人口指数增长模型和Logistic模型

1、表1美国人口统计数据年份1790180018101820183018401850人口（ X106）年份1860187018801890190019101920人口（ X106）年份1930194019501960J19701980人口（ X106）提示:指数增长模型：Mt） x0eLogistic 模型：x t xm1 Xm 1 e rtX0解：模型一：指数增长模型。Malthus模型的基本假设下，人口的增长率为常数, 记为r,记时刻t的人口为x，（即x为模型的状态变量）且初始时刻的人dx口为X0,因为dt rx由假设可知x（t） xoert经拟合得到：y &t a2r a,% e2x

2、（0） Xox(t)xoertlnx(t)lnxorty lnx(t),a1r,a2ln x0程序：t=1790:10:1980;x(t)=;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2) x1=x0.*exp(r.*t);piot(t,x(t),rt,xi,'b')结果：a =r=x0=所以得到人口关于时间的函数为：x(t) %e0.0214t，其中x0 =,输入：t=2010;x0 =;x(t)=x0*exp*t)得到x(t尸。即在此模型下到2010年人口大约为106。模型二：阻滞增长模型(或Logistic 模型)由于资源、环

3、境等因素对人口 增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x) r(1 x/xm),其中r为固有增长率(x很小时),xm于是得到如下微分方程:为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)，dxx .rx(1 )dtxmx(0) Xo建立函数文件function f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件中调用函数文件%定义向量(数组)x=1790:10:1990;y=76 .92204 ;plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各

4、点连起来 hold on;a0=,1; % 初值%最重要的函数，第1个参数是函数名(一个同名的m文件定义)，第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y);disp('a=' num2str(a); %显示结果%画图检验结果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'r');%预测2010年的数据x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off运行结果：a=y1 =其中a(1)、a(2)分别表

5、示x t xm中的xm和r , y1则是对美国美1xm 1 ertx0国2010年的人口的估计。第二题：问题重述：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓 励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量 的方法。假定鱼池中只有一种鲸鱼，并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的 最大周长)：身长(cm)重量(g)76548211627374821389652454胸围(cm)问题分析:鲸鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲸鱼的胸围越大，鱼 的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联 系，共同影响鱼的体重。建模

6、的目的是寻求鲸鱼体重与身长、 胸围之间的数量规 律模型假设：1、鲸鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；2、鲸鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；3、鲸鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲸鱼的体重；4、鲸鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。符号说明：L鲸鱼的身长C鲸鱼的胸围W鲸鱼的体重模型的建立及求解：(一)、鲸鱼体重与身长模型的确立为了研究鲸鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重 的数据，利用MATLA歆件画出散点图，如下：从图形上看，鲸鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：W 1.6247*L2-59.3124

7、*L +709.7392（1）根据拟合的函数，我们画出拟合图：从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好，下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计， 用相对误差检验拟合度，得到下表：表一、鲸鱼体重实际值与估计值对比及误差表身长(cm)重量（g）48248245465273776511621389拟合值（g）相对误 差（%从表中的数据，我们可以得出鲸鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大, 说明用二次函数拟合鲸鱼身长与体重的关系式可行的。（二）、鲸鱼体重与胸围的模型确立仅仅考虑鲸鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲸 鱼体重与胸围的散点图：从图形上看，鲸

8、鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得 到鲸鱼体重与胸围的函数表达式：W 92*C-1497.5（2）根据拟合函数（2）,画出胸围与体重关系的拟合图:利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表:表二、鲸鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围(cm)重量（g）48248245465273776511621389拟合值（cm）相对误 差（%从鲸鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线性函数拟 合胸围与体重的关系拟合程度高，鲸鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大， 说明用线性函数拟合鲸鱼身长与体重的关系式可行的。（三）、建立体重与身长、胸围相互影响的模型实际情况下，鲸鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立 身长、胸围共同作用体重的模型。此模型的建立是基于假设，（4）,即：鲸鱼的体态用与胸围等周长，与身 长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长 2表示： J.因此可以分析得出W LC2.又物体质量等于密度与体积的乘积，因4此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：W LC2,问题转化为对系数 的求解。根据已知数据，利用MATLA歆件求解,得到：(3)因此,(4)_ 2W 0.0327LC利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表:表三、重量估计值及相对误差重量(g)