专题训练圆的切线中常见的辅助线

1、专题训练（一）圆的切线中常见的辅助线?类型之一 遇到切线时，连半径，得垂直1. 如图 1 ZT 1, FA, PB 切GO 于点 A, B, C 是GO 上一点， 且OP = 48，贝卩GACB等于（）图 1 ZT 1A. 54B. 66C. 114D. 1322. 2019德州如图1 ZT 2, AB是OO的直径，直线 CD与GO 相切于点C,且与AB的延长线交于点E, C是BF的中点.（1）求证：AD GCD;若GCAD = 30,G O的半径为3, 只蚂蚁从点B出发，沿 着BE EC CB爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程（n3.14, 31.73 结果保留一位小数）.图 1 ZT 23. 如

2、图 1 ZT 3,在 RtAABC 中，/ ACB= 90, D 是边 AB 上一点，以BD为直径的GO与边AC相切于点E,连接DE并延长， 交BC的延长线于点F.(1)求证：BD = BF;3若CF = 1, cosB= 5,求GO的半径.图 1 ZT 3 ?类型之二 证明某一直线是圆的切线 一、有共点，连半径，证垂直4. 2019金华如图1 ZT 4,在RtAABC中，点 O在斜边 AB上，以点O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC, AB相交于点D,E,连接 AD已知 GCAD=OB.(1) 求证：AD是GO的切线.1(2) 若 BC= 8, tanB = 2，求 GO 的半径.图 1 Z

3、T 45. 2019济宁如图1 ZT 5,已知GO的直径 AB= 10,弦AC=8, D是BC的中点，过点D作DEGAC交AC的延长线于点E.(1) 求证：DE是GO的切线；(2) 求AE的长.图 1 ZT 56. 如图1 ZT 6,已知GO的半径为1, DE是GO的直径，AD 是GO的切线，C是AD的中点，AE交GO于点B,四边形BCOE是平行四边形.(1) 求AD的长；(2) BC是。O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.图 1 ZT 6二、无共点，作垂直，证半径7. 2019 安顺如图 1 ZT 7,在 OABC 中，AB = AC, O 为 BC的中点，AC与半圆O相切于点

4、D.(1) 求证：AB是半圆O所在圆的切线；2(2) 若cos/ ABC=3, AB= 12,求半圆O所在圆的半径.图 1 ZT 78. 如图1 ZT 8,已知O是正方形ABCD对角线AC上的一点，以点0为圆心、0A长为半径的圆与BC相切于点M，与AB, AD分别相交于点E, F.求证：CD是OO的切线.图 1 ZT 89. 如图1 ZT 9, AB是OO的直径，AM , BN分别切OO于点A, B, CD 分别交 AM, BN 于点 D, C, DO 平分 OADC.(1)求证：CD是OO的切线；第3页/共14页若AD = 4, BC = 9,求OO的半径R.图 1 ZT9教师详解详析1.

5、B2. 解：（1）证明：连接OC. G直线CD与OO相切，二0C丄CD.v C 是BF的中点，二/ DAC = OEAC.t OA= OC，Z OCA=OEAC,:丄 DAC = GOCA,a OC/ AD.v OCX CD, AD 丄 CD.（2） O（CAD = 30, Z CAE= OCAD = 30 .由圆周角定理，得OCOE = 60, OE= 2OC= 6, EC= 3OC = 3 3, BC= 花0 =n,. BE=3,蚂蚁爬过的路程=3+ 3 . 3+n 11.3.3. 解：（1）证明：连接OE.v AC与OO相切于点E, OEXAC,Z OEA= 90 .vZ ACB= 90

6、,Z OEA=CACB,第5页/共14页 OE/ BC,./ OED=OF.v OE= OD，/ OED=GODE,:丄 F=OODE,a BD = BF.BC 3 O cOB= AB = 5,设 BC= 3x,则 AB= 5x.又 CF = 1 , BF = 3x + 1.由（1）知 BD = BF , BD = 3x +1. GOEOBF, O 是 BD 的中点I 八、OB= OE = |bF =3x+12OA= AB OB= 5x-3x+ 1 7x 12 = 2v OE / BF，/ AOE=OB,3x+ 1cos/ AOE=OA=5,即27x 135,43x+ 15解得x= 4，：O

7、O的半径为 2=夕4. 解：(1)证明：如图，连接OD.v OB= OD，/ 3= OB.vZ B=O1, / 1 = 03.在 Rt ACD 中，Z 1+02= 90, Z 4= 180 ( 02+03= 90,二 OD 丄 AD.v点D在00上， AD为00的切线.设OO的半径为r.在RtAABC中，AC= BC teBi= 4.根据勾股定理，得AB= 42 + 82 = 45, 0A= 45 r.1在 Rt ACD 中，tanZ 1 = tanB = 2， CD = AC taZ 1 = 2.根据勾股定理，得 AD2 = AC2+ CD2= 16 + 4= 20,在 Rt ADO 中，0

8、A2= OD2 + AD2,即(45 r)2 = r2 + 20,解得 r = .5. 解：(1)证明：如图，连接OD, OC.v D是BC的中点，1 BD=2BC,1/ BOD = 2BOC= obae, OD / AE.v DE丄AC,./ AED= 90,二/ ODE = 90, OD 丄 DE.v点D在OO上， DE是OO的切线.(2)如图，过点O作OFOAC于点F.OAC = 8,1 1 AF = CF = 2AC= 2 x 8 4.vZ OFE=ODEF =OODE = 90,四边形OFED是矩形，其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记” 之后会“活用”。不记

9、住那些基础知识，怎么会向高层次进军？尤其是 语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章 的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学 生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。 这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。二FE = OD1=2AB. GAB= 10,二 FE = 5,AE=AF + FE = 4 + 5= 9.6. 解：(1)如图，连接BD.v DE是OO的直径，/ DBE=ODBA= 90 .v四边形BCOE是平行四边形， BC/ OE, BC= O

10、E= 1.在Rt ABD中，C为AD的中点，1 BC= qAD = 1 , AD = 2.(2)BC是OO的切线.证明：如图，连接OB.由(1)得 BCOOE, 且 BC= OE.vOE= OD, BC = OD,四边形BCDO是平行四边形.又GAD是OO的切线，二OD丄AD,四边形BCDO是矩形， OB 丄 BC.T点B在OO上， BC是OO的切线.7. 解：(1)证明：如图，过点 O作OEOAB于点E,连接OD,OA.v AB=AC, O是BC的中点， / CAO=OBAO.v AC与半圆O相切于点D, OD丄AC.v OE丄AB,. OD = OE.v AB过半圆O的半径的外端点， AB

11、是半圆O所在圆的切线.(2)如(1)题图，v AB=AC, O是BC的中点， AO 丄 BC.在 RtAAOB 中，OB= AB coSABC=12|= 8.根据勾股定理，得 OA AB2- OB2= 45.1 1aob = 2AB OE=2OB OA,/. oe=OBAjOA=吁，即半圆o所在圆的半径为葺58. 解析此例未给出直线和圆的公共点，在这种情况下，应连接OM，并过点O作ONGCD于点N,然后证明ON= OM即可.为此只需证明GOMC OGONC即可.证明：如图，连接OM，过点O作ONGCD于点N.T BC与OO相切于点M， OM 丄 BC，即 OOMC= 90 .v ONGCD，:

12、丄 ONC=GOMC = 90 .v四边形ABCD是正方形，AC为正方形ABCD的对角线，:丄 OCM = GOCN = 45 .GOMC = GONC，在 GOMC 和 GONC 中， / OCM = GOCN，OC= OC， OMCONC(AAS)，二 OM = ON.v ON丄CD，二CD是GO的切线.9. 解：(1)证明：如图，过点 0作OEGCD于点E.v AM切。0于点A, 0A 丄 AD.又ODO平分OADC, 0E= 0A. CD是。0的切线.(2)如图，过点D作DF OBC于点F.匚、v AM, BN分别切。0于点A, B,宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为

13、“教谕” 至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习” 到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在 明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管 教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的 副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学” 中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、 皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 AD丄AB, AB丄BC,四边形ABFD是矩形, AD= BF, AB= DF.又 OAD = 4, BC= 9,唐宋或更早之前，针对“经学” “律学”“算学”和“书学

14、”各科 目,其相应传授者称为“博士” ,这与当今“博士”含义已经相去甚 远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者,又称“讲师” 。 “教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋,乃“宗学” “律 学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已 设立了,主要协助国子、博士培养生徒。 “助教”在古代不仅要作入 流的学问,其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设 之“助教”一席,也是当朝打眼的学官。 至明清两代, 只设国子监 （国 子学）一科的“助教”,其身价不谓显赫, 也称得上朝廷要员。 至此, 无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“助教”,其今日教师应具有的 基本概念都具有了。 FC = 9 4= 5.与当今 “教师”一称最接近的 “老师 ”概念,最早也要追溯至宋元时 期。金代元好问示侄孙伯安诗云： “伯安入小学,颖悟非凡貌, 属句有夙性, 说字惊老师。 ”于是看,宋元时期小学教师被称为 “老师 ” 有案可稽。清代称主考官也为 “老师 ”,而一般学堂里的先生则称为 “教 师”或“教习”。可见, “教