例谈坐标系中的折叠问题

1、折叠问题在平面直角坐标系中的应用例谈（初三） 这是正在悄然兴起的一个中考热点.因为在直角坐标系中，几何图形的位置和大小都可以用“数”来表示，折叠问题又涉及全等变换和轴对称问题下面，我们通过2005年中考题来研究平面直角坐标系下的折叠问题：例1 （2005·大连）如图，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA6，OC8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF（1） 可以通过_办法，使四边形AEFO变到四边形BEFC的位置（填“平移”、“旋转”或“翻转”）；ABCOEFxy图1（2） 求点E的坐标；（3） 若直线l把矩形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l必经过点的坐标是_.思路探

2、求:（1）分析题意可知，矩形是中心对称图形，而本题的折痕与对角线交点应是矩形对称中心，所以可以通过旋转的办法（2）连结OE，OE=BE，解RtAOE即可(3)由第(1)小题分析可知,对称中心应为折痕与对角线交点,过此点引两坐标轴垂线段,由三角形中位线性质可求出对称中心坐标.答 案:(1)旋转;(2)E(6,); (3) (3,4).例2 （2005·日照） 如图2，OAB是边长为4+2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正半轴上.将OAB折叠，使点A与OB边上的点P重合，折痕与OA、AB的交点分别是E、F如果PEx轴, （1）求点P、E的坐标； （2）如果抛物线经过点P、E

3、，求抛物线的解析式图2思路探求: （1）由于题设可知POE为直角三角形,且POE=600,于是可设PO=m,则由对称性质可知, .所以可求出m=2.于是可求出点P、E的坐标.(2)把点P、E的坐标代入抛物线解析式即可求出b,c.答 案:（1）点P（0，2）、E（）的坐标（2）图3-1例3 （2005·苏州）如图3-1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为，C点坐标为D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将沿OD翻折，得到；再在AB边上选取适当的点E，将沿DE翻折，得到，并使直线DG、DF重合（1）如图3-2，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关

4、系式；（2）设，求关于的函数关系式，并求的最小值；图3-2（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图3-2的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点思路探求: (1)当点F落在OA边上时,四边形OFDC应为正方形,故D(6,6),此时边形DGEB也为正方形,BE=BD=4,故E(10,2).可出求直线DE的函数关系式.(2)经过分析,发现OCDDBE,可写出比例式,可得,即可得最小值.(3)可根据特殊位置关系猜想直线DE与抛物线的公共点的个数,并进行验证.答 案:（1）y=-x+12 （2）关于的函数关系式: ,当a=5时，b最小

5、值= （3）猜想：直线DE与抛物线证明：由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12 代入抛物线，得 化简得x2-24x+144=0，所以=0 所以直线DE与抛物线作法一：延长OF交DE于点H作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MHBC，交DE于点H例（2005·南通）在平面直角坐标系中，直线ykxm（ k ）经过点A（2，4），且与y轴相交于点C点B在y轴上，O为坐标原点，且OBOA72 记ABC的面积为S（1）求m的取值范围；（2）求S关于m的函数关系式；（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将ABC沿AC折叠得到ABC，求点B的坐标思路探求: (1)由于直线y=

6、kxm（k）经过点A（2，4），×2km=4，k =1m k，1m即可解出.(2)由 A点的坐标是（2，4），OA=2又OB=OA72，OB=7B点的坐标为（0，7），或（0，7） 分两种情况进行讨论.(3) 当 m=2时，一次函数S=m7取得最大值5，这时C（0，2）画出图形,进行分析,解RtBCE即可.答 案:（1）解得2m6（2）直线y=kxm与y轴的交点为C（0，m）当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2m6，故BC=7m S=·2·BC=（7m）当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2m6，故BC=7mS=·2·BC=（7m） （3）如图4，分别过点A、B作y轴的垂线AD、BE，垂足为D、EyA（，4）B（0，7）C（0，2）OxB(图4）DE则AD=2，CD=42=2在RtACD中，tanACD=，ACD=60°由题意，得AC B=ACD