第六章平行四边形（通用） (2)

1、特殊平行四边形的性质与判定特殊平行四边形的性质与判定虎威中学 李书杰习题课 项目项目四边形四边形对边对边角角对角线对角线对称性对称性平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形平行且相等平行且相等平行且四边相等平行且四边相等对角相等邻角互补四个角都是直角对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形几种特殊四边形的性质：几种特殊四边形的性质： 四边形四边形条件条件平行平行四边形四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形几种特殊四边形

2、的常用判定方法：几种特殊四边形的常用判定方法：1、定义：两组对边分别平行、定义：两组对边分别平行 2、两组对边分别相等、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等、一组对边平行且相等 4、对角线互相平分、对角线互相平分1、定义：有一外角是直角的、定义：有一外角是直角的平行四边形平行四边形 2、三个角是直角的、三个角是直角的四边形四边形3、对角线相等的、对角线相等的平行四边形平行四边形1、定义：一组邻边相等的、定义：一组邻边相等的平行四边形平行四边形 2、四条边都相等的、四条边都相等的四边形四边形3、对角线互相垂直的、对角线互相垂直的平行四边形平行四边形1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的、定义

3、：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形平行四边形2、有一组邻边相等的、有一组邻边相等的矩形矩形 3、有一个角是直角的、有一个角是直角的菱形菱形 典型题解 教材母题教材母题(教材教材P69第第14题题)如图如图，四边形四边形ABCD是正方形是正方形，点点E是边是边BC的中点的中点，AEF90，且且EF交正方形外角的平分线交正方形外角的平分线CF于点于点F.求证：求证：AEEF.(提示：取提示：取AB的中点的中点G，连接连接EG) 证明：取证明：取AB的中点的中点G，连接，连接EG，四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ABBC， E，G分别是分别是AB，BC的中点，的中点，AGEC， BG

4、BE，BGE45， AGE135，CF平分平分DCH， FCH45，ECF135， ECFAGE，又，又AEF90，AEBFEC90， 又又GAEAEB90，GAEFEC， AGE ECF(ASA)，AEEF规律与方法：熟练掌握一般平行四边形的性质与判定，同时掌握特殊平规律与方法：熟练掌握一般平行四边形的性质与判定，同时掌握特殊平 行四边形所具有的特殊性此题应用正方形的有关性质构造三角形全等行四边形所具有的特殊性此题应用正方形的有关性质构造三角形全等是解决此题的关键是解决此题的关键 举一反三 变式变式1： 如图如图，已知正方形已知正方形ABCD，把边，把边DC绕绕D点顺时针旋转点顺时针旋转30

5、到到DC处，处，连接连接 AC，BC，CC.写出图中所有的等腰三角形写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过并写出推理过程程变式变式2：)已知已知，如图如图，在在 ABCD中中，O为对角线为对角线BD的中点的中点，过点过点O的直线的直线EF分别交分别交AD，BC于于E，F两点两点，连接连接BE，DF.(1)求证：求证：DOEBOF.(2)当当DOE等于多少度时等于多少度时，四边形四边形BFDE为菱形？请说明理由为菱形？请说明理由 变式3：如图，ABC与CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EFAB.(1)求证：四边形EFCD是菱形；(2)设CD4，求D，F两点间的距离 举一反三解：

6、解：(1)在在 ABCD中，中，ADBC，ADBCBD，OBOD，DOEBOF，DOE BOF(2)当当DOE90时，四边形时，四边形BFDE为菱形理由：由为菱形理由：由(1)知知DOE BOF，EDBF，又，又ADBC，四边形四边形BEDF为平行四边形，又为平行四边形，又DOE90，EFBD，四边形四边形BFDE为菱形为菱形解：(1)证明：如图ABC与CDE都是等边三角形，1A60，2360，DEDC，13，DECF.又EFAB，4A60，42，EFCD.四边形EFCD是平行四边形DEDC，四边形EFCD是菱形变式4：如图，ABC是等腰直角三角形，A90，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且

7、满足BPAQ，D是BC的中点(1)求证：PDQ是等腰直角三角形；(2)当点P运到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由举一反三解：(1)连接AD，易证：ADQ BDP，PDDQ，ADQBDP，易知ADBC， ADPPDB90，ADQPDA90，PDQ是等腰直角三角形举一反三 变式变式5：如图如图，在在 ABCD中中，DAB60，AB2AD，点点E，F分别是分别是AB，CD的中点的中点，过点过点A作作AGBD交交CB的延长线于点的延长线于点G.(1)求证：四边形求证：四边形DEBF是菱形；是菱形；(2)请判断四边请判断四边形形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明是什么特殊四边形？并加以证

8、明变式6：已知，如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AEAF.(1)求证：BEDF；(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OMOA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并证明你的结论 举一反三解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，BD90.AEAF，RtABE RtADF，BEDF(2)四边形AEMF是菱形，证明如下：四边形ABCD是正方形，BCADCA45，BCDC.BEDF，BCBEDCDF，即CECF，OEOF，OMOA，四边形AEMF是平行四边形AEAF，平行四边形AEMF是菱形举一反三变式变式7：如图：如图，以，以ABC的边的边A

9、B，AC为边的等边三角形为边的等边三角形ABD和等边三角形和等边三角形ACE，四边形，四边形ADFE是平行四边形是平行四边形(1)当当BAC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；是矩形；(2)当当BAC满足什么条件时，平行四边形满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；不存在；(3)当当ABC分别满足什么条件时，平行四边形分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形？正方形？是菱形？正方形？解：(1)当BAC150时，四边形ADFE是矩形，DAE36012015090，四边形ADFE是平行四边形，四边形ADFE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)当BAC60时，平行四边形ADFE不存在，