广州一模理科数学试题与答案(全word版)

1、试卷类型：A7 / 162018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2018.3本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项：1 .答卷前，考生务必用 2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在 的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2 .选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上

2、；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。4 .作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的， 答案无效。5 .考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。1. 一参考公式：锥体的体积公式V=-Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.32222123| n、选择题：本大题共题目要求的.n n 1 2n 1*n(nN N ).68小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合21 .已知i是虚数单位，若（m+i ） =3-4i ,则实数m的值为A. -2

3、B. ±2C. 土四D. 2c -2 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若C = 2B,则一为 bA . 2sin C B. 2cos B C. 2sin B D . 2cosc223 .圆（x1）+（y2） =1关于直线y=x对称的圆的方程为2222A. (x-2 ) +(y -1 ) =1B. (x+1) +(y-2) =15.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制6 .已知集合 A = !xxw Z且一3 zz,则集合A中的元素个数为I 2-x JA. 2B. 3C. 4D. 57 .设a, b是两个非零向量，则使aLb= a|b成立的一

4、个必要非充分条件是I-1A . a =bB. a .L bC. a = ?b （九 a0）d. a 1 ba和b对*m m同余，记为8 .设a , b , m为整数（m>0）,若a和b被m除得的余数相同，则称a三b（mod10）,则b的值可以是a 三b（modm 若 a =C0。+C20 2 + c2° 22 +|+C20 -220 ,A. 2018B. 2018C. 2018D . 2018二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（913题）9.若不等式x -a<1的解集为x1<x<3,则实数a的值为. .一 .

5、. . .10.执行如图2的程序框图，若输出 S = 7,则输入k（kw N ）的值为. 一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图 3所示，则这个四棱锥的体积是.图2侧（左）视图12.设色为锐角，若cos | a + f =,则 sin |a65i13 .在数列 Ln中，已知ai =1, an+=,记Sn为数列an的前n项和，则S2014 = .an 1(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14 .(坐标系与参数方程选做题)P图4在极坐标系 中，直线 P(sinH cosO ) = a与曲线 P = 2cos0 4sin9相交于 A, B两点，若AB =2百，则实数a的值为.15 .(几

6、何证明选讲选做题)如图4, PC是圆。的切线，切点为C ,直线PA与圆。交于A, B两点，NAPC的平分线分别交弦 CA, CB于D, E一 .一，一 PE两点，已知 PC =3, PB=2,则的值为.PD三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16 .(本小题满分12分)一 一 -.一一 一 一 I 兀已知函数f (x) =sin x+acosx的图象经过点 qi. 3(1)求实数a的值;(2)设g(x) = f (x) 2 -2 ,求函数g(x)的最小正周期与单调递增区间.17 .(本小题满分12分)2 甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用

7、的概率是一，甲，丙两人同时不能被聘用的概率5是色，乙，丙两人同时能被聘用的概率是,且三人各自能否被聘用相互独立.2510(1)求乙，丙两人各自能被聘用的概率；(2)设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求自的分布列与均值(数学期望).18.(本小题满分14分)如图5,在棱长为a的正方体 ABCD ABC1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在BiB上，且满足BF =2FB .(1)求证：EF _l A1C1 ；(2)在棱C1C上确定一点G ,使A , E , G , F四点共面，并求 此时CG的长；(3)求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值.19.(本小题满

8、分14分)已知等差数列4的首项为10,公差为2,等比数列的首项为1,图5*公比为2, n = N(1)求数列an与bn的通项公式;(2)设第n个正方形的边长为cn =min an,bn,求前n个正方形的面积之和 Sn.(注:mina,b 表示a与b的最小值.)20.(本小题满分14分)22x y一 已知双曲线 E ： -2-=1 a a0的中心为原点 O ,左，右焦点分别为F1, F2 ,离心率为a24迤，点、P是直线x = a-上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足PF2LQF2 = 0 .53(1)求实数a的值；(2)证明：直线 PQ与直线OQ的斜率之积是定值；(3)若点P的纵坐标为1,过点

9、取异于点M , N的点H ,MH八PM，两足|pn|hn，证明点H恒在一条定直线上.P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M , N ,在线段MN上(本小题满分14分)已知函数f x = x2 -2x 1 ex(其中e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)定义：若函数 h(x)在区间ls,t (set)上的取值范围为s,tL则称区间s,t为函数h(x)的“域同区间”.试问函数f (x)在(1,y )上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：1.参考答案

10、与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据 试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2 .对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算.共 8小题，每小题，满分 40分.题号12345678答案ABADBCDA7小题，每小题

11、，满分 30分.其中二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性.共 1415题是选做题，考生只能选做一题.题号9101112131415答案234正 1020112-1或-523三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.16.（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等 知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数f （x） =sin x+acosx的图象经过点 心二,01所以f,三】=0.,3. 3即 sin 1 - |+a cos1 - =0 - ,3. 33 a即一 一=0 .22解得a

12、= J3.(2)方法 1 ：由(1)得 f (x) =sin x + J3cosx .2所以 g(x) = f (x) -2 = sin x 3 cosx ) -2=sin2 x 2,3 sin xcos x 3cos2 x -2<3 sin 2x cos2x. c 1-sin 2x - cos2x2八 八 n , n=2 I sin 2xcos cos2xsin = 2sin 2x +- i. 6 一. 2所以g(x)的最小正周期为 上=兀.2因为函数y= sin x的单调递增区间为2kn-,2kir + - 1 (ke Z ),_22 冗冗冗所以当2k：tW2x + W2k：t+(k

13、w Z)时，函数g(x)单调递增,262r一冗冗一即ku- - <x <ku+- k WZ 时，函数g(x)单调递增.所以函数g(x)的单调递增区间为36.|k it, k Tt+_ (k 匚 Z).IL 36方法 2：由(1)得 f (x) =sin x + 后cosx=2 Isin xcos- cosxsin -所以 g(x) =f (x)2 -2 = 2sin !2 1兀= 4sin lx - -2 3-2cos 12x所以函数g(x)的最小正周期为 因为函数y =cosx的单调递减区间为2 二所以当2knE2x+W2kn + n(kw Z )时，函数g(x)单调递增.3即k

14、u- - <x <ku+ (kw Z)时，函数g (x)单倜递增.36所以函数g（x）的单调递增区间为冗 冗I .ik Tt,kjt+(k_3617.（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与 必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为a, a2, a3,由已知Ai, A2, A3相互独立，且满足2P(A产工， 5<1_P(A )1-P(A3) = 15,_ _ _ .3P(A2 )P(A3 )=10.13解得 P A2 = 一, P(A3 户.2

15、513所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为-,3 .25(2)二的可能取值为1, 3.因为 P I- =3 i=P A1A2A3P A1A2 A3=P A1 P A2 P A3?i!11-P A1 r(1-P A2 r(1-P A3 / 16:2 13.3 1225所以 P =1 =1 -P =3)=1 - -637E3M2525 25 .25 25所以所以亡的分布列为13P196252518.(本小题满分1)(本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形 结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 推理论证法：(1

16、)证明：连ZB1D1 , BD ,7 / 16Di因为四边形 A1B1C1D1是正方形，所以 ACi_LBiDi.在正方体 ABCD ARCiDi 中，DDi _L平面 AiBGDi ,AiBiCiA1cl 仁平面 ABGDj 所以 AiCi 1 DDi .因为 BD1n DD =D，B1Di , DD U 平面 BBQQ ,所以ACi _L平面BBiDiD .因为 EF u 平面 BBiDiD，所以 EF _L AiCi .(2)解：取CiC的中点H ,连结BH ,则BH A AE .在平面BBiCiC中，过点F作FG B BH ,则FG m AE .连结EG ,则A, E, G , F四点

17、共面.1 一一 i _ i 一一 i因为 CH = C1C =a , HG = BF = C1C = a ,2 2331 所以 CiG =CiC -CH -HG =-a .6故当CiG=1a时，A, E, G, F四点共面.6(3)延长 EF , DB,设 EFDB=M ,连结 AM , 则AM是平面AEF与平面ABCD的交线.过点B作BN _L AM ,垂足为N ,连结FN ,因为 FB _L AM , FBpBN = B ,所以AM _L平面BNF .因为FN仁平面BNF，所以AM _L FN .所以NFNB为平面AEF与平面ABCD所成 二面角的平面角.1用必 MB BF 3a 2MD

18、DE 1 o 3 aAAM2MBMB 、,2a -3 '所以 MB =2 J2a.在 ABM 中，AB=a, NABM =135 ,所以 AM 2 = AB2 MB2 -2 AB MB cos135+ (2&a )2 -2xax因为1-AM BN =21，-ABxMB xsin135, 2所以BNAB MB sin135所以FNAM=.BF2 BN2a 2 2a学2、后=a .13a137.13a 39所以 cos. FNB =四=©FN 7故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 67空间向量法:(1)证明:以点D为坐标原点，DA, DC, DD1所在的直线分

19、别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系,则 A(a,0,0) A(a,0,a), G(0,a,a),L CC 1L1E , 0,0, -a , F , a, a,-a所以1AC1 =(a,a,0 ), EF = (a,a, 6a因为AC1EF=-a2 +a2 +0 = 0,所以AC1 _L EF .所以 EF -L A1C1 .(2)解:设G(0,a,h ),因为平面ADD1A平面BCC1B1 ,平面ADD1A平面 AEGF=AE,平面 BCC1B1平面 AEGF所以FG / AE .II所以存在实数h,使得FG.AE,因为 AE = 1 -a,0, 1a I, FG = I -a,0

20、, h -1 a lI, 2. ,3所以 -a,0, h -1a-a,0, 1a -.32 .5所以九=1 , h=5a.651所以 CiG =CCi -CG =a-a=-a . 66故当CiG=1a时，A, E, G, F四点共面. 6-111(3)解：由(1)知 AE = I a,0,a I, AF=i0,a, al.2.3设门=(x,y,z )是平面AEF的法向量,1-ax -az = 0, 2即 21ay -az =0.取 z = 6,则 x =3, y = 2 .所以n = (3,-2,6件平面 AEF的一个法向量.而DD1 =(0,0, a)是平面ABCD的一个法向量，设平面AEF

21、与平面ABCD所成的二面角为0 ,n贝 U cos0 =-1 1n|L|DD10x3+0x(-2)+ax6| 6加2+(2f +62“a|76故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 一.7第(1)、(2)问用推理论证法，第(3)问用空间向量法： (1)、(2)给分同推理论证法.(3)解：以点D为坐标原点， DA, DC, DD1所在的直线1则 A(a,0,0), E 0,0, - a,F a,a,1a 3分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系,-,1?1则 AE = I -a,0, al, AF = I 0,a, a I2. , ,3设门=(x,y,z谡平面AEF的法向量，取

22、 z = 6,则 x =3, y = 2 .所以n = （3,-2,6强平面AEF的一个法向量.而DDi =（0,0, a ）是平面ABCD的一个法向量，设平面AEF与平面ABCD所成的二面角为6 ,n LDD1贝U cos日= 10M3+0M（-2）+aM6| 6，32十（一2 ：2十62父同 76故平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值为 6.719.（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算 求解能力和创新意识）解：（1）因为等差数列an的首项为10,公差为2,所以an =10十（n1户2,即 an =2n +8.因为等

23、比数列bn的首项为1,公比为2,所以bn =1黑2nl(2)因为 a1=10, a2=12, a3=14, a4=16, %=18, % = 20,bi=1, b2=2, 4=4, b4=8, bs=16, b6= 32.易知当n W5时，an > bn.下面证明当n之6时，不等式bn >an成立.方法1：当n=6时，b6 =261=32 >20 =2M6+8 = a6 ,不等式显然成立.假设当n=k(k之6)时，不等式成立，即 2k,>2k+8.则有 2k =2父2卜>2(2k+8 )=2(k + 1 )+8+(2k+6 )>2(k +1)+8.这说明当n

24、=k+1时，不等式也成立.综合可知，不等式对 n至6的所有整数都成立.所以当n26时，bn >an.方法2：因为当n占6时bn -an =2n_(2n+8) = (1+1)n/_(2n+8)=C0 JC1n+C2+用+C；)T2n+8)HC0+C；+C2, 则 Cn =2+Cn；+Cn；+Cn：H2n+8) 012= 2(CnJCnJCn,A(2n+8)2=n -3n -6 = n(n-4)+(n-6)>0,所以当n之6时，bn>an.,2n所以 cn = min tan,bn,n三5,n 5.n M 5,n 5.n1 -4_1 -404f2n 8,即 bn =2n：9 /

25、16当n >5时，2222Sn =ClC2C3|l| ' Cn=bi2b22 - HI - b52 r(a62 272 (l) an215=3 4 -14 6222474 |( ' n - 417 / 16=341 4 62 72 HI n28 6 7 l|l n 16 n -5341 4 12 22 III n2 - 12 22 |l| 5232 6 7 111n 64 n -5n n 1 2n 16 n n 5=341+4 U5/ 55 +32尺6 + 64(n5)162 x '4 32242=n + 18n 十n -679 .33n <5,n 5.纱3

26、 4n -1,综上可知，Sn=34 32242n 18nn-679,3320.(本小题满分1)(本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化 归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解：设双曲线E的半焦距为c,c _3 5由题意可得4 a - 5 ,22C2 =a2 +4.解得a = 5 .、一 . 一, .a2 5,5 ).证明：由(1)可知，直线，x =-，点 F2 (3,0).设点 P . -，t J, Q(% , y0 ),因为PF23313 )5=0,所以.3-,-t U3-Xo,-yo =0 . ,3一,

27、4所以 ty0 = (x0 -3 ).y。2 =4($ -5).53因为点Q(Xo ,y。)在双曲线E上，所以x0- -y- =1,即54所以 kPQ %Q ="迎= x。一5x0x2 一3x042-4-5x053 x03425xo -3x0一，一，一，八一、一4所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值45(3)证法i：设点H(x,y),且过点P '-,i |'的直线l与双曲线E的右支交于不同两点32222242242N (x2, y2 ),则4xi一5yl=20,4x2一5y2=20 ,即y1= (x15),y2= (x2-5).55PMPNMHHNPM = PN ,

28、 贝U4TMH =HN.3i=1 x2 -|,y2 -i ,x -Xi , y - yi =；：»2 -x , y2 - y .整理，得yi -' y2 = 3； - ,x1 +?，x2yiy2=x i二 y i 1由x，x得222xi - ' x2= |(i2 )x, =i - l2 y.将 yi2 =4(xi2 -5 ),5242y2 = (x2 5 )代入, 522和 4xi - x2得 y = 2-51 - ' 2一,，、，r4将代入，佝 y = - x 4 .3所以点H恒在定直线4x3y-12=0上.证法2：依题意，直线l的斜率k存在. 5设直线l的

29、方程为y 1=k.x5kxr ,3y -1由22JE=1.54消去y得9(4-5k2222)x2 +30(5k2 -3k )x25(5k2 6k+9)=0.因为直线l与双曲线E的右支交于不同两点M (x1 , y1 ), N(x2 , y21-900 5k222.2-3k ) +900(4-5k2 j(5k2 -6k+9)>0, d则有 x1 . x2 =30 5k2 -3k29 5k2 -42_-25 5k -6k 9x1x2 =29 5k2 -4PMPNMHHN5x1 一13 x -x1x _5x2 -Kx2 3整理得 6x1x2 T3x+5)(x1+x2)+10x = 0 . 1将

30、代入上式得29 5k2 -429 5k2 -4150 5k2 -6k 930 3x 5 5k2 -3k整理得(3x5)k 4x+15 = 0.因为点H在直线l上，所以y-1 = k .x联立消去 k得4x3y 12 =0 .所以点H恒在定直线4x3y-12=0上.(本题(3)只要求证明点 H恒在定直线4x-3y-12=0上，无需求出x或y的范围.)21.(本小题满分1)(本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类 与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识)解：(1)因为 f (x )= (x22x+1 )ex,所以 f (x) =(2x -2)ex (