【100所名校】东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学(文科)试题(解析版)

1、最新东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题数学注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。4 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。7.已知函数、单选题1,已知复数 I = x+y' IXV e R 若 1 * i =其 +则可=B.C.D.52.已知集

2、合A. 4nB= 0 B. Aue=ft C.D. ACB71Ita = IZA = 一.£日 64B.C.nf(x) = Sin(u)x + -|(x E Rm > 06单位长度，所得图象关于2n8.9.B.D.的最小正周期为V轴对称，则中的一个值是C.Tt,将书）的图象向右平移飒巾个B.D.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为12C.2 + (* l)n 2执行如图所示的程序框图，如果输入的则该几何体的表面积为D.号 证 考 准3,已知向量a喃足al,中则A . 1 B.退 C. 3 D.4.我国古代名著九章算术中有这样一段话：今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，

3、斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是： 现有一根金锤，长 5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.A. 6斤 B. 7斤C.S斤D.勺斤5.在区间上随机取两个数x, y,记P为事件2 WFA.'B.2。9 d.9X卜词,则输出的V值的取值范围是M10.已知双曲线方程为的离心率为11 .直线过抛物线4m + 口的最小值是B.C.D.=l（a > b > 0）,它的一条渐近线与圆(x - 2) + y = 2相切，则双曲线ci 4D.的焦点且与抛物线交于APB两点，若线段AF.BF的长分别为好教育云平台 名校精

4、编卷 第1页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页）A.10 B.9 C. 8 D.7*他)f%)自1* n12 .已知函数 x，jlE(Ojr),当上:时，不等式 恒成立，则实数日的取值范围为 ee(18尸)A.B,卜 8,用C.'2 D.7好教育云平台 名校精编卷 第3页(共6页)好教育云平台 名校精编卷 第4页(共6页)二、填空题13 .已知 tanci = 2|,则 e/口 + 泅2口 =.产-V + 5 > OT14 .已知实数X“满足！ "¥之口则卜='+2y的最小值为15 .棱长均为6的直三棱柱的外接王的表面积是 .16 .已

5、知函数 f(x) = e* + aln当日=1时，小宿最大值；对于任意的a)。，函数小)是。上的增函数； 对于任意的a©。，函数f以上定存在最小值；对于任意的a>0,都有其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号)三、解答题'3 | s = pn2 + qntprq E R,n E N ) a, = 3.S# = 24.17,已知数列° m的前颐和n，且L 4(I)求数列七1的通项公式；a h = ? nfh i1(n)设号 ,求数列t n，的前n项和118 .长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每

6、个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间1000.1500)内单位：元)(I )请估计该公司的职工月收入在1(1000,2000)内的概率；(n)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数19 .如图，四棱锥中，平面PDC IU底面48CD , A'DC是等边三角形，底面ABCD为梯 形，且£DAEi=60"|A8/CD, DC = AD = 2AB = .(i)证明：bd，pq；(n)求,到平面PBD的距离.22号+?中"b>o) r由§20 .已知椭圆 a b的离心率为,点 之在'上.(I )求椭圆C的方

7、程；(n)过点八-2叫作直线岷1交椭圆：于另外一点(1,交v轴于点R , P为椭圆c上一点，且|AQ| JAR|AQ/OP,求证：|OP|2为定值.Inxf(x) = 121 .已知函数* .(I )求函数1*)的单调区间与极值；(n)若不等式,仅区心对任意k>口恒成立，求实数k的取值范围；In2 In3 Inn 1+ 4+ <(出)求证：.22 .选修4-4:坐标系与参数方程厂人停A10.-)Cr已知曲线C：|¥ = 2j25ing为参数)和定点 3 ,21是曲线c的左，右焦点.(I)求经过点 也且垂直于直线的直线的参数方程；(n)以坐标原点为极点，耳轴的正半轴为极轴建

8、立极坐标系，求直线A七的极坐标方程23 .已知函数小八 |x+2| - |x-2| + m (m £R)(I)若m = 2,求不等式f凶之。的解集；(n)若m = 4证明f艺0.好教育云平台 名校精编卷 第5页(共6页)好教育云平台 名校精编卷 第6页(共6页)最新东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题数学答案参考答案1. C【解析】【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数 z的模即可.【详解】*= 1 俨=1由复数相等的充分必要条件有：iv-i = 1 ,即二2 ,则“1 2，岗=M + 2之二悯本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计

9、算公式等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.2. B【解析】【分析】首先求得集合A,然后逐一考查所给选项是否正确即可 .【详解】求解一元二次不等式.'一2K 。可得心2或x 0,据此可知人力B =冈-2乂。或吗选项a错误；RU B二R,选项b正确；集合AB之间不具有包含关系，选项 CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力.3. A【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果【详解】11 -2 P a， 1由题意可得：但 + b）= a +

10、b +?ab = l+ 4 + 2ab = 7?则 1.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.4. D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可【详解】原问题等价于等差数列中，已知a!二眄=）,浆W 露的值.al + as= a1 +a5 =松闻3=3由等差数列的性质可知：2,则%口/1=9,即中间三尺共重9斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能 力和计算

11、求解能力.5. D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可【详解】如图所示，口5其5 1，0£¥w】表示的平面区域为ASCD ,好教育云平台 名校精编卷答案第1页（共18页）好教育云平台 名校精编卷答案第2页（共18页）平面区域内满足3的部分为阴影部分的区域 APQ,其中为3号结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为本题选择D选项.7. B【解析】12 2-x x 3 3 2【分析】ZJ1C01 * 19首先求得w的值，然后结合三角函数的性质和图象确定由的值即可.由函数的最小正周期公式可得:则函数的解析式为2n 2n山=2T H将以）的图象向右平

12、移。个单位长度或所得的函数解析式为:= sin 2（k-4»i 46=sln（2x-24） + -好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共18页）好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共18页）数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件函数图象关于V轴对称，则函数 趴可为偶函数,即当卜二0时:A发生的区域，据此求解几何概型即可6. Akn n力=-（k E则由题意结合正弦定理首先求得 b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.a b由正弦定理 刖A 5inB可得

13、n1 x sinasinB 4 r=% 2sir A k sin-其余选项明显不适合式本题选择B选项.本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力COSC = -cos（A + B） = -<cosAcosB-sinAsinB） =48. C由余弦定理可得:的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面

14、积即可由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为二月圆锥的高h = 2,其母线长r六回则该几何体的表面积为：1? 1 r 1声飞S ± -X n x 1 + - xnxlxi5 + -K2x2 = 2 + l一 + -In .本题选择C选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面 积是侧面积与底面圆的面积之和

15、.9. C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数I *的值域.x 1 f(x) = 1-当。乂 G时，x + 1x + 1在区间102上单调递增，20£f(x5-区而二，即 3|；1 1 1 1f仅)=x + -» -(-x + ) < 2 -x - = -2r =当-2C洞，8- d T ，当且仅当 T,即芟=7时等号成20 £ f(x) < 一 综上输出的V值的取值范围是¥土了或队选C.10. A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为- a ,则bx 士灯=0,圆的方程2r十=2),圆心为口 b|J-j= = 2亿-5,所以+ b2，化简可

16、得” b ,则离心率电=戊.方法二：因为焦点F2(脸。)到渐近线的t)x + ay - 0距离为b ,则有平行线的对应成比例可得知.j5 2b c,即“也n则离心率为一庭.选a.11 . B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解4m + n的最小值即可.【详解】11 1 2> - - = 1由抛物线焦点弦的性质可知：m n p ,1 Is 4m n 4 m n4m + n n(4m + ny + -1 = 5 + + >5 + 2 x = 5则Ie H n m J n m ,3m = -,n = 3当且仅当 2时等号成立.即4m+ n的最小值是9.本题

17、选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力.12. D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数1a的取值范围即可.【详解】叫)flXj)“-认何- < 0 < 0VV量量不等式51 即 产2,结合>xi 得*-。恒成立，即"切>恒成立，构造函数 既外=旗”=/一3/,由题意可知函数 以工:在定义域内单调递增，e故式* = / - 2dx之。值成立，即 2Ms成立， (*-1)h(x) - (X > 01h (*) =-1令 ”-，则 ”，当。=则，卜仪)&l

18、t; O.hi”单调递减；当KA1时，h'tx)AO,hxi单调递增；1e eh( 1) -则h(K的最小值为 2*1 2, e . g,一据此可得实数'3的取值范围为7.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13. 1【解析】【分析】原式分母看作“1；利用同角三角函数间的基本关系化简，将卜加口的值代入计算即可求出值.【详解】tana = 2C05 a + 2$inacosa 1 + Ztana 1 + 2 m 2二原式 5*n Ct + cas a tan a + 12

19、+1故答案为：1.【点睛】si na = una利用sin2 a+ cos2a= 1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用匚加口可以实现角a的弦切互化.(2)注意公式逆用及变形应用：1=sin2a+ cos2 a, sin2 a= 1 - cos2 a, cos2 a= 1 - sin2 a.【解析】试题分析:作出可行域如图中阴影部分，将 卜= x + 2y|化为. 22 ，作出直线2并平移，使之经过可行域，易知经过点 用王一为时，纵截距最小，此时工巾加=3-2 * 3 = -3。考点：线性规划问题。15 84n【解析】【分析】首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可【详解】1 61 6r三一

20、X = 一 乂=2j32 $in60 0 2 *3由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为2,则外接球的半径“二3H3y 19dsi则外接球的表面积为, ,【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力.16.【解析】【分析】由题意利用导函数研究函数的性质即可.【详解】好教育云平台 名校精编卷答案 第7页(共18页)好教育云平台 名校精编卷答案 第8页(共18页)14.-3(n) 由(1)可知以 = 2，结合等比数列前 n项和公式计算可得数列 也/的前1】项和8(4n-1)好教育云平台 名校精编卷答案第9页(共18页)好教育云平台 名

21、校精编卷答案第10页(共18页)1Jt 1f*(x) - ex + - f,Xx) = e -当日=1时，x|,乂 ,t(K单调递增，且fil) = e-l0,据此可知当xl时，鹿由a Oft用单调递增，函数没有最大值，说法错误；当白 用寸，函数¥ =小"=曰1口、均为单调递增函数，则函数 卜口)是十上的增函数，说法正 确；当8VCB寸，K单调递增，且(-3)=电T0,+ -| = 0n且当id W ,据此可知存在匕电池,在区间1°，上，,。J(x单调递减；在区间即+8)上，尸(翼04单调递增;函数斛.在式=箕呦取得最小值，说法正确；当 a = l时，fl)0 =

22、 J + lnxI I -5-5- -S由于e JO，故不E”但)=十丘 ” 与0,说法错误；综上可得：正确结论的序号是.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力班4件1、* T =3 = 2n + Ln *17. (I) n ; (n)3 .【解析】【分析】L 2 _(I)由题意可得口 =】浦=工则="+2rh利用通项公式与前n项和的关系可得丫 "【详解】1/ St = p + q = 3 I(I)由瓦二 16p + &q = 24 得p=Lq=”rA2m所以当n = l时

23、， = 3-当仆 2 时，=所以检验久=3,符合三2口 + L(n)由(1)可知外 = 2nT,a n 争Nin 工/ 丫所以%;上”.设数列加j的前n项和为1,则：Th = 2 x 41 + 2 x 42 + *- + 2 k 4n*1 + 2 x 4n=共1 + 4+ 4" " + 4rll4(1-40)=2 x1 -4别4rl -1)3S(4n -1)所以数列2n的前n项和为r 3.【点睛】本题主要考查数列通项公式与前n项和公式的关系，等比数列前n项和公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. (I) 0.3; (n)中位数和平均数的估计值都是2

24、400.【解析】【分析】(I )由频率分布直方图计算可得职工月收入在11口。金0001内的概率为03 ；(n )利用面积相等可得中位数的估计值为2400 ；利用平均数公式计算可得平均数的估计值为2400【详解】(I)职工月收入在 1000,20 时内的概率为+ 0.0004# 500= 0.1+0.2 =。.3；(n)根据条件可知，从左至右小矩形的面积分别是01、0-2、0.25. 0.25. 0.15. 0,05,因0.22000 += 2400此，中位数的估计值为0 0005；平均数的估计值为1250 x 0.1 + 1750 k 0.2 + 2250 * 0.25 + 2750 

25、1; 0,25 + 3250 « 0,15 + 3750 « 0.05 : 2400 .综上可知，中位数和平均数的估计值都是240Q【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的 横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图 的 重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.科h=-19. (I)见解析；(n)2.【解析】【分析】(I )由题意结合勾股定理和几何体的空间结构可证得BD 1平面PDC则BD 1 P4r(n)设 甸平面PBD的距离为h,利用等体积法

26、匕-PB广0的。可求得2.【详解】(I )由余弦定理得* 口 八九】“ 2360”同.H口, A = AD： ZABD = 90 BD 1 AB, v A0/DC. . BD 1 DC又平面PDC i底面ABCD,平面PDC底面A88 = DC BDU底面ABC。，BD1 平面 PDC,又PCU 平面PDC, .BD _LPC.(n)设A到平面PBD的距离为h 一取DC中点Q,连结PQ4PDC是等边三角形，PQ_LDC.又平面PDC 1底面A8CD ,平面PDC片底面48CD = DC ? PQC平面PDC , . PQ_L 底面ABCD,且PQ = S,由（I ）知 BD 平面PDC ,又P

27、D C 平面PDC ,.B0 1 PD .11 11 1.Va-pbd = Vp-Aaq,即3 2 M3 刈虫=3 2X1X，烟.解得 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理与定义的应用，等体积法求解点到平面的距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力20. (I) &； (n)证明见解析.【解析】【分析】 IL + y - 1(I)由题可得a = 2c = J&b = l.则椭圆C程为4.(n)设直线AQ：y=k仅+西加衿金。联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式可得|AQ| |AR| =2IopP ,即令直线OP为y =心且令 > 10Mp>D-联立椭

28、圆方程结合韦达定理计算可得 |AQ| |AR|lOPl'为定值.【详解】(I )由题可得好教育云平台 名校精编卷答案第11页(共18页)好教育云平台 名校精编卷答案 第12页(共18页)所以42|AQ| - |AR| l+4k? . _ 1IOPI2 41 + 4k2 I )所以定值为2.z 上+ 1 1所以椭圆C程为4 V .(n )设直线 AQ：v =+ 2),R但,2k),Y= k(x + ”I x3 2=(1 + 4k5+ 16k + 16k2 4 - 0)+ y =1,f 4161F 二?l + 4k16kL 4由韦达定理可得:1 +4k2 -8k %=? = -1 + dk

29、|AQ|+凶！=+ k21 + 4klARl = vl + k2|0 - ( 2)1 = 2. 1 +/JOP| =%1 + 川0。1M11r令直线口P为v = kx且令01'得 |l + 4k W+ Xj = 0,-4可得韦达定理:X、= Kr2 p所以|OP| =7 一Jl +妹【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.1kN 21. (I)见解析；(n)2；(出)见解析.【解析】【分析】1 Jnx仅)=(I )函数的定义域为+ E).且解,据此列表讨论可知：*幻的单调递

30、增区间为Ine 1 f(e) =-9,e,单调递减区间为 但，+x)f1*的极大值为史，无极小值.IrvcInxk 古h(x) = T(n)由题意可得/恒成立，令 ,1 k 2 所以 Inx 1 Inx 1 1£M仅22)27a J2(出)由(n)知乂 ，则* xIn2 In3 Inn 1+ +H,+ < -24 34 个 .【详解】1由导函数可得当k =时函数h|K)有最大值,据此结合不等式的性质利用放缩法即可证得(I)定义域为1 - Inx1 -Inxf'(x) =f'(x) = = Qx 人 xe = b0,e)|c(er + 间f(x)+0好教育云平台名

31、校精编卷答案第14页(共18页)好教育云平台 名校精编卷答案第14页(共18页)f(x)增极大值减考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几由上图表知：*工）的单调递增区间为（。4）,单调递减区间为（叫十8）.I Ine 11f（e> -=的极大值为 足 4无极小值.lnvInxInx1 - 2lnx*>0匕小之2h（x）=-2帅）=一（n）XM ,令 乂又 K ,令h'd= 解得k = .R 当x在（0, + g）内变化时，Mx）, h（N）变化如下表:何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，

32、求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.1fx. = 一t + 1,I 21 _£¥ 1I r a * . I22. （I） Il 2（t 为参数）；（n） -J3psinf）+ pcosB = 1.【解析】试题分析：（1）利用三角函数中的平方关系消去参数9,将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线L的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式，即可得到x(0Qu用,十叼卜凶）+0h同/12p直线L的参数方程.（2）设P （ p,。）是直线AF2上任一点，利用正弦定理列出关于 仍。的关系式，化简即得

33、直 线AF 2的极坐标方程.解：（1）圆锥曲线I x = 3cos6然 丫 .- . （6- * '- - 11 1厂 kN 由表知，当冥=J响函数hk盾最大值，且最大值为",所以2e.|¥ = 20的9化为普通方程）9 8I1I 下Inx 1 £ (in)由(n)知 J所以W"百"则直线用Sin8 + pco匏=1的斜率3于是经过点弓且垂直于直线AA的直线l的斜率Inx 1 1In2 In3 Inn 1 111&(K2 2)+ + <一( + +" + )4 2e zI I -.4,.44 2e ->2?工 x'号 x23 n y 23 n1 1 111 1+ +*4i+ < +.