一次函数与反比例函数学案

1、教师辅导教案学员编号: 学员姓名年 级：辅导科目：数学课时数：3 学科教师：18授课类型T-一次函数与中考题型C-反比例函数与中考题型T- 一次函数与反比例函数综合练 习星级-0教学目的1、理解一次函数与反比例函数的概念。2、会根据一次函数与反比例函数的概念性质解决问题。3、会解决一次函数与反比例函数的综合题型。授课日期及时段2020年 月日教学内容考点一 一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y=kx+b(k, b是常数，kw 0),那么y叫做x的一次函数.特别地，当b= 0J可，一次函数 y= kx+ b就成为y=kx(k是常数，kw0),这时y叫做x的正比例函数. 考点二一次函数的图象与

2、性质1. 一次函数的图象b(1)一次函数y= kx+b(kw0)的图象是经过点(0, b)和一1,0的一条直线.(2)正比例函数y=kx(kw 0)的图象是经过点(0,0)和(1, k)的一条直线.2. 一次函数图象的性质一次函数y=kx+b,当k> 0时，y随x的增大而增大；当 k<0时，y随x的增大而减小.一次函数的图像是一条直线。图1图2y=kx+b 时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限;当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限;当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限;当k<0,b&g

3、t;0,这时此函数的图象经过一，二，四象限;图3图4y随x的增大而增大。如图 1y随x的增大而增大。如图 2y随x的增大而减小。如图 3y随x的增大而减小。如图 4考点三一次函数解析式的确定常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是:1 .设出函数解析式；2 .根据已知条件求出未知的系数；3 .具体写出这个解析式.考点四一次函数与方程、方程组及不等式的关系1. y= kx+ b 与 kx+ b= 0直线y=kx+b与x轴交点的横坐标是方程 kx+b=0的解，方程kx+b=0的解是直线y= kx+ b与x轴交点的横坐 标.2. y=kx+b 与不等式 kx+b>0从函数值的角

4、度看，不等式kx+b>0的解集为使函数值大于零（即kx+b>0）的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在 x轴上方时，y>0,因此kx+b>0的解集为一次函数在 x轴上方的图象所对应的 x的取值范围.3. 一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的 点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点.1. 一个正比例函数的图象过点（2, 3）,它的表达式为（）.A. y= 3x B. y=2xC. y=|x D. y= - 2x2.若一次函数y= kx+ b的函数值y随x的增大而减小，且图象

5、与 y轴的负半轴相交，那么 k和b的符号判断正确的是（）.A . k>0, b>0 B. k>0, b<0C. k<0b>0 D. k<0, b<03.两直线 li: y=2x1, I2： y=x+1的交点坐标为()A. (-2,3) B. (2, - 3)C. (-2,-3) D. (2,3)4.某种钳金饰品在甲、乙两个商店销售.甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠.乙店标价530元/克，但若买的铝金饰品重量超过 3克，则超出部分可打八折出售.、乙商店购买该种钳金饰品所需费用和重量(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种钳金饰

6、品，到哪个商店购买最合算?一、一次函数的图象与性质【例1】点pi(xi, yi)和点P2(x2, y2)是一次函数y= 4x+3图象上的两个点，且xi v X2,则yi与y2的大小关系是().A . yi > y2 B . yi > y2 > 0C. yi V y2 D . yi = y2解有关一次函数y=kx+b的图象与性质的问题时，应注意以下三点：一次函数图象分布特征与 k, b的符号之间的关系；一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系；一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等.二、求一次函数解析式【例2】 娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一

7、段路基工程，进入施工场地后，所 挖筑路基的长度y(m)与挖筑时间x(天)之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：(1)求在0w xv 2的时间段内，y与x的函数关系式；(2)求在x> 2时间段内，y与x的函数关系式；(3)用所求的函数解析式预测完成1 620 m的路基工程，需要挖筑多少天?确定一次函数的函数关系式，可先设出函数关系式，再根据条件确定关系式中未知的数.根据图象，由两个点的坐标可确定一次函数关系式，正比例函数只需一个点的坐标即可.三、一次函数与方程（组卜不等式的关系y= ax+ b.【例3】 如图，已知函数y=ax+b和 y=kx的图象交于点P,则根据图象可得二

8、元一次方程组的解y= kx是.两个函数图象的交点坐标，即满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标， 就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况.四、一次函数的应用【例4】 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线OABC和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米/分钟

9、;（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？（3）确定用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）根据题意，设定问题中的变量；（2）建立一次函数关系式模型;自变量的取值范围；（4）与方程或不等式（组）结合解决实际问题.1. （2015四川乐山）若实数a, b, c满足a+b+c=0,且avbvc,则函数y=ax+c的图象可能是（）.2. （2015黑龙江哈尔滨）一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0

10、.2升/千米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是()3. （2015浙江义乌）一次函数y=2x 1的图象经过点（a,3）,则a=.4. （2015内蒙古呼和浩特）已知关于x的一次函数y= mx+n的图象如图所示，则|n m|Jm2可化简为5. （2015山东荷泽）如图，一次函数y=2x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A, B,以线段AB为边在第一象限3内作等腰RtAABC, /BAC=90°,求过B, C两点直线的解析式.1. 一次函数y= 3x2的图象不经过（）.A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 一次函数y=（a 2）x+a3的图象与y轴的交点在x轴的下方

11、，则a的取值范围是（）.A. aw2 B. a<3 且 aw2C. a>2 且 a3 D, a= 33. 一辆汽车和一辆摩托车分别从A, B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是（ T A.摩托车比汽车晚到 1 hB. A, B两地的路程为20 kmC.摩托车的速度为 45 km/hD.汽车的速度为 60 km/h4. 一次函数y= kx+b的图象如图所示，当 y<0时，x的取值范围是（）.A. xv 0B. x> 0C. xv 2D . x>25 .把直线y= 2x向上平移后得到直线 AB,直线AB经过点（m, n）,且2m

12、+n=6,则直线AB的解析式是（）.A . y= 2x3 B. y=- 2x-6C. y=-2x+ 3 D. y=-2x+66 .如果点（一2, m）和, n都在直线y= 4x+4上，则m, n的大小关系是： .7 .点A（3,4）在一次函数y=3x5的图象上，图象与 y轴的交点为B,那么 AOB的面积为 .8 . 一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当0WxW1时，y关于x的函数解析式为y = 60x,那么当1WxW2时，y关于x的函数解析式为 .9 .星期天8: 008: 30,燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气.之后，一位工作人员以每车20立方

13、米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气.储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数关系如图所示.（1）8: 008: 30,燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？（2）当x>0.5时，求储气罐中的储气量 y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式；（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10: 30之前加完气？请说明理由.反比例函数如果y=k（k是常数，k 0）。那么y叫做x的反比例函数。取值范围为x 0的全体实数。 x反比例函数的图像是双曲线，如图所示：如上图A,当k>0时，横纵坐标符号相同，在一、三象限内，y随x的增大而减小。如上图B,当k<

14、0时，横纵坐标符号相异，在二、四个象限内，y随x的增大而增大。kk1 .定乂： 一般地，形如 y （k为常数，k o）的函数称为反比例函数。y -还可以写成y kx 1xx2 .反比例函数解析式的特征:等号左边是函数 y,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数 k）,分母中含有自变量 x,且指数为1.比例系数k 0自变量x的取值为一切实数。函数y的取值是一切非零实数。3 .反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以。为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）k_反比例函数的图像是双曲线，y 一（k为常数，k 0）中自

15、变量x 0,函数值y 0,所以双曲线是不经过x原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是 y x或y x）。kk反比例函数y （k 0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线 y 一 （k 0）上任意引x轴y轴的垂线， xx所得矩形面积为 k|o4 .反比例函数性质如下表:k的取值图像所在象限函数的增减性k o一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小k o二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大5 .反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）k6

16、 .“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数 y 中的两个变量必x成反比例关系。自主H潸k,1,下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=的图象上，则不在 这个函数图象上的点是（）.x 55A. （5,1） B. （-1,5）C. 3, 3 D.-3,-31 一2.已知反比例函数y =：下列结论不正确的是（）.A.图象经过点（1,1）B.图象在第一、三象限C.当 x>1 时，0<y< 1D.当x<0时，y随着x的增大而增大3.如图，正方形 ABOC的边长为2,反比例函数 y = k过点A,则k的值是（）.xaJrA. 2B.-2

17、C. 4D . 4P Li拘、反比例函数的图象与性质【例1】 已知点（一1, y1），（2, y2）, （3, y3）在反比低J函数y =-1的图象上.下列结论中正确的是（）.xA. y1>y2>y3 B . y1>y3>y2如图，在直角坐标系中，点C. y3>y1>y2 D . y2>y3>y13A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=7（x>0）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时， OAB的面积将会（）.A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小1. （2015四川南充）矩形的长为x,宽为y,面积为9,则y与x之间的函数关系

18、用图象表示大致为).m1,一一“ 一一一一一一2 . （2015山东济宁）反比例函数 y=的图象在第一、二象限，则 m的取值范围是 .x3 . （2015江苏南京）设函数丫=2与丫= x1的图象的交点坐标为 （a, b）,则1 3的值为 xa b 4 . （2015陕西）如图，过y轴上任意一点 P,作x轴的平行线，分别与反比例函数y=：和y= 2的图象交于A点和B点,x x若C为x轴上任意一点，连接 AC, BC,则4 ABC的面积为 .求点D的坐标；求经过点C的反比例函数解析式.模1,已知反比例函数 y=kl勺图象过点P（1,3）,则反比例函数图象位于 （）.xA.第一、二象限 B.第一、三

19、象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限,一_ 4 My2, y3的大小关2.已知(xi,yi),(x2,y2),(x3,y3)是反比例函数y=的图象上的二点，且 xi<x2< 0x3>0,则yixA. y3<yi<y2B. y2<yKy3C. yi<y2<y3 D. y3<y2<yi3.反比例函数ky = #>0)的部分图象如图所示.A, B是图象上两点，ACLx轴于点C, BDLx轴于点D.若 AOC的面积为Si, BODS2,则Si和S2的大小关系为().的面积为C. SKS2 D.无法确定4.如图，已知双曲线 y=X(k

20、< 0)经过直角三角形 OAB斜边OA的中点D,且与直角边 AB相交于点C.若点A的坐标为(6,4),则 AOC的面积为().i85 .反比例函数 y=k的图象位于第一，三象限，其中第一象限内的图象经过点A(i,2),请在第三象限内的图象上找一个x你喜欢的点P,你选择的P点坐标为 .6 .已知A(xi, yi), B(x2, /)者B在反比例函数 y =m的图象上.若 xi* = 3,则yiy2的值为.x7 .如图，A是反比例函数图象上一点，过点 A作ABLy轴于点B,点P在x轴上， ABP面积为2,则这个反比例函数 的解析式为.8.如图所示，点Ai, A2, A3在x轴上，且OAi =

21、 AiA2 = A2A3,分别过点Ai, A2, A3作y轴的平行线，与反比例函数y轴交于点Ci, C2, C3,连接OBi,=%>0)的图象分别交于点Bi, B2, B3,分别过点Bi, B2, B3作x轴的平行线，分别与xOB2, OB3,那么图中阴影部分的面积之和为 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x, y轴交于点B, A,与反比例函数的图象分别交于点C, D,CE32.1，x轴于点E, tan/ABO=g, OB=4, OE = 2. (1)求该反比例函数的解析式；(2)求直线AB的解析式.题型分类：一、中考关于一次函数与反比例函数结合图像的题型：1、(2015

22、?四川自贡)关于 x的函数y=k (x+1)和y= (kwQ在同一坐标系中的图象大致是()二、图形结合的应用题：方法点睛： 判断实际问题函数图象的方法：一找起点，二找特殊点，三判断函数图象的变化趋势分析函数图象的交点和转折点，说明函数在此点将发生变化，根据函数图象的变化趋势来判断函数的增减性 利用一次函数解决实际问题的一般步骤：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)通过待定系数法列方程组求出一次函数的解析式；(3)利用一元一次不等式(组)确定自变量的取值范围；(4)利用一次函数的增减性求得实际问题利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)反比例函数的图像反映变化规律明显，常利用它的图象

23、找出解决问题的方案(2)列出函数关系式后，注意自变量的取值范围(3)注意函数思想、方程思想和不等式思想方法的应用1. (2015贵州毕节，13, 3分)一次函数y=kx+b (k加)与反比例函数 产乂 (k卢0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则 k、b的取值范围是()A. k>0, b>0B. k<0, b>0C. k<0, b<0D. k>0, b<0k 一7. （2015 潍坊，6, 3分）设点Axi,y1和Bx2,y2是反比例函数y 一图象上的两个点，当 XiX2<0时，yv xy2,则一次函数y 2x k的图象不经过的

24、象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8. （2015?衢州3分）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值 y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A . m< - 2B. m< 0C. m>- 2D. m> 023. 2015龚召兴4分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10C,加热到100C,停止加热，水温开始下降，此时水温（C）与开机后用时（ min）成反比例关系.直至水温降至 30 C,饮水机关机.饮水机 关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30c时，接通电源后，水温 y （C）和时间（min）

25、的关系如图，为了在上午第一节下课时（8: 45）能喝到不超过50 c的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A. 7: 20B. 7: 30C. 7: 45D, 7: 502 k9. （2015四川乐山，10, 3分）如图，已知第一象限内的点 A在反比仞函数y x上，第二象限的点 B在反比仞函数y -上，且OAOB, cosA=,则k的值为【】A.-3 B.-6C. - 4D. 27310. （2015四川内江，11, 3分）如图，反比例函数 犷* （x>0）的图象经过矩形 OABC对角线白交点 M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为（）A. 1B.

26、2C. 3D. 411. （2015四川遂宁，5, 4分）.已知反比例函数 y二的图象经过点（2, -2）,则k的值为（）A. 4B, -C. - 4D. - 2A.(1.0)B.(1.0)或(1.0) C.(2.0)或(0, 2)D.(2.1)或(2, 1)14. （2015河 北 省，10, 3分）反比例函数y=m的图象如图3所示，以下结论:常数m v 1; 在每个象限内，y随x的增大而增大； 若A （1, h）, B （2, k）在图象上，则 hvk;若P （x, y）在图象上，则P' （ x, y）也在图象上 其中正确的是A.B.C.D.15.（2015黑龙江省哈尔滨市，6）反

27、比例函数1 2k 的图象经过点（-2, 3）,则k的值为（x)77(A)6(B)-6(C) 2(D)2练习：题型一： 一次函数与反比例函数根据图像交点求面积例1已知一次函数 =ax+b的图象与反比例函数 y2= I.的图象相交于 A B两点，坐标分别为(-2, 4)、(4, 2) yikx(i)求两个函数的解析式；(2)结合图象写出yiy2时，x的取值范围；(3)求 AOBW面积；(4)是否存在一点P,使以点A、B、O、P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由。例2 ( 2014武海)如图，在平面直角坐标系中，边长为 2的正方形ABCD关于y轴对称，边在 AD在x

28、轴上，点B在第四象限，直线 BD与反比例函数y=E的图象交于点B、E. 国(1)求反比例函数及直线 BD的解析式；(2)求点E的坐标.练习：1.如图，已知 A (-4, ), B( - 1, 2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y乩(mwQ m<0)图象的两个交点， ACXx轴于C, BDy轴于D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？(2)求一次函数解析式及 m的值；(3) P是线段AB上的一点，连接 PC, PD,若 PCA和 PDB面积相等，求点 P坐标.2.已知一次函数y产x+m的图象与反比例函数y二§的图象交于 A B两点.

29、已知当x>1时，yi>*2；当0vxv1时，yivy2. (1)求一次函数的解r析式；(2)已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求 ABC的面积.'题型二:一次函数和反比例函数的综合应用问题:1例1:如图，直线y x b b > 0与双曲线y23.八点 C 0, 2b ,连结 CA、-CB、CE、CF,若 S cef1-x>0交于E、F两点，与x轴、y轴分别父于 A、B两点, x2 S CAE S CBF ,贝U b =。例2如图，已知一次函数 y kx b的图象交反比例函数y 6 3m x>0的图象于点A、B,交x轴于点Co x(1)求m的取

30、值范围；BC 1(2)若点A的坐标是(2, 4),且记=a，求m的值和一次函数的解析式。达标检测1. （ 2014铁徽省）如图，矩形 ABCD中，AB=3, BC=4,动点P从A点出发，按A-B-C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为V,则y关于x的函数图象大致是（）2、（ 2014?广西玉林市、防城港市）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是（）3 .教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升

31、10C,加热到100 C,停止加热，水温开始下降,此时水温（C）与开机后用时（ min）成反比例关系，直至水温降至 20C,饮水机关机。饮水机关机后即刻自动开机， 重复上述唱动程序。若在水温为 20c时，接通电源后，水温 y （C）和时间（min）的关系如图，为了在下午第一节 下课日（14: 30）能喝到健康卫生和水温适中的水（水沸腾后水温在20c和50c之间，含20c和50C）,则接通电源的时间最晚是当天下午的 1 之间。kl r4 .如图，已知反比例函数 y产一和y2=k2x+b父于点p(2,6). x5、一次函数yi=kix+b和反比例函数(1)求两函数的解析式？Q的坐标，及三角形 POQ的