实变函数试卷及答案

1、题号一二三四五总分满分2010102040100得分阅卷人复核人课程名称： 实变函数 任课教师： 刘文苗 考试时间：120分钟 一考试性质(学生填写“，”)：正常考试()缓考补考()重修()提前修读()一满分 20 | 一、判断正误(每小题2分) W满分20得分,则 mE m(E A)()二E,f(x) 0,则 f(x) 0.()二0,1和0,1之间1 1对应的映射. 二()一() _满分10得分邯郸学院2009-2010学年第一学期二2007级数学与应用数学专业本科期末考试试卷(A)_一 1、若一个点不是E的聚点，则必然也不是E的内点.()二一封2、若f(x)g(x),a.e.于E,f(x)

2、在可测集E上可测，则g(x)也在E上可二一一测.()二一 3、若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意可测子集上也可测.()二_二4、任意个开集的交也是开集.一5、可列集在无限集中具有最小的势.一6、若E可测，A可测，且m(AE)0一 7、设f(x)在可测集E上可积分，若x一密8、由于0,10,10,1,故不存在使一 9、ae收敛的函数列必依测度收敛. 10、连续函数一定是有界变差函数./、填空题(每空2分)二本试卷共6页第1页一-1.1、设A2n1(0,),An(0,n),n1,2,则集列An的上限集为n2、设P为Cantor集，则mP.3、设Q为有理数集，则04、f(x)可测的条件

3、是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设mE,则有LpL1,(P1).满分10三、单项选择题(每小题2分)得分1、下列断言中()是错误的.(A)零测集是可测集；(B)可数个零测集的并是零测集；(C)任意个零测集的并是零测集；(D)零测集的任意子集是可测集.2、设f(x)是a,b上绝对连续函数，则下面不成立的是().(A)f(x)在a,b上的一致连续函数；(B)f(x)在a,b上处处可导；(C)f(x)在a,b上L可积；(D)f(x)是有界变差函数.3、设fn(x)是E上的ae有限的可测函数列，则下面不成立的是().(A)若fn(x)f(x),则fn(x)f(

4、x)；(B)SUpfn(x)是可测函数；n(C)inffn(x)是可测函数；(D)若fn(x)f(x)，则f(x)可测.n4、若f(x)是可测函数，则下列断言()是正确的.(A) f(x)在a,bL可积|f(x)|在a,bL可积；(B) f(x)在a,bR可积|f(x)|在a,bR可积；本试卷共6页第2页(C)f(x)在a,bL可积|f(x)|在a,bR可积；(D)f(x)在a,R广义可积f(x)在a,+L可积.5、设f(x)是a,b上有界变差函数，则下面不成立的是().(A)f(x)在a,b上有界；(B)f(x)在a,b上几乎处处存在导数；b(C)f'(x)在a,b上L可积；(D)f'(x)dxf(b)f(a).a满分20四、计算题(每小题10分)得分2、一x,xP，1、设f(x),其中Po为Cantor集，计算rndlf(x)dm.Vx,x0,1Po0'12、求极限lim01nlexcosxdx_满分40五、证明题(每小题10分)_得分二1、设f(x)是，上的实值连续函数，则对于任意常数a,Ex|f(x)a_是闭集.2、设在E上fn(x)f(x)，而fn(x)gn(x)a.e.成立，n1,2,则有gn(x)f(x).本试卷共6页第3页本试卷共6页第5页3、设f(x)是E上ae有限的函数，若对任意0,存在闭子集FE,使f(x)在F上连续，且m(E