二次函数与三角形专题训练

1、v1.0可编辑可修改二次函数与三角形专题训练1. (2012?遵义)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)的图象经过原点 O,交x轴于点A, 其顶点B的坐标为(3,-代.(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标；(2)在抛物线上求点 P,使 S»A POZ=2S>a AO百(3)在抛物线上是否存在点Q使4AQO与4AOB相似如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由.肛班)2. (2012?资阳)抛物线 产工工24乂+坨的顶点在直线y=x+3上，过点F ( - 2, 2)的直线交4该抛物线于点 M N两点(点 M在点N的左边)，MALx轴于点A, NBLx轴于

2、点B.(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示)，再求m的值；(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点 N的纵坐标，并说明 NF=NB(3)若射线NMIX x轴于点P,且PA? PB=!,求点M的坐标.gaos_r3. (2012?湛江)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点，点A的坐标为(6, 0),点B的坐标为(0, 8).动点M从点O出发.沿OA 向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒尚个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M N运动的时间为t秒(

3、t >0).(1)当t=3秒时.直接写出点 N的坐标，并求出经过 O A、N三点的抛物线的解析式;(2)在此运动的过程中， MNA的面积是否存在最大值若存在，请求出最大值；若不存在,请说明理由;(3)当t为何值时， MNA是一个等腰三角形4. (2012?云南)如图，在平面直角坐标系中，直线y= - -x+2交x轴于点P,交y轴于点314A.抛物线y= -工x'bx+c的图象过点E ( - 1, 0),并与直线相交于 A、B两点.2(1)求抛物线的解析式(关系式)；(2)过点A作Ad AB交x轴于点C,求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M使彳MAB是直角三角形若存

4、在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.5. (2012?义乌市)如图1,已知直线y=kx与抛物线y=-奈/一色交于点A (3, 6).(1)求直线y=kx的解析式和线段 OA的长度；(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点 P作直线PM交x轴于点M(点M O不重合)， 交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段 QM线段QN 的长度之比是否为定值如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OAl上(与点。A不重合)，点D (m, 0)是x轴正半轴上的动点，且满足/ BAE至BEDW AOD继续探究：m在什么

5、范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个图1图26. (2012?扬州)已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A (- 1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三点，直 线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当 PAC的周长最小时，求点 P的坐标；(3)在直线l上是否存在点 M使 MAC为等腰三角形若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.3-27. (2012?陕西)如果一条抛物线 y=ax2+bx+c (aw0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线 的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

6、(1) “抛物线三角形” 一定是 三角形;(2)若抛物线y=-x2+bx (b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b的值；(3)如图， OAB是抛物线y=-x2+b' x (b' > 0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点 。为对称中心的矩形 ABCDg2存在，求出过 Q C D三点的抛物线的表达式；若不存在，说 明理由.8. (2012?南通)如图，经过点 A(0, -4)的抛物线y=lx2+bx+cC两点，O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y=L+bx+c向上平移上个单位长度，再向左平移 22新抛物线，若新抛物线的顶点P在 ABC内，

7、求m的取值范围；(3)设点 M在y轴上，/ OMB + OABW ACB求 AM的长.与x轴相交于B( - 2, 0),m (m> 0)个单位长度得到9. (2012?临沂)如图，点 A在x轴上, ag.OA=4将线段。崎点。顺时针旋转120°至OB的(1)求点B的坐标；(2)求经过点A、O B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点巳使得以点P、。B为顶点的三角形是等腰三(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点 Q与直线AB交于点N,点M为OA的中点， 那么是否存在这样的直线 l ,使得 MON等腰三角形若存在，请求出点 Q的坐标；若不存 在，请说明理由.

8、11. (2012?乐山)如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(n m),点B的坐标为(n, -n),抛物线经过 A、O B三点，连接 OA OB AB,线段AB交y轴于点C.已知实数mr n (m< n)分别是方程x2 - 2x - 3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；E两点（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点 。B重合），直线PC与抛物线交于 D（点D在y轴右侧），连接OD BD.当4OPC为等腰三角形时，求点 P的坐标;求ABOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.2 .一象作PA12. （2012?嘉兴）在平面直角坐标系 xOy中，点P是抛物线：y=x上的动点（点在第

9、一限内）.连接OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点 Q连接PQ交y轴于点M.± x轴于点A, QB± x轴于点B.设点P的横坐标为 m（1）如图1,当m机时，求线段OP的长和tan/POM的值；在y轴上找一点C,使4OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点 C的坐标；（2）如图2,连接AM BM,分另1J与OP OCt目交于点D、E.用含m的代数式表示点 Q的坐标；求证：四边形 ODME1矩形.13. （2012?吉林）问题情境如图，在x轴上有两点 A 5 0), B (n, 0) (n>m> 0).分别过点A,点B作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点C、点D.直

10、线OC交直线BD于点E,直线OD交直线AC于点F,点E、点F的纵坐标分别记为 yE, yF.特例探究填空：当 m=1,n=2 时，ve= ,Vf= ;当 m=3n=5 时，ve= ,vf= .归纳证明 对任意m, n (n>m>0),猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想.拓展应用(1)若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2 (a>0) ”，其他条件不变，请直接写出y与yF的大小关系；(2)连接 EF, AE. 当S四边形 ofe=3Saofe时，直接写出 m与n的关系及四边形 OFEA勺形状.14. (2012?黄冈)如图，已知抛物线的方程 C: y=-二(x+2)

11、 (x-m) ( m>0)与x轴相交 IT于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线Ci过点M (2, 2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，求 BCE的面积；(3)在(1)条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EHt小，并求出点 H的坐标；(4)在第四象限内，抛物线 G上是否存在点F,使得以点 B C、F为顶点的三角形与 BCE相似若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由.15. (2012?呼和浩特)如图，抛物线 y=ax2+bx+c (a<0)与双曲线产上相交于点A, B,且 抛物线经过坐标原点，点 A的坐标为(-2, 2),点B在第四象限内

12、，过点 B作直线BC/x 轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点， 已知直线BC与x轴之间的距离是点 B到y轴的距 离的4倍，记抛物线顶点为 E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算 ABC与4ABE的面积；(3)在抛物线上是否存在点 D,使4ABD的面积等于 ABE的面积的8倍若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.cl W16. (2012?衡阳)如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCM顶点A, D在抛物线上，且 AD平行x轴，交y轴于点F, AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2, 1), 点P (a, b)在抛物线上运动.(点P异于点。(1)求此抛物线的解析式

13、.(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R,求证：PF=PR是否存在点P,使得 PFR为等边三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点 Q过Q作BC所在直线的垂线，垂足为 S,试判断 RSF的形用含有m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值；连接PB,线段PC把4PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出 m的值,使这两个三角形的面积之比为 9: 10若存在，直接写出 m的值；若不存在，说明理由.18. (2012?广元)如图，在矩形 ABC邛,AO=3 tan/ACB1.以3O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系

14、，设DE分别是线段AG OC上的动点，它们同时出发，点 D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点 C向 点O运动.设运动时间为 t (秒)(1)求直线AC的解析式;(2)用含t的代数式表示点 D的坐标;(3)在t为何值时， ODE为直角三角形(4)在什么条件下，以 RtODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式.19. (2012?广州)如图，抛物线 y= £贷2 卫整与x轴交于 A8k 4B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当4ACD的面积等于4ACB的面积时，求点 D的坐标；(3)若直线l过点E (4, 0), M为直线l上的动点，当以 A B M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l的解析式.20. (2012?广安)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABlx轴于点 B, AB=3,