圆压轴八大模型题4圆内接等边三角形

1、圆压轴题八大模型题（四）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。类型4 圆内接等边三角形如图，点P为等边ABC外接圆劣弧BC上一点.(1) 求证：PAPBPC；(2) 设PA、BC交于点M， 若BP4，PC2，求CM的长度. 若AB4，PC2，求CM的长度.【分析】(1) 证明：连结CD在PA上截取PD=PC，图1证得A

2、CDBCP，AD=PB，又DP=PC，因此PA=PB+PC.(2)O中ABMCPM, 设MC=x，则AM=2x,MN=2-x，又AN=2,在RtAMN中，由勾股定理得CM=x=.图（3）图（2）图（1）(2)过点C作CEAP于E，过点A作ANBC于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,RtPCE中PE=1,CE=，则AE=5,AC=2,因此AB=AC=2,由（2）可得CM=.【典例】（2018·湖南常德）如图，已知O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DFDA，AEBC交CF于E（1）求证：EA是O的切线； （2）求证：BDCF图4-1【分析

3、】（1）连结OA后，由OAC30°，BCAE得CAEBCA60°，因此OAE90°证得AE是O的切线.（2）ADFABC60°，且DFDA得等边ADF，且ABC也是等边三角形，可得ADBAFC，因此BDCF.【解答】证明：（1）连接OD，O是等边三角形ABC的外接圆，OAC30°，BCA60°，AEBC，EACBCA60°，OAEOACEAC30°60°90°，图aAE是O的切线；（2）ABC是等边三角形，ABAC，BACABC60°，A、B、C、D四点共圆，ADFABC60°

4、;，ADDF，ADF是等边三角形，ADAF，DAF60°，BACCADDAFCAD，即BAFCAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BDCF【点拨】等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60°角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。【变式运用】1.（2011·泸州）如图，点P为等边ABC外接圆劣弧BC上一点（1）求BPC的度数；（2）求证：PAPBPC；（3）设PA，BC交于点M，若AB4，PC2，求CM

5、的长度（1）解：ABC为等边三角形，BAC60°，点P为等边ABC外接圆劣弧BC上一点，四边形ABPC是圆的内接四边形BPCBAC180°，BPC120°，（2）证明：连结CD在PA上截取PDPC，图4-2ABACBC，APBAPC60°，PCD为等边三角形，PCDACB60°，CPCD，PCDDCMACBDCM，即ACDBCP，在ACD和BCP中，ACDBCP，ADPB，PAADDP，DPPC，图bPAPBPC；（3）解：PCD和ABC都为等边三角形，MDCACM60°，CDPC，又DMCCMA，CDMACM，AB4，PC2，CM：

6、AMDM：MCDC：ACPC：AC2：41：2，设DMx，则CM2x，BM42x，PM2x，AM4x，ADAMDM4xx3xBMPCMA，PBMCAM，BPMACM，BP：ACPM：CM，即3x：4（2x）：2x，解得x（舍去负号），则x，CM2.如图，已知AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.（1）求证：FBFC；（2）FB2FA·FD；（3）若AB是ABC的外接圆的直径，EAC120°，BC6cm，求AD的长.证明：（1）AD平分EAC，EADDAC.四边形AFBC内接于圆，图4-3DACFBC.EADFA

7、BFCB，FBCFCB，FBFC.（2）FABFCBFBC，AFBBFD，FBAFDB，FB2FA·FD.（3）解：AB是圆的直径，ACB90°.EAC120°，DACEAC60°.四边形ACBF内接于圆，DACFBC60°，又FBFC，BFC是等边三角形，BACBFC60°，D30°.BC6，AC2，AD2AC43.（2016·德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点.M是BD上一点，且满足DMDC，点E是AC与BD的交点.（1）求证：CM/AD；（2）如果AD1，CM2.求线段BD的长及BCE的面积.解：（1）DABC是正三角形，,ADBBDC60°，又DMDC，DCDM是等边三角形，即DMCMCD，DMC60°，ADBDMC60°，CMAD； （2）DACDBC，BMCADC120°，而ACBC，DADCDBMC，BMAD1，图4-4BDBMMD123 由（1）可得，DADEDCME，而AD1，CM2，又MD2，DE，ME， ，且点E在线段AC上，AEAC，BACBDC60°，ABDACD，DABE