实变函数试题库(五)及参考答案

1、实变函数试题库及参考答案(5)本科、填空题1 .设A,B为集合，则AUB(BA)UA2 .设ERn,如果E满足E0E(其中E0表示E的内部)，则E是3 .设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)G且aG,bG,则(a,b)必为G的4 .设Ax|x2n,n为自然数，则A的基数a(其中a表示自然数集N的基数)5 .设A,B为可测集，BA且mB，则mAmB_m(AB)6 .设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(ab),都有Exaf(x)b是7 .若E(R)是可数集，则mE_08 .设fn(x)为可测集E上的可测函数列，f(x)为E上的可测函数，如果a.efn(x)f(x)

2、(xE),则fn(x)f(x)xE(是否成立)二、选择题1、设E是R1中的可测集，(x)是E上的简单函数，则()(A) (x)是E上的连续函数(B) (x)是E上的单调函数(C)(x)在E上一定不L可积2.下列集合关系成立的是()(A) AI (BUC) (AI B) U(AI C)(C) (B A)I A3.若ERn是闭集，则 ()(A) E0 E(B) E E(x)是E上的可测函数(B) (A B)I A(D) AU B AI B(C) E E(D) E E三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)1 .设E0,1中的有理点，则()(A)E是可数集(B)E是闭集(C)mE0(D)E中的

3、每一点均为E的内点2.若E(R)的外测度为0,则()(A)E是可测集(B)mE0(C)E一定是可数集(D)E一定不是可数集3 .设mE,fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，如果fn(x)f(x),(xE),则下列哪些结果不一定成立()(A)Ef(x)dx存在(B)f(x)在E上L-可积a.e(C)fn(x)f(x)(xE)(D)limfn(x)dxf(x)dxnEE4 .若可测集E上的可测函数f(x)在E上有L积分值，则()(A) f(x)L(E)与f(x)L(E)至少有一个成立(B) f(x)L(E)且f(x)L(E)(C) |f(x)|在E上也有

4、L-积分值(D) |f(x)|L(E)四、判断题1 .可列个开集的交集仍为开集2 .任何无限集均是可列集3 .设E为可测集，则一定存在F集F,使FE,且mEF0.4 .设E为零测集，则fx为E上的可测函数的充要条件是：实数a都有Ex|f(x)a是可测集()五、定义题1 .可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？2 .可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系?3 .a,b上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系?六、计算题1.设Dxx为0,1上的有理点x为01上的无理点，求Dxdx.0,1lnxnx2.求limecosxdx.n0七、证明题n*1.设ER是有界集，则mE1_2.R上

5、的实值连续函数f(x)是可测函数3.设mE，函数f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上L可积,续函数是L可积的从而a,b上的连4.设fn(x)(n1,2,L)是£上的L可积函数，如果lim|fn(x)|dxnEn'0,则fn(x)0实变函数试题库及参考答案（2）本科一、填空题1.=2.开集3.构成区间4尸5.=6.可测集7尸8.不一定成立二、单选题1.D2.A3.B三、多选题1.AC2.AB3.ABCD4.AD四、判断题xxVV五、定义题1 .答：设fnx,fx是可测集E上的一列可测函数，那当mE时，fnxfx,a.e于E,必有fnxfx.反之不成立，但不论mE还是mE,f

6、nx存在子列fnkx，使fnkxfx,a.e于E.当mE时，fnxfx,a.e于E,由Egoroff定理可得fnx近一致收敛于fx,反之，无需条件mE,结论也成立.2 .答：E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上可测函数在E上是“基本上”连续的函数3 .答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、解答题1.证明记Ei是0,1中有理数集，E2是0,1中无理数集，则0,1E1 UE2, E1 I E2,mE10,mE21,且Dx1E0所以Dxdx1mE10mE20.0,12.解易知limn对任意x 0, nInxnxecosxnIn x y32,y

7、Inxnn5Inxy设f(y),y0,则f(y)y当y 3时,1 ln x y , f (y) 0.xy-lnxn.一，一则f(n)是单调减函数且非负(n3)；又limnln x nlimn0 ,由Levi单调收敛定理得limnln x n dxnlimnln x n dx0 0dx °，即ln x n L(E),再由Lebsgue控制收敛定理得limnln x n x e cos xdx0 nln lim nx cosxdx0 0dx 0n七、证明题1.证明因为E是有界集，所以存在开区间I,使EI*.由外测度的单调性，mEmI,而mI|I|(其中11|表示区间I的体积)，*所以mE2.证明因为f(x)连续，所以对任何实数 a, x| f(x)a是开集，而开集为可测集，因此f(x)是可测函数3 .证明因为f(x)在E上有界可测，所以存在M0,使|f(x)|M,xE,|f(x)|是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，Jf(x)|dxEMdxMmE故|f(x)|在E上L可积，从而f(x)在E上L可积因为a,