弯曲正应力切应力与强度条件（课堂PPT）

1、1弯弯 曲曲第第 9 9 章章9-4 9-4 求惯性矩的平行移轴公式求惯性矩的平行移轴公式9-2 9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究9-3 9-3 弯曲正应力弯曲正应力9-6 9-6 梁的强度条件梁的强度条件9-5 9-5 弯曲切应力弯曲切应力9-8 9-8 弯曲应变能弯曲应变能9-10 9-10 超静定梁超静定梁9-7 9-7 挠度和转角挠度和转角9-1 9-1 剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图9-9 9-9 斜弯曲斜弯曲293 梁截面上的正应力当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。mmFSM3只有与正

2、应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力mmFSmmM 4一，纯弯曲梁横截面上的正应力 PPaaCD+PP+PaRBRA5PPaaCD+PP+Pal 横力弯曲梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。l 纯弯曲梁的横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。6几何取 一 纯弯曲 梁来研究 。推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。物理静力学实验：71，几何方面，几何方面以及横向线相垂直的一系列的纵向线以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如（如 aa ，bb 等等） 。aabb梁在加力前先在其

3、侧面上画上一系列的横向线（如梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等）等）mmnn8（1）变形前相互平行的纵向直线（）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为等），变形后均为 圆弧线（圆弧线（aa ，bb等等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。，且靠上部的缩短靠下部的伸长。梁变形后观察到的现象梁变形后观察到的现象mmnnaabbmmaabb9mmnnaabbmmaabb（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（）变形前垂直于纵向直线的横向线（ mm , nn 等）变形后仍等）变形后仍 为直线（为直线（ mm , nn 等）等） ，但相对转了一个角度，且与，但相对转

4、了一个角度，且与 弯曲后的纵向线垂直。弯曲后的纵向线垂直。mmnn10l 纯弯曲的变形特征l 基本假设1: 平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。l 基本假设2: 纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。11d 由平面假设可知，在梁弯曲时，由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个这两个横截面将相对地旋转一个角度角度 d 。用两个横截面从梁中假想地截取用两个横截面从梁中假想地截取长为长为 dx 的一段的一段 。公式推导12d O1O2 dx横截面的转动将使梁的凹边的纵横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸向线段缩短，凸边的纵向线段伸长长。

5、由于变形的连续性，中间必由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段有一层纵向线段 O1O2 无长度改无长度改变。此层称为变。此层称为 。O1O2 的长度为的长度为 dx 。13d O1O2 dx中性轴与横截面的中性轴与横截面的 对称轴成正交对称轴成正交 。中性层与横截面的交线称中性层与横截面的交线称为为 14l 中性层与中性轴15d O1O2 dx中性层中性层中性轴中性轴横截面横截面横截面的横截面的对称轴对称轴16d O1O2 dxyZx将梁的轴线取为将梁的轴线取为 x 轴轴 。横截面的对称轴取为横截面的对称轴取为 y 轴轴 。中性轴取为中性轴取为 z 轴轴 。17d O1O2 dx BB1 d

6、d y作作 O2B1 与与 O1A 平行。平行。在横截面上取距中性轴为在横截面上取距中性轴为 y 处处的纵向线的纵向线 AB。 为中性层上的纵向线段为中性层上的纵向线段 O1O2 变弯后的曲率半径。变弯后的曲率半径。O2B1 的长度为的长度为 y 。Ay18d O1O2 dx AByB1 d d ydxAB1 为变形前为变形前 AB 的长度的长度B1B 为为 AB1 的伸长量的伸长量 AB1 为为 A 点的纵向线应变点的纵向线应变。lldxdy)( OOBBABAB2111119d O1O2 dx AByB1 d d dxyOOBBABAB21111 dxdy)( 中性层的曲率为中性层的曲率为

7、dxd 1 y 20d O1O2 dx AByB1 d d dxydx因而，因而， 横截面上到中性轴等横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。远的各点，其线应变相等。该式说明该式说明 ， 和和 y 坐标成正比坐标成正比 , y 21d O1O2 dx AByB1 d d dxydxxyZOy y 222，物理方面，物理方面纯弯曲时横截面上各点处的处于纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态单轴应力状态 。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 。由单轴应力状态下的由单轴应力状态下的 胡克定律胡克定律 可得物理关系可得物理关系假设：假设： =E

8、 23yEE上式为横截面上上式为横截面上变化规律的表达式。变化规律的表达式。 y E24yEE上式说明，横截面上任一点处上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距的正应力与该点到中性轴的距离离 y 成正比成正比 ；OxyZy1在距中性轴为在距中性轴为 y 的同一横线上的同一横线上各点处的各点处的 正应力正应力 均相等均相等 。y25yEE M需要解决的问题需要解决的问题如何确定如何确定 中性轴的位置中性轴的位置 ？如何计算如何计算 ?中性轴中性轴26yZxOM3，静力学方面，静力学方面在横截面上法向内力元素在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。构成了空间平行力系。dAZy

9、 dAdA 1 dA27 ANdAF )( AydAzM )( AZdAyM yZxOMdAZy dA该空间平行力系简化为该空间平行力系简化为x 轴方向的主矢轴方向的主矢对对y 轴和轴和 z 轴主矩轴主矩28 ANdAF )( AydAzM )( AZdAyM 该梁段各横截面上该梁段各横截面上 FN 和和 My 均均等于零，等于零， 而而 Mz 就是横截面上就是横截面上的弯矩的弯矩 M 。0 0 M yZxOMdAZy dA29 AdAyE2 AdAyzE AydAE yEE 0 SzE 0 IEyz MIEz ANdAF AydAzM)( )( AZdAyM 300 SZ中性轴过截面形心且与

10、横截面的对称轴中性轴过截面形心且与横截面的对称轴 y 垂直垂直 AydAE 0 SzE ANdAF 31yyZZ中性轴中性轴中性轴中性轴CC32中性轴将横截面分为中性轴将横截面分为 受拉受拉 和和 受压受压 两部分。两部分。MMyyCZCZ中性轴中性轴中性轴中性轴拉拉拉拉压压压压330 Iyz因为因为 y 轴是横截面的对称轴，所以轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。一定为零。该式自动满足该式自动满足中性轴是横截面的形心主惯性轴中性轴是横截面的形心主惯性轴 AdAyzE 0 IEyz AydAzM)( 34EIMz 1EIz 称为截面的抗弯刚度称为截面的抗弯刚度yEE AdAyE2 MI

11、Ez )( AZdAyM 35M 横截面上的弯矩。横截面上的弯矩。该式为等直梁该式为等直梁 纯弯曲纯弯曲 时横截面上任一点处正应力的计算公式时横截面上任一点处正应力的计算公式y 求应力点的求应力点的 y 坐标坐标 。式中式中 ：横截面对中性轴的惯性矩。横截面对中性轴的惯性矩。IzIyMz 36u 由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。u 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。u 公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情形（横力弯曲）？l 公式的适用性IyMz 37横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力横

12、力弯曲时横截面上有切应力（翘曲）平面假设不再成立此外, 横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:hl5则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力有足够的精度。 l / h 5 的梁称为细长梁。384，讨论，讨论 （1）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将 M ，y 以绝对值代入。根据梁变形以绝对值代入。根据梁变形 的实际情况直接判断的实际情况直接判断 的正，负号。的正，负号。以中性轴为界以中性轴为界梁变形后凹入边的应力为压应力（梁变形后凹入边的应力为压应力（ 为负号为负号）梁变形后凸出边的应力为拉应力（梁变形后凸出边的应力为拉应力

13、（ 为正号为正号）IyMz 39MMyyCZCZ中性轴中性轴中性轴中性轴（2）横截面）横截面 中性轴上中性轴上 各点的正应力最小。且各点的正应力最小。且 min = 0IyMz 40（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处IyMz 41 中性轴为对称轴中性轴为对称轴ZyCycmaxytmaxM tmax Cmax压压拉拉IyMz 42ZyCycmaxytmaxM tmax Cmax压压拉拉IyMz yyyctmaxmaxmax 用用 ymax 表示最大表示最大 拉（压）应力点到中性轴的距离。拉（压）应力点到中性轴的距离。43ZyCycmaxy

14、tmaxM tmax Cmax压压拉拉IyMz IyMzmaxmaxyIWZZmax WZ 称为抗弯截面模量。称为抗弯截面模量。44WMZmax中性轴是对称轴中性轴是对称轴 的梁横截面上最大正应力的计算公式为的梁横截面上最大正应力的计算公式为4562bh 21223hbhhI=Wzz yzhbyIWZZmax 矩形截面的抗弯截面系数矩形截面的抗弯截面系数46圆形截面的抗弯截面系数圆形截面的抗弯截面系数26424dddIWzz 323d= dyzyIWZZmax 2d2d47Mmaxcmaxtmaxmaxmaxtc矩形截面梁横截面上正应力分部图矩形截面梁横截面上正应力分部图48zy 对于中性轴不

15、是对称轴的横截面对于中性轴不是对称轴的横截面Mytmax tmaxycmax Cmax49zyMytmax tmaxycmax Cmax应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ytmax 和和 yCmax 直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。50maxcmaxtIyMZtt maxmaxIyMZcc maxmaxzyMytmax tmaxycmax Cmax51803565202080z例题例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。求横截面最大形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如

16、图所示。求横截面最大拉应力拉应力 t，max ，和最大压应力和最大压应力 C，max ，已知，已知 ，Iz = 290. 6 10-8 mm4 P1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m52解：支座反力为解：支座反力为KN.RA52 RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m画出弯矩图。画出弯矩图。803565202080z53RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CB最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C上上mKNMC.52 最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B上上mKNMB.354RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m

17、803565202080z+-2.53CB B 截面截面MPaIMzBt1 .36035. 0maxMPaIMzBc1 .67065. 0max55RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z+-2.53CBC 截面截面MPaIMzCt0 .56065. 0maxMPaIMzCC1 .30035. 0max56RARBP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z t,max = 56.0MPa 发生在发生在 C 截面的下边缘截面的下边缘可见，可见， C,max = 67. 1MPa 发生在发生在 B 截面的下边缘截面的下边缘57RAR

18、BP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m803565202080z56.030.267.136.158重点、难点重点、难点正应力公式：正应力公式：IyMz WMZmax中性轴是对称轴中性轴是对称轴 的梁横截面上最大正应力的计算公式为的梁横截面上最大正应力的计算公式为59maxmax WMzmax ttccmax梁弯曲的正应力强度条件：梁弯曲的正应力强度条件：中性轴是横截面对称轴：中性轴不是横截面对称轴：60作作 业业9-8；9-961回回 顾顾EIMz 1中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：IyMz 纯弯曲梁横截面上的纯弯曲梁横截面上的正应力公式：正应力公式：横力弯曲时的正应力：横力弯曲

19、时的正应力：IyxMz )( 62xydydzabdzdxc ：单元体两个相互垂直平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必单元体两个相互垂直平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必定成对出现，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。定成对出现，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。63图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。9-5 弯曲切应力弯曲切应力P2P1q(x)一、矩形截面梁一、矩形截面梁64横力弯曲时, 横截面上既有正应力, 又有切应力。推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出矩形截面梁的切应力分布假设：矩形截面梁的切应力分

20、布假设：切应力。按截面形状，分别讨论。(1) 各点切应力方向平行于剪力FS; ;(2) 切应力沿宽度均匀分布。65（1）推导公式的思路）推导公式的思路MM+dMFSFS1假想地用横截面假想地用横截面 mm , nn 从梁中截取从梁中截取 dx 一段一段 。两横截面上均有剪力和弯矩。两横截面上均有剪力和弯矩。F2q(x)F1mmnnxdxmmnn弯矩弯矩 正应力正应力，剪力剪力 切应力切应力。66两横截面上的弯矩不等两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上到中性轴距离相等的点。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用（用 y 表示）其正应力也不等。表示）其正应力也不等。IyxMz )( 正应力（正应力（

21、 ）分布图）分布图mmnnMM+dMFSFSmmnny67mnnmmmohbdxxyz2假想地从梁段上截出体积元素假想地从梁段上截出体积元素 mB1 ABA1B1y要求要求m-m面上距中性面上距中性轴为轴为y y处的处的AA1线上任线上任意点处的切应力意点处的切应力。在横截面的横线在横截面的横线 AA1 上有相等的切应上有相等的切应力力 ，且方向都与剪且方向都与剪力方向平行。力方向平行。68yxzyBmnAB1A1m ndxmnnmmmohbdxxyzyABA1B1因为微元段因为微元段 dx 的长度很小，所以的长度很小，所以假设切应力假设切应力 在在AB1 面上面上均匀分布均匀分布。根椐切应力

22、互等定理根椐切应力互等定理，AB1 面的面的 AA1线各点处有切应力且线各点处有切应力且 69y体积元素体积元素 mB1 在两端面在两端面 mA1 , nB1 上两个法向内力不等上两个法向内力不等。3NN*2*1mnnmmmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1m ndxN*1N*2704在纵截面在纵截面 AB1 1 上必有沿上必有沿 x 方向的切向内力方向的切向内力 dFS。yxzyBmnAB1A1m ndxN*1N*2dFSmnnmmmohbdxxyzyABA1B1切应力切应力71yxzyBmnAB1A1m ndxN*1N*2dFSmnnmmmohbdxxyzyABA1B17

23、2由静力平衡方程，求出由静力平衡方程，求出 dFS。推导公式的步骤推导公式的步骤1N*1N*2和和分别求出分别求出 横截面横截面 mA1和和 nB1上正应力的合力上正应力的合力234dFS 除以除以 AB1 面的面积得纵截面上的切应力面的面积得纵截面上的切应力 。 由此得到横截面上距中性轴为任意由此得到横截面上距中性轴为任意 y 的点上的切应力的点上的切应力 。yxzyBmnB1A1mnN*1N*2AdFSdxb73（2）公式推导）公式推导yxzBmnAB1A1mnN*1N*21求求 N1* 和和 N2* 假设假设 mm , nn上的弯矩上的弯矩为为 M 和和 M+dM 。两截面上距中性轴两截

24、面上距中性轴 y1 处的处的正应力为正应力为 1 和和 2 。y1dAdA174yxzBmnAB1A1mnN*2dANA *1*1 dAyIMdAA*IyMA*zz 11SIM*ZZ 用用 A* 记作记作 mA1 的面积的面积Sz* 是面积是面积 A* 对中性轴对中性轴 z 的的静矩。静矩。A*N*1dA1y175yxzBmnAB1A1mnN*2A*N*1dA1y1dANA *1*1 SIM*ZZ 同理同理SIdMMdANZZA*2*2* 76N*1SIM*ZZ SIdMMNZZ*2 2由静力平衡方程求由静力平衡方程求 dFS012 dFNNS*SIdMNNdFzzS* 12yxzBmnAB1

25、A1mnN*1N*2dFS77SIdMNNdFzzS* 12yxzBmnAB1A1mn3求纵截面求纵截面 AB1 上的剪应力上的剪应力 IbSFzzS *dxbdFSSdxdMbIdxbdFzzS* 1 78yxzBmnAB1A1mndxb4横截面上距中性轴为任意横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力的点，其切应力 的计的计算公式。算公式。bISFzSz * IbSFzzS * dFS79上式为上式为 矩形截面梁矩形截面梁 对称弯曲时横截面上任一点处的对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式。切应力计算公式。bISFzSz * 80Iz 横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩b 矩

26、型截面的宽度矩型截面的宽度 其方向与剪力其方向与剪力 FS 的方向一致的方向一致FS 横截面上的剪力横截面上的剪力bISFzSz * 81ZbyA*Sz* 过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积的横截面面积A* 对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。yA*bISFzSz * 823，切应力沿截面高度的变化规律，切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 Sz* 与与 y 之间的关系确定。之间的关系确定。bISFzSz * 83nBmAm1A1B1xyzOy A*dAyS*z1A*84nBmAm1A1B1x

27、yzOyy1dy1 A*dAyS*z1 211hyzdybyS*)4(222yhb dybdA 1b85可见可见 ，切应力沿，切应力沿 截面高度按抛物线规律变化。截面高度按抛物线规律变化。)(yhIFZS2242 )4(222*yhbSZbISFzSz * 862hy 处，（处，（即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处)，切应力等于零，切应力等于零0 y = 0 处，处，( 即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处） ，切应力达到最大值，切应力达到最大值AFbhFhbhFIhFSSSzS23231288322 max)(yhIFZS2242 87式中式中 ， A = b h , 为矩

28、形截面的面积为矩形截面的面积 。AFS23 max max矩形截面剪应力沿截面高度的变化如图所示。矩形截面剪应力沿截面高度的变化如图所示。88z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法 ACzyAydASAA 为截面面积为截面面积yC 为截面的形心坐标为截面的形心坐标yC89例题例题: 矩形截面外伸梁如图所示矩形截面外伸梁如图所示.试求试求: (1) 横截面横截面 1-1 上点上点 1 处的应处的应力力 ; (2) 横截面横截面 2-2 上点上点 2 , 3 , 4 处的应力处的应力; (3) 以单元体分别示出各以单元体分别示出各该点处的应力状态该点处的应力状态 ( 应力应力 ) 情况情况 .FF

29、/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz90FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz解：解：(1) 点点 1 处的应力处的应力1-1截面的内力截面的内力4,211FlMFFS)(422311AFAFS0191FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz)(422311AFAFS01AF43192FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz解：解：(1) 点点 2，3，4 处的应力处的应力2-2 截面的内力截面的内力4,22FlMFFS93FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz0),(2

30、36422222bhFlbhFlWMz2bhFl23294FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz0),(2323323AFAF3AF2395FF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhz)(89)4(42222*24AFhhIFbISFzSzzS3AF89)(4312)4)(4(23424bhFlbhhFlIyMzbhFl43296二，工字形截面二，工字形截面 0b1z 0b1腹板腹板1，腹板上的切应力，腹板上的切应力下翼缘下翼缘上翼缘上翼缘97 0b1z 0b1bISFzzS1 A* 过欲求应力点的水平线，到截面边缘的距离。过欲求应力点的水平线，到

31、截面边缘的距离。FS 横截面上的剪力。横截面上的剪力。Iz 横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩b1 截面的宽度截面的宽度Sz 面积面积 A* 对中性轴的静矩对中性轴的静矩A*腹板腹板下翼缘下翼缘上翼缘上翼缘98切应力沿腹板高度按抛物线规律分布。最大的切应力切应力沿腹板高度按抛物线规律分布。最大的切应力 max仍发生在截面的中性轴上。仍发生在截面的中性轴上。 max 0b1z 0b1腹板腹板下翼缘下翼缘上翼缘上翼缘99 0b1z 0b12，翼缘上的切应力，翼缘上的切应力翼缘上的切应力有翼缘上的切应力有竖向切应力分量竖向切应力分量 和和水平切应力分量水平切应力分量 。本书只介绍本书只介绍

32、 水平切应力水平切应力 的的计算方法及其方向的判定。计算方法及其方向的判定。K腹板腹板下翼缘下翼缘上翼缘上翼缘100翼缘上的翼缘上的 水平切应力水平切应力 可认为可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式为：其计算公式为： ISFzzS水平 0b1z 0b1K101 0b1z 0b1 ISFzzS水平FS 截面上的剪力截面上的剪力Iz 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩Sz 欲求应力点到翼缘边欲求应力点到翼缘边缘间的面积缘间的面积 A* 对中性轴的静矩对中性轴的静矩 0 翼缘的厚度翼缘的厚度y0yzyASz000* zKA*102 ISFzzS水平Sz与与 z 成线

33、性关系，所以成线性关系，所以 max沿水平方向成直规律分布。沿水平方向成直规律分布。 0z 0b1zKyzyASz000* y01033，切应力流，切应力流翼缘上的水平切应力方向与翼缘上的水平切应力方向与腹板上的竖向切应力方向之腹板上的竖向切应力方向之间存在着一定的规律，该规间存在着一定的规律，该规律就是组成律就是组成“切应力流切应力流”。既截面上切应力方向就象水管既截面上切应力方向就象水管中主干管与支管中的水流的方中主干管与支管中的水流的方向一样。向一样。 0z 0b1zKy0104 dISFzzsyZbd105对所有开口薄壁截面，其横截面的切应力方向均符合对所有开口薄壁截面，其横截面的切应

34、力方向均符合“切应力流切应力流” 的规律。的规律。106二，其它形状截面二，其它形状截面1，T字型截面字型截面z max下面的狭长矩形与工字形截面的下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分的切应力公式腹板相似，该部分的切应力公式仍为仍为bISFzzS1 最大切应力仍发生在中性轴上。最大切应力仍发生在中性轴上。1072，圆形及环形截面，圆形及环形截面圆形及薄壁环形其最大圆形及薄壁环形其最大 竖向切应力竖向切应力也都仍发生在中性轴上。并沿中性轴也都仍发生在中性轴上。并沿中性轴均匀分布。均匀分布。圆形截面圆形截面AFs1max34 薄壁环形截面薄壁环形截面AFs2max2 z maxz maxZ

35、Fsmax108圆形截面圆形截面AFs1max34 薄壁环形截面薄壁环形截面AFs2max2 A2 薄壁环形截面的面积。薄壁环形截面的面积。FS 截面上的剪力；截面上的剪力；A1 圆形截面的面积；圆形截面的面积；zz max max109例题例题：图示：图示 T 形截面梁：形截面梁： 求求 FS,max 所在横截面上腹板内切应力所在横截面上腹板内切应力的最大值的最大值 max ； 绘出该横截面腹板内切应力的变化图。绘出该横截面腹板内切应力的变化图。803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1mIz = 290. 6 10-8 mm4110803565202080zP1=

36、8KNP2=3KNAcBD1m1m1m解：（解：（1）画剪力图，计算最大切应力）画剪力图，计算最大切应力+-32.55.5KNFS5 . 5max,111803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1mKNFS5 . 5max,mSz36*max,1025.42265)2065(MPadISFzzS00. 4*max,max,max112803565202080zP1=8KNP2=3KNAcBD1m1m1m（2）画腹板内切应力的变化图）画腹板内切应力的变化图求腹板上与翼缘交界处的切应力求腹板上与翼缘交界处的切应力mSz36*1040)1035()2080(MPadISFz

37、zS79. 3*max,1113803565202080zMPadISFzzS79. 3*max,1MPadISFzzS00. 4*max,max,max3.794.001149-6 梁的强度条件梁的强度条件等直梁等直梁 横力弯曲横力弯曲 时，某一横截面上的最大正应力发生在时，某一横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的位置。距中性轴最远的位置。yIxMzmaxmax)( 一，梁的正应力强度条件一，梁的正应力强度条件115yIMzmaxmaxmax 梁上最大的正应力发生在弯矩最大的截面上距中性轴最远的位置梁上最大的正应力发生在弯矩最大的截面上距中性轴最远的位置116梁的正应力强度条件为：梁的正

38、应力强度条件为：梁的横截面上最大工作正应力梁的横截面上最大工作正应力 max 不得超过材料的许用弯曲不得超过材料的许用弯曲正应力正应力 即即 max117WMyIMyIMZzzmaxmaxmaxmaxmaxmax 1，对于中性轴为对称轴的截面，对于中性轴为对称轴的截面yIWzzmaxWz 称为抗弯截面系数称为抗弯截面系数正应力强度条件为正应力强度条件为maxmax WMz1182，对于中性轴不是对称轴的截面，对于中性轴不是对称轴的截面ct比如铸铁等比如铸铁等 脆性材料脆性材料 制成的梁，由于材料的制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）且梁横截面

39、的且梁横截面的 中性轴中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的maxmaxct119要求梁上要求梁上 最大的拉应力最大的拉应力 和和 最大的压应力最大的压应力 分别不超过材料分别不超过材料的的 许用拉应力许用拉应力 和和 许用压应力许用压应力 。max ttccmax正应力强度条件为正应力强度条件为120（1）可对梁按正应力进行强度校核）可对梁按正应力进行强度校核3，正应力强度条件解决三方面问题，正应力强度条件解决三方面问题maxmax WMzmax ttccmax（中性轴是对称轴）（中性轴是对称轴）（中性轴不是对称轴）（中性轴不是对称轴）121（2）选择梁的截面）选择梁的

40、截面（3）确定梁的许可荷载）确定梁的许可荷载max MWzmax WMz122二、二、 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件梁上最大切应力梁上最大切应力 max一定发生在最大剪力一定发生在最大剪力 FSmax 的横截面上，的横截面上，且一般说是位于该截面的中性轴上且一般说是位于该截面的中性轴上 。全梁各横截面中最大切应力可统一表达为全梁各横截面中最大切应力可统一表达为bISFzzS*maxmaxmax 123b 横截面在中性轴处的宽度横截面在中性轴处的宽度Fsmax 全梁的最大剪力全梁的最大剪力Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩Sz*max 中性轴一侧的半个横截面面积对

41、中性轴的静矩中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴的静矩bISFzzS*maxmaxmax 124梁除满足正应力强度外，还需满足剪应力强度。梁除满足正应力强度外，还需满足剪应力强度。对于横力弯曲下的等直梁对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩又有，其横截面上一般既有弯矩又有剪力剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处最远的各点处 。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处截面上中性轴的各点处 。125梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点梁的最大切应力一

42、般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力处，这些点的正应力 = 0梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为*maxmax bISFzzS式中式中 ： 为材料在横力弯曲时的许用剪应力为材料在横力弯曲时的许用剪应力。Sz*max为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩126在选择梁的截面时，通常先在选择梁的截面时，通常先 按正应力选出截面按正应力选出截面 ，再按切应力进行强度校核再按切应力进行强度校核。*maxmax bISFzzS127例题例题：一简支梁受四个集中荷载：一简支梁受四个集中荷载 P1=120KN，P2 =30KN，P3

43、=40KN，P4=12KN。此梁由两根槽钢组成。此梁由两根槽钢组成 ，已知梁的，已知梁的许用应力许用应力 =170MPa，=100MPa 。 试选择槽钢型号。试选择槽钢型号。zyo0.60.40.40.32.4ABP1P2P3P4128RARB解：支座反力为解：支座反力为RA = 138KN RB = 64KN zyo0.60.40.40.32.4ABP1P2P3P4129画内力图画内力图FS,max = 138KNMmax = 62.4KN.55.262.45438.413013818125264+55.262.45438.4（1）由正应力强度条件选择）由正应力强度

44、条件选择槽钢型号槽钢型号 m1036736maxMWz根据正应力强度条件公式根据正应力强度条件公式 ，此，此梁所需要的抗弯截面系数为梁所需要的抗弯截面系数为131每一槽钢所需要的抗弯截面系数为每一槽钢所需要的抗弯截面系数为m105 .183210367366Wz从型钢表中选用从型钢表中选用 20 号槽钢，其抗弯截面系数为号槽钢，其抗弯截面系数为m1019136Wz能满足上列强度要求能满足上列强度要求13220075100119*maxmax, bISFzzS（2） 校核最大切应力校核最大切应力kN138 FS max,mSz36*max106 .1132)11100(9)11100()2111

45、00(7511133由型钢表查得由型钢表查得 20 号槽钢的号槽钢的 Iz = 19100 cm4。 MPa5 .45*maxmax,maxdISFzzS由此可见，所选的由此可见，所选的 20 号槽钢满足正应力强度条件，也满号槽钢满足正应力强度条件，也满足切应力强度条件，因而可用。足切应力强度条件，因而可用。由于梁是由两根槽钢组成由于梁是由两根槽钢组成 ， 故每一根槽钢分担的最大剪力为故每一根槽钢分担的最大剪力为KNFS692max,13480y1y22020120z例题例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为抗拉许用应力为

46、 t = 30MPa ,抗压许用应力为抗压许用应力为 C =160MPa 。已知截面对形心轴。已知截面对形心轴Z的惯性矩为的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度。校核梁的强度。 P1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m135解：支座反力为解：支座反力为KN.RA52 KN.RB510 RARBP1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m画出弯矩图。画出弯矩图。80y1y22020120z136最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C上上mKNMC.52 最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B上上mKNMB.4 +-2.54CBP1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m80y1y22020120z137+-2.54CB80y1y22020120z B 截面截面2 .271max tzBtMPaIyM 2 .462max czBcMPaIyM P1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m138+-2.54CB80y1y22020120zC 截面截面8 .282max tzCtMPaIyM P1=9KNP2=4KNRARBAcBD1m1m1m171maxtzCCMPaIyM139例题例题：一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为：一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为 22a，已知：，已知： l = 6m， F= 30KN，q = 6KN/m，材料的许