插值与数据拟合

1、插值与数据拟合插值与数据拟合第七讲第七讲插值与数据拟合插值与数据拟合7.1 引言引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi , yi ) (i = 1, 2, , n) 揭示自变量 x 与因变量 y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式 y = f(x) 来表示。函数 f(x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。 7.1.1 插值 引例 7.1.1 已经测得在北纬 32.3 海洋不同深度处的温度如下表： 表7.1.1根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如 500米、600米、1000米）处的水温。 解决这个问题，可以通过

2、构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 深度x (m)46671495014221634水温y (C)7.044.283.402.542.13 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 插值问题的基本提法插值问题的基本提法：对于给定的函数表其中 f(x) 在区间 a, b 上连续，x0，x1，xn为 a, b 上 n1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类 P(x) 中，选出一个使P(xi ) = yi，i = 0, 1, , n (7.1.1)成立的函数 P(x) 作为 f(x) 的近似，这就是最基本的插值

3、问题（见图7.1.1）。xx0 x1 xny = f(x)y0y1 yn 为便于叙述，通常称区间 a, b 为插值区间，称点 x0，x1，xn为插值节点，称函数类 P(x) 为插值函数类，称式 (7.1.1) 为插值条件，称函数 P(x) 为插值函数，称 f(x) 为被插函数。求插值函数 P(x) 的方法称为插值法。 4006008001000120014001600180023456789 图 7.1.1 插值问题示意图 引例 7.1.2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下： 表7.1.2根据这些数据，我们希望寻找一个 y = f(t) 的近似表达式（如建立浓度y

4、与时间 t 之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），,（16, 10.60），求函数 y = f(t) 的图象的一条拟合曲线。 时间t（分）12345678浓度y1034.006.408.008.809.229.509.709.86时间t（分）910111213141516浓度y10310.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.60 数据拟合问题的基本提法数据拟合问题的基本提法：对于给定的函数表 其中 f(x) 在区间 a, b 上连续，x0，x1，xn为 a, b 上 n1个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数近似表达式

5、(x)，使 (x) 与 f(x) 在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题（见图7.1.2）。 通常，我们称 (x) 为给定数据点的拟合函数。xx0 x1 xny = f(x)y0y1 yn图7.1.2 数据拟合问题示意图 024681012141634567891011 7.1.3 插值与数据拟合的基本理论依据 插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的 Weierstrass 定理：设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，则对 0，存在多项式P(x)，使得即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。)()(max,xPxfbax 7.1.4 实际应用中两种方法的选择 在实

6、际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来考虑： 1如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。 2如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。7.2 一维数据的基本插

7、值方法简介一维数据的基本插值方法简介 插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是 a, b 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段多项式插值与三次样条插值，及其 Matlab 实现。 7.2.1 一维数据的分段多项式插值 对于给定的一维数据分段多项式插值就是求一个分段（共 n 段）多项式 P(x)，使其满足 P(xi) = yi（i = 0, 1, , n）或更高的要求。一般地，分段多项式插值中的多项式都是低次多项式（不超过三次）。xx0 x1 xny = f(x)y0y1 yn 1分段线性插值 分段线性插值函数 P1

8、(x) 是一个分段一次多项式（分段线性函数）。在几何上就是用折线代替曲线，如图 7.2.1，故分段线性插值亦称为折线插值。其插值公式为 其中 xxi, xi +1 ) 1 . 2 . 7( )(11111iiiiiiiiyxxxxyxxxxxP图 7.2.1 分段线性插值示意图 2分段二次插值 分段二次插值函数 P2(x) 是一个分段二次多项式。在几何上就是分段抛物线代替曲线 y = f(x)，故分段二次插值又称为分段抛物插值。其插值公式其中 xxi -1 , xi +1 111111111111112)()()()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxxxxxxxxyx

9、xxxxxxxyxxxxxxxxxP)2 . 2 . 7( 1111 iikkikjijjkjyxxxx 3三次 Hermite 插值 三次 Hermite 插值问题的基本提法一：已知一维数据求一个三次多项式 P3(x)，使之满足P3(xi) = yi，P3(xi) = mi，i = 0, 1 (7.2.3)xx0 x1y = f (x)y0y1y = f (x)m0m1下面的 (7.2.5)、 (7.2.6) 两式构成里三次 Hermite插值基本提法一的插值公式P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.5) )6 . 2 . 7( )()()()(2

10、1)(21)(2010112101002010101121010100 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 三次 Hermite 插值问题的基本提法二：已知一维数据求一个三次多项式 P3(x)，使之满足P3(xi) = yi，i = 0, 1, 2，P3(x1) = mi (7.2.3)xx0 x1x2y = f (x)y0y1y2y = f (x)m1下面的 (7.2.9)、 (7.2.10) 两式构成里三次Hermite 插值基本提法二的插值公式P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9) )10. 2 . 7( )(

11、)()()()()()(11)(1)()()()()()()()()(21012101212022103210112120 1201202102210 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 7.2.2 一维数据的三次样条插值 上述介绍的分段多项式插值，其优点为计算简单、稳定性好、收敛性有保证，且易于在计算机上实现。但它也明显存在着缺陷。它只能保证在每个小区间段 xi, xi+1 内光滑，在各小区间连接点 xi 处连续，却不能保证整条曲线的光滑、光顺性，难以满足某些工程的要求。对于象高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有

12、二阶连续导数。而由 60 年代开始，首先起源与航空、造船业等工程设计的实际需要而发展起来的样条插值，既保留了分段多项式插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑度。 在此，仅介绍应用最广且具有二阶连续导数的三次样条插值方法。 1三次样条插值问题的基本提法 对于给定的一维数据求一个三次多项式 S(x) 满足条件 （1）S(xi) = yi，i = 0, 1, , n； （2）S(x) 具有二阶连续导数，特别在节点 xi 上应满足连续性要求，即对 i = 0, 1, , n 有xx0 x1xny = f(x)y0y1yn)0( )0( )0( )0( )0()0(iiiiiixSxSxSxSxSxS

13、2三次样条插值函数 给定区间 a, b 的一个划分：a = x0 x1 0, b 0）。baxxx)(xbaex )( (2) 拟合运算 首先，分别用二、三、六次多项式拟合，计算得输出参数分别为 p1 = 0.0445，1.0711，4.3252 p2 = 0.0060，0.1963，2.1346，2.5952 p3 = 0.0000，0.0004，0.0103，0.1449， 1.1395，4.9604，0.0498拟合函数分别为 (1)(x) = 0.0445 1.0711x 4.3252x2 (2)(x) = 0.0060 0.1963x 2.1346x2 2.5952x3 (3)(x)

14、 = 0.0004x 0.0103x2 0.1449x3 1.1395x4 4.9304x5 0.0498x6； 其次，再用有理分式拟合，计算得输出参数分别为p = 0.0841，0.1392拟合函数为 baxxx)(1392. 00841. 0)(ttx 最后，用指数函数拟合，计算得输出参数分别为p = 11.3578，1.0873拟合函数为 三种方式五个种函数的拟合曲线见图 7.4.27.4.4。 xbaex )(tex0873. 13578.11)(图 7.4.2 多项式函数拟合曲线图 图7.4.3 有理分式函数拟合曲线图 图7.4.4 指数函数拟合曲线图 (3) 误差分析 和给定的 1

15、6 组数据比较，三种方式五个函数拟合的误差见下表： 表7.4.1 五个函数拟合的误差表其中：偏差平方和以及平均偏差平方和为：偏差平方和平均偏差平方和最大偏差二次多项式拟合4.44160.27761.3518三次多项式拟合1.22920.07680.6067六次多项式拟合0.11690.00730.2684有理分式拟合0.57320.03580.4772指数函数拟合0.17770.01110.2544niiiniiyx1212)(niiiniiyx1212)(161161 从上表中求得的误差情况来看，好似六次多项式函数拟合的最好，指数函数拟合次之，然后分别是有理分式函数拟合、三次多项式函数拟合和

16、二次多项式函数拟合。但是，就这个实际问题的本质来说，化学反应中生成物的浓度到一定时间后应基本稳定，即当 t 时， f(t) 常数。 而我们有8906.111392. 00841. 0limttt3578.113578.11lim0873. 1tte三个多项式函数拟合曲线的趋势也可从图 7.4.5 看出。 图 7.4.5 0510152025-30-20-100102030三 条 拟 合 曲 线 的 趋 势 图实 线 ： 二 次 多 项 式 拟 合 曲 线 虚 线 ： 三 次 多 项 式 拟 合 曲 线 -虚 点 线 ： 六 次 多 项 式 拟 合 曲 线 - - (4) 结论 通过以上的计算和

17、分析，我们得出如下结论：本问题可用指数函数或有理分式函数来拟合，其拟合函数分别为tex0873. 13578.11)(1392. 00841. 0)(ttx拟合误差为 表7.4.2 (5) Matlab 程序 略。偏差平方和平均偏差平方和最大偏差指数函数拟合0.17770.01110.4772有理分式拟合0.57320.03580.25447.5 范例范例水道测量数据水道测量数据（AMCM 86A题）。 本问题由加州海军研究生院数学系的Richard Franke 提供，问题如下： 在某海域测得一些点（x, y）处的水深 z（单位：英尺）由表 7.5.1 给出，水深数据是在低潮时测得的。船的吃

18、水深度为 5 英尺，问在矩形区域 (75，200)(50，150) 里的哪些地方船要避免进入。表7.5.1 水道水深测量数据（单位：英尺） x129.0140.0108.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y6.581.03.056.566.584.038.5z9988949 解：(1) 假设 由题目给出的信息是很少的，除了 14 个位置的水深之外一无所知。显然，题目要求我们找出水深不到 5 英尺的区域。为了讨论方便，下面三个假设是合理的： 所给数据是精确的； 讨论区域的海底曲面是光滑的，更确切地说，可以认为曲面的一阶、二阶导数是连续的。因为我们可以认为讨论区域为浅水海域，由于长期的海水水流作用，形成的是以砾石或沙为主要组成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突变地形。 水深是一个按区域来划分的变量，在某个位置的水深与其周围区域的水深是相互依赖的，但这种依赖作用随距离的增大而减小。就我们讨论的问题来说，每一个给定数据点影响周围的每一个未知点，一个给定数据点离未知点越近，作用就越大。 (2) 问题分析 根据假设，海底曲面是连续光滑的，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突变地形，因而很自然的想法就是用某种光滑的拟合