解以多面体为载体，证明线面垂直问题以多面体为载体，证明线面垂直问题证明： （2）在等边三角形 ABC 中，F 是 BC 的中点，AFCF，BFFC12BC12.在图 2 中，BC22，BC2BF2FC2，BFC90

28、，CFBF.BFAFF，BF平面 ABF，AF平面 ABF，CF平面 ABF.高频考点全通关直线与平面垂直的判定与性质闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解以多面体为载体，证明线面垂直问题以多面体为载体，证明线面垂直问题证明： （3）AD23，BD13，ADDB21，在图 2 中，AFFC，AFBF，又 BFFCF，AF平面 BCF，由（1）知平面 GDE平面 BCF，AF平面 GDE.在等边三角形 ABC 中，AF32AB32，FG13AF36，DG23BF231213GE，SDGE12DGEG118，VFDGE13SDGEFG3324.高频考点全通关直线与平面垂直的判定与性质闯关三：总结

29、问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略线面垂直问题的常见类型及解题策略(1)与命题真假判断有关的问题解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定(2)线面垂直的证明证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的探索性问题此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法(见本章第四节的通关锦囊)高频考点全通关直线与平面垂直的判定与性质闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB

30、BC2，ADCD7，PA3，ABC120.G 为线段 PC 上的点(1)证明：BD平面 APC；(2)若 G 满足 PC平面 BGD，求PGGC的值解：(1)证明：设点 O 为 AC，BD 的交点由 ABBC，ADCD，得 BD 是线段 AC 的中垂线所以 O 为 AC 的中点，BDAC.又因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD.又 ACPAA，AC平面 APC，PA平面 APC，所以 BD平面 APC.(2)连接 OG.因为 PC平面 BGD，OG平面 BGD，所以 PCOG.在 RtPAC 中，得 PC15.所以 GCACOCPC2155.从而 PG3155，所以PG

31、GC32.高频考点全通关直线与平面垂直的判定与性质 考 纲 展 示第六节空间向量及其运算第六节空间向量及其运算1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 利用空间向量的数量积求解立体几何问题是高考的常考内容，题型有选择、填空题和解答题，难度适中，为中档题高考对空间向量数量积的考查常有以下三个命题角度：(1)求夹角；(2)求长度或距离； (3)解决垂直问题. 闯关一

32、：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关空间向量数量积及其应用【考情分析考情分析】【命题角度命题角度】闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解求夹角或解决垂直问题求夹角或解决垂直问题例直三棱柱 ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E 分别为 AB、BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值解：(1)证明：设CA a，CB b，CC c，由题意知，|a|b|c|且abbcca0，CE b12c，A D c12b12a.CE A D 12c212b20.CE A D ，即 CEAD.(2)AC ac，CE b12c，|AC

33、|2|a|，|CE |52|a|.AC CE (ac)b12c12c212|a|2，cosAC ，CE 12|a|2252|a|21010.故异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为1010.高频考点全通关空间向量数量积及其应用闯关三：总结问题类型，掌握解题策略闯关三：总结问题类型，掌握解题策略空间向量数量积的应用(1)求夹角设向量 a，b 所成的角为，则 cos ab|a|b|，进而可求两异面直线所成的角(2)求长度(距离)运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题(3)解决垂直问题利用 abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题高频考点全通

34、关空间向量数量积及其应用闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化提升解题技能已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1长为 b，且 AA1与 AB，AD 的夹角都是 120.求 AC1的长解：|1AC |21AC 2(AB AD 1AA)2AB 2AD 21AA22AB AD 2AD 1AA2AB 1AAa2a2b202abcos 1202abcos 1202a2b22ab.所以|AC1|2a2b22ab.高频考点全通关空间向量数量积及其应用 考 纲 展 示 第七节空间向量在立体几何第七节空间向量在立体几何中的应用中的应用1

35、理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 利用向量求空间角是每年的必考内容，题型为解答题，难度适中，属中档题高考对空间角的考查常有以下两个命题角度：(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角 闯关一：了解考情，熟悉命题角度闯关一：了解考情，熟悉命题角度高频考点全通关利用向量求空间角【考情分析考情分析】【命题角度命题角度】闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解求直线与

36、平面所成的角求直线与平面所成的角例 1(2013新课标全国卷)如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C与平面 BB1C1C 所成角的正弦值解： （1）证明：取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B.因为 CACB，所以 OCAB.由于 ABAA1，BAA160，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB.因为 OCOA1O，OC，OA1平面 OA1C，所以 AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C.高频考点全通关利用向量求空间角闯关二：典题针对讲解

37、闯关二：典题针对讲解求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角解： （2）由（1）知 OCAB，OA1AB.又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点，OA ，1OA，OC 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由题设知 A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(1,0,0)则BC (1,0，3)，1BB1AA(1，3，0)，1AC(0，3，3)设 n(x，y，z)是平面 BB1C1C 的一个法向量，则10,0,BCBBnn 即x3

38、z0，x3y0.可取 n(3，1，1)故 cos1,AC n11ACACnn105.所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为105.高频考点全通关利用向量求空间角闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解求二面角求二面角例 2(2013四川高考)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 的中点在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；设中的直线 l 交 AB 于点 M， 交 AC 于点 N， 求二面角

39、 AA1M N 的余弦值解： （1）如图，在平面 ABC 内，过点 P 作直线 lBC，因为 l 在平面 A1BC 外，BC 在平面 A1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知， l平面 A1BC.由已知，ABAC，D 是 BC 的中点，所以 BCAD，则直线 lAD.因为 AA1平面 ABC，所以 AA1直线 l.又 AD，AA1在平面 ADD1A1内，且 AD 与 AA1相交，所以直线 l平面 ADD1A1.高频考点全通关利用向量求空间角闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解求二面角求二面角解：（2）设 A1A1.如图，过 A1作 A1E 平行于 B1C1，以 A1为坐标原点，分别以1A E，11A D，1A A的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz(点 O 与点 A1重合)则 A1(0,0,0)，A(0,0,1)因为 P 为 AD 的中点，所以 M，N 分别为 AB，AC 的中点，故 M32，12，1，N32，12，1，所以1A M32，12，1，1A A(0,0,1)，NM (3，0,0)高频考点全通关利用向量求空间角闯关二：典题针对讲解闯关二：典题针对讲解求二面角求二面角设平面 AA1M 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则1111,A MA Ann即11110,0,A MA Ann故有x1，y1，z13