初中数学专题09动态几何定值问题(解析版)

1、专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的变“与 不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折） 、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基

2、架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值.它要用题中固有的几何量表示 .再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明第二种是采用综合法，直接写出证明 .【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问

3、题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：AABC是等腰直角三角形，/BAC = 90。，将UBC绕点C顺时针方向旋转得到 AAB C, 记旋转角为 %当90°v /V 180°时，作ADXAC,垂足为D, AD与BC交于点E.图1S2（1）如图1,当/ CA'D=15。时，作/ AEC的平分线EF交BC于点F.写出旋转角”的度数；求证：EA'EC=EF；（2）如图2,在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA, PF,若AB=戊,求线段PA+PF 的最小值.（结果保留根号）【答

4、案】（1）105。，见解析；（2） J6 2框【解析】（1）解直角三角形求出/ A'CD即可解决问题，连接A'F,设EF交CA于点O,在EF时截取EM = EC,连接CM.首先证明4CFA是等边三角形，再证明FCMACE （SAS）,即可解决问题.（2）如图2中，连接AF, PB； AB',作BM1AC交AC的延长线于 M,证明AA 'EFA A'EB；推出EF=EB ； 推出B； F关于A'E对称，推出 PF=PB；推出PA+PF=PA+PB' AB；求出AB即可解决问题.【详解】 解：由 / CA'D=15°,可知

5、/ ACD=90°-15°=75° ,所以 / A'CA=180°-75 °=105° 即旋转角 a 为 105°.证明：连接 AF ,设EF交CA于点O .在EF时截取EM=EC,连接CM . . / CED = Z A'CE+/ CA'E= 45 +15° = 60°,图I ./ CEA = 120°,FE 平分/ CEA', ./ CEF = Z FEA '= 60°, . / FCO= 180 - 45 - 75° = 60&#

6、176;, ./FCO = /A'EO,/ FOC = /AOE,.,.FOCA AOE,OF _ OC = ，AO OEOF _ AO1 1 ，OC OE. / COE = Z FOA ； .-.COEg/dA FOA : .-.Z FAO=Z OEC=60o, .A'CF是等边三角形， .cf = ca= A'F,EM= EC, / CEM = 60o , .CEM是等边三角形， / ECM = 60o, CM = CE, ,/ FCA = / MCE = 60°, ./ FCM =/ ACE, .-.FCMA ACE (SAS), . FM = AE,

7、.CE+AE=EM+FM = EF.(2)解：如图2中，连接 AF, PB ； AB',彳B M，AC交AC的延长线于 M.由可知,/ EAF='EAB'= 75°, AE = A'E, A'F = A'B',AEFA AEB；EF=EB B； F关于A'E对称，. PF=PB ；PA+PF= PA+PB' AB；在 RtCBM 中，CB'= BC=72aB=2, / MCB'= 30°,1. BM = -CB = 1, CM= 6,2AB '= Jam 2 b m 2 = J(

8、夜 局 i2 =小 2厌.PA+PF的最小值为J62娓-【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大.【举一反三】如图(1),已知/ MON =90°,点P为射线ON上一点，且OP=4 , B、C为射线OM和ON上的两个动点 (OC OP),过点P作PAL BC,垂足为点A,且PA=2,联结BP .4 Spac 1,一(1)若A 弓时，求tan BPO的值；S3边形 ABOP 2(2)设PC x,

9、殷 y求y与X之间的函数解析式，并写出定义域；BC(3)如图(2),过点A作BP的垂线，垂足为点 H ,交射线ON于点Q ,点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示OQ的长.4x 4【答案】(1) tan OPB OB ; (2) y -(x>2)； (3) OQ 的长度等于 3.OP 2x 4x【解析】(1)根据有两对角相等的三角形相似可证明CAPsCOB,由相似三角形的性质可知：Q AP oS()，在由已知条件可求出 OB的长，由正切的定义计算即可；S COB OB COB4(2)作AEXPCT E,易

10、证APAEs PCA,根据相似三角形的性质：对应边的比值相等PE 一,再利用x4y与x之间的函数解析式，并写出平行线的性质即可得到 公B OE ,所以 4 x,整理即可得到求 bc oc y -Xx 4定义域即可;(3)点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长不发生变化,一 PA由FAHspba 得：一PBPHPA，即 PA2=PH?PB,由 APHQsPOB 得：-PQ -PH-gp pq?po=ph?pb, PB PO所以PA2=PQ?PO,再由已知数据即可求出OQ的长.【详角军】(1) / ACP=/OCB/CAP=/O=90° . CAPs cobS PAC( AP

11、 )2S COB OBS PACS3边形ABOP.S PACS COB喏2 AP=2OB 2.3在 RtAOBP 中,OB .3tan OPB OP 2(2)作AEXPC,垂足为E,易证 APAEs PCAPA PEPC22PAPE xPE 4x. / MON = Z AEC=90°AE / OMAB OEBC OC-4 4x 4整理得y等3（x>2）x 4x(3)线段OQ的长度不会发生变化由 APAHs pba/日 PA PHPB PA即 PA2 PH PB由PHQs pob/日 PQ PH得PB PO即 PQ PO PH PB_ 2PA PQ PO PA=2 PO=4 .

12、PQ=1 .OQ=3即OQ的长度等于3.【点睛】此题考查相似形综合题，解题关键在于作辅助线类型二【线段的积或商为定值】【典例指引2】如图，矩形ABCD中，AB 2,BC 5,Bp 1, mpn 900,将MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB (或AD )于点E , PN交边AD (或CD )于点F .当PN旋转至PC处时， MPN的旋转随即停止.(1)特殊情形：如图，发现当 PM过点A时，PN也恰好过点D,此时 ABP是否与 PCD相似？并说明理由;(2)类比探究：如图，在旋转过程中,PEPE的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理PF由;(3)拓展延伸：设AE

13、t 时，EPF的面积为S，试用含t的代数式表示S ;在旋转过程中，若t 1时，求对应的EPF的面积;在旋转过程中，当EPF的面积为4.2时，求对应的t的值.N用(E)国D(2)由(1)相似;(1)根据EBP :一 PE(2)定值，生PF(3) 2, t 2 45 5两角相等的两个三角形相似”即可得出答案;PE BPPGF得出，又FG AB 2,BP 1为定值, PF GF即可得出答案;(3)先设 AE t,BE2 t结合S EPFSS形 ABGFS AEF S BEP S PFG 得出St2 4t 5将t=1代入S t2 4t 5中求解即可得出答案;将s=4.2代入St24t 5中求解即可得出

14、答案.【详解】(1)相似理由：: BAPBPA 900CPD BPA 90°,BAP又 ABPPCD 900ABP:(2)Vh,PE 在旋转过程中 上 的值为定值,PF理由如下：过点 F作FG BC于点G ,BEPEBPPGF 900，EBP: PGF,PEPFBPGF '四边形ABCD为矩形，四边形ABGF为矩形,FGAB 2, BP 1PEPF即在旋转过程中,PE的值为定值,PF（3）由（2）知:EBP:PGFPEPFBEPEPGPFt,t,BE2t,BG AFBPPG4 2t 5 2t ,S矩形ABGFS AEFBEPPFG2t1t 522t2tt2 4t 5即:t24

15、t 5;当1时,EPF的面积当EPF4.2 时，t2124t4.2解得一 22?（舍去），当 EPF的面积为4.2时，t 2皿5 ;5【名师点睛】 本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出 面积与AE的函数关系式.【举一反三】如图1,已知直线y=a与抛物线y12、” 乩、 J -一 x交于A、B两点（A在B的左侧，交y轴于点C 4若AB = 4,求a的值1(2)若抛物线上存在点 D(不与A、B重合)，使CD AB ,求a的取值范围2如图2,直线y=kx+2与抛物线交于点 E、F,点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y= 2于M、N两

16、点，MN交y轴于Q点，求QM QN的值。1 2(3)设 E ( Xi,-Xi24nx1 8XM, XNn x1系数的关系得到 Xi X2 4k,xX28，代入QM gQN Xm gxN即可解答.【答案】(1) a 1; (2) a 4； (3) 8【解析】(1)将两个函数解析式联立，解一元二次方程求得A、B的横坐标，进而表示出 AB,即可解答;1(2)由(1)可得CD=2AB=2ja,设D(J4m,m),过点D作DHy轴于点H,利用勾股定理可知DH 2 CH 2 CD2,进而得到(m a)(m a 4) 0,得到m a 4 0,根据函数图象可知 m 0,即可求得a的取值范围;P(nn2),分别

17、表示EP和FP的解析式，当y2时，求得4nx2 81 21 2,联立y -x y=kx+2,得到一x kx 2 0,利用一元二次方程根与n X2441 2 y - x 【详解】(1)联立，4,y a 1x2 a,解得：x12>/a, x2 27a4AB xB xA 4a 4/. a 1(2)由(1)知 AB=4G,1- CD = - AB=22 .a设 D (、,4m,m)过点D作DH，y轴于点H,DH 2 CH, (,4m)2 (am)24aa)(m4)(3)1xi, - xi4),1*2, *24),P (n,-n2)4EP解析式为y tx将P, E代入可得:4(nx1)x1nx14

18、当y2时，可求xMnx1 n8xi同理可求FP的解析式为14(nX2)Xnx2nx2 xN nX2又联立1 2 x4 得:kx 2kxxix24k,x1x2 QMgQNxm 5nnx1 8n x1nx2n x2n x1x2 8n(x1 x2) 64n2 n(x1 x2) x1x228n2 8ng4k 64-2乂 8n 4nk 8【点睛】本题为二次函数与一次函数综合题，难度大，主要考查二次函数与一次函数交点问题，还涉及了一元二次方程和勾股定理等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的性质和相关知识点是解题关键类型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如图，在 AABC中，/ ABC>60°

19、;, /BACv60°,以AB为边作等边 AABD （点C、D在边AB的同侧），连接CD.（1）若/ ABC 90°, / BAC 30°,求/ BDC 的度数；（2）当/ BAC 2/BDC时，请判断 那BC的形状并说明理由；（3）当/ BCD等于多少度时，/ BAC 2/BDC恒成立.【答案】（1） 30。；（2） AABC是等腰三角形，理由见解析；（3）当/ BCD=150。时，/ BAC=2/BDC恒成立.【解析】（1）证明AC垂直平分BD,从而可得 CD=BC,继而得/ BDC=30°；（2）设/ BDC =x,则/ BAC=2x,证明/ AC

20、D = /ADC,从而得 AC=AD,再根据 AB=AD 可得 AB=AC,从而得"BC是等腰三角形；（3）如图， 作等边ABCE,连接DE,证明BCDECD后可得到/ BDE=2/BDC,再通过证明 ABDEBAC 得至ij/ BAC=Z BDE ,从而得/ BAC=2Z BDC.【详解】（1） . ABD为等边三角形，.Z BAD=Z ABD=60° , AB=AD ,又. / BAC=30°, AC 平分/ BAD,AC垂直平分BD,.-.CD = BC, ./ BDC=Z DBC = ZABC-Z ABD=90° -60 =30°(2)

21、 AABC是等腰三角形，理由：设/ BDC=x,贝U/ BAC=2x,有/ CAD=60°-2x, Z ADC=60° +x, ./ ACD=180°-Z CAD-Z ADC=60° +x, ./ ACD=Z ADC, . AC=AD,又 AB=AD,AB=AC,即AABC是等腰三角形；(3)当/ BCD=150。时,/ BAC=2/BDC 恒成立,如图， 作等边ABCE ,连接DE ,BC=EC, / BCE=60°. . / BCD=150° , ./ ECD=360°-/BCD-/BCE=150° , ./

22、DCE=Z DCB.又 CD = CD, . BCDECD. ./ BDC=Z EDC,即/ BDE=2 / BDC.又 ABD为等边三角形， .AB=BD, / ABD = /CBE=60° , . / ABC= / DBE =60 + / DBC.又 BC=BE, . BDEA BAC. ./ BAC=Z BDE, ./ BAC=2/ BDC.【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和运用相关性质、结合图形正确添加辅助线是解题的关键.【举一反三】如图1,抛物线W : y ax2 2的顶点为点 A,与x轴的负半轴交于点 D,直线AB交抛物线 W于另

23、一点C ,点B的坐标为1,0 .(1)求直线AB的解析式；(2)过点C作CE x轴，交x轴于点E,若AC平分 DCE,求抛物线 W的解析式；-1(3)若a ,将抛物线 W向下平移m m 0个单位得到抛物线 W,如图2,记抛物线 W1的顶点为A，2与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1.问：在平移的过程中，tan D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan D1C1B的值；若不是，请说明理由.251【答案】(1) y 2x 2； (2) y 25x2 2； (3) tan D1clB 恒为定值.323【解析】(1)由抛物线解析式可得顶点A坐标为(0,-2),利用待定系数法即可得直线AB

24、解析式；(2)如图，过点B作BN CD于N ,根据角平分线的性质可得BE=BN,由/ BND = /CED=90。，/ BND二ZCDE可证明VBND : VCED ,设BE=x, BD=y,根据相似三角形的性质可得CE=2x, CD=2y,根据勾股定理由得y与X的关系式，即可用含 x的代数式表示出C、D坐标，代入y=ax2-2可得关于x、a的方程组， 解方程组求出a值即可得答案；(3)过点B作BF CD于点F ,根据平移规律可得抛物线Wi的解析式为y=-x2-2-m,设点口的坐标为2(t, 0) (t<0),代入y= 1x22m可彳导2+m=-t2,即可的Wi的解析式为y=-x2- t

25、2,联立直线BC解析式2222可用含t的代数式表示出点 Ci的坐标，即可得 C-H DiH ,可得/ GDiH 45°,根据抛物线 W的解析式可得点D坐标，联立直线BC与抛物线 W的解析式可得点 C、A坐标，即可求出CG、DG的长，可得CG=DG ,ZCDG = Z C1D1H 450,即可证明 C1D1/CD,可得 D1C1BDCB , tan D1C1B tan DCB ,由/CDG=45°可彳导BF=DF,根据等腰三角形的性质可求出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出CF的长，根据三角函数的定义即可得答案.【详解】(1)二.抛物线W： y2ax2的顶点为点A

26、 ,点 A(0, 2),设直线AB解析式为y kx b,.B (1, 0),b 2 ?k b 0解得:k 2b 2'.抛物线解析式为：y 2x 2 .(2)如图，过点B作BN CD于N,. AC 平分，DCE,BN CD,BE CE ,BN BE ,BND CED 90 , BDN CDE ,VBND: VCED ,.BN DBCE CD 'BE DBCE CD ' AO/CEBOAOBE 1CE 2DBCD，设BEx, BD2x,CD2y,DE2CE2, 4y4x2,5x 3y0, y，点1,2x ,3x，0，点w：2 ax2上的点,2x a x 1x>0,解得

27、:x10(舍去),X2392539 252532，抛物线解析式为:25 2一 x32(3) tan DQ1B恒为定值，理由如下:如图，过点Ci作GH X轴于H,过点C作CG x轴G,过点B作BF CD于点F ,，抛物线 W的解析式为y= - x2-2, 2:将抛物线 W向下平移m个单位，得到抛物线 W1 ,1 2_抛物线 Wi的解析式为：y -X 2 m, 2设点Di的坐标为t,0 t 0 ,1 20 -t 2m,2_1 22 m -t ,2 1c 1c.抛物线 W1的解析式为：y 1X2 1t2, 22抛物线W1与射线BC的交点为C1,y 2x 2解得:为 2 ty12 2tx22 t（不合

28、题意舍去）, y22 2t点C1的坐标2 t,2 2t.C1H 2 2t,OH 2 t,DH DO OH 2 tt 2 2t , C1H D1H，且 C1H x 轴，C1D1H 45°,1 2y -x 2与x轴父于点d ,. 点 D 2,0 ,1 2y 2x 2与y 2x2 2交于点C,点a,2x 2解得:，点c4,6(0,-2),GC6,DGODOG 24 6,DGCG ,且 CGx轴,GDC 45C1D1H ,C1D1 / /CD ,D1C1BDCB，tan D1C1B tanDCBCDB 45o,BFCD, BDOD OB 2 13,FDB FBD45°, DFBF,

29、DB T2DF 3,DF3 2BF ，2丁点D2,0，点 C 4,6 ,CD6拒,CFCD DF922tanD1cl B tanDCBBFCF 3.tan D1clB恒为定值.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象的平移、相似三角形的判定与性质及三角函数 的定义，难度较大，属中考压轴题，熟练掌握相关的性质及判定定理是解题关键.类型四【三角形的周长为定值】【典例指引4】如图，现有一张边长为 2J2的正方形ABCD,点P为正方形 AD边上的一点（不与点 A、 点D重合），将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF, 连接BP, BH.（1）求

30、证：EPBEBP;（2）求证：APBBPH ;（3）当点P在边AD上移动时，APDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；（4）设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式.2【答案】（1）见解析（2）见解析（3）周长固定，周长为 472. （4） S 2x 82【解析】（1）根据折叠的性质，对应边相等，即能解决问题.（2）根据折叠的性质和问题（1）的结论即能解决问题.（3）通过证明过 B点向PG作垂线，垂足为 Q,通过分别证明 VBPA仁VBPQ 和RtVBHQRtVBHC ,将4PDH的周长问题转化成两固定边长之和，即能解决问题，【详解】（1）证明：二.四

31、边形 EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠. EP = EBEPB = /EBP(2)证明二四边形 EPGF由四边形EFCB折叠而来，EB与EP重叠，PG与BC重叠/ EPG = / EBC又. / EPB = / EBP ./EPG - /EPB = /EBC - / EBP,即/ BPH = / PBC AD / BC, ./ APB = /PBC, ./ APB = / BPH(3)解：APDH的周长不发生变化.如图所示，过点 B作BQ，PG于点Q.在4BPA和ABPQ中，APB QPB . PB PB , A PQB VBPA VBPQ(ASA)PQ AP, AB BQ,B

32、Q BCRtVBHQ 和 RtVBHC ,BQ BCBH BH. RtVBHQ© RtVBHC (HL). QH = HC.PDH 的周长为：i pd dh ph PD AP DH HC AD BC 4c为固定值，固定不变.如图，过点F作FM垂直AB于点M.BEF ABP 90 , BEF MFE 90 MFE ABP在UBP和4MFE中A EMF AB MF ,ABP MFE VABPVMFE (ASA)ME AP x在 "EP中，根据勾股定理，可得:X2 (4 BE)2 BE22,一 X解得：BE 28一SSI边形EFCB2(CFBE)2X一 X82=2x 82即S关于

33、x的关系式为:2XS 2x 82本题考查了折叠的性质、勾股定理、三角形全等，二次函数、综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质、直角三角形各边长之间关系及三角形全等的判定方法【举一反三】如图，在等腰直角三角形 ABC中，/ C=90°, AB = 8J2，点。是AB的中点.将一个边长足 够大的RtADEF的直角顶点E放在点。处，并将其绕点 O旋转，始终保持 DE与AC边交于点G, EF与 BC边交于点H.（1）当点G在AC边什么位置时，四边形 CGOH是正方形.（2）等腰直角三角ABC的边被RtADEF覆盖部分的两条线段 CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不发 生变化，请求

34、出 CG与CH之和的值：如发生变化，请说明理由.【答案】（1）点G在AC的中点时，四边形 CGOH是正方形；（2）CG与CH的和不会发生变化，CG+CH= 8.【解析】（1）由三角形中位线定理可得 OG/BC, OG=1BC,可证四边形CGOH是矩形，由等腰直角三角2形的性质可得/ ACO = Z COG =45°,可得CG=GO,可得结论；（2）由 ASA”可证GOCA HOB,可得 CG=BH,即可得 CG+CH = HB+CH = BC = 8.【详解】解：（1）当点G在AC的中点时，四边形 CGOH是正方形，连接CO,。为AB的中点，点 G是AC中点,.OG / BC, OG

35、= - BC2， ./ CGO=Z C=90° . / GOF = 90° 四边形CGOH是矩形，. AC=BC, Z ACB=90°, AO= BO,ACO = 45°,且/ CGO=90°, ./ ACO = Z COG = 45°, .CG = GO, .矩形CGOH是正方形；(2) CG与CH的和不会发生变化，理由如下：连接OC, ABC是等腰直角三角形且点 O为中点GCO=Z B=45°, / COB =90°, CO = BO . / DOF = 90° = / COB, ./ GOC=Z H

36、OB,且 CO=BO, / GCO=Z B= 45°, . GOC HOB (ASA) . HB = GC, .CG + CH= HB+CH=BC. AB=8、.2 ,BC = AC =8 .CG + CH = 8.【点睛】此题考查的是中位线的性质、矩形的判定、正方形的判定、全等三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质，掌握中位线的性质定理、正方形的判定定理和用ASA证明两三角形全等是解决此题的关键.类型五【三角形的面积及和差为定值】【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以矩形的旋转”为主题开展数学活动.具体要求：如图 1,将长与宽都相等的两个矩

37、形纸片 ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线 AC和EG互相重合.固定矩形 ABCD ,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点 E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动.操作发现:AB与EF交于点M ,边CD与GH交于点N,如图2、图3（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边所示，则线段 AM与CN始终存在的数量关系是 .（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论.（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形 QMRN中/ MQN与旋转角/ AOE存在着特定的数量关系， 请你写出这一关

38、系，并说明理由.实践探究：（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化.若矩形纸片的长为 2+J2，宽为衣，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角/AOE为多少度时，四边形 QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）【答案】（1）结论：AM=CN,理由见解析；（2）证明见解析；（3）结论：/ MQN=/AOE,理由见解析；（4） / AOE = 45。或135。时，四边形QMRN面积最大为2J2 .【解析】（1）先证明AOKA AOJ（ASA）,推出 OK = OJ,AK=CJ, / AOK=/ AJO,再证明 ZEKMA GJN（ASA）即可的解；（2）过点Q作

39、QKEF, QLXCD,垂足分别为点 K, L、先证明四边形 QMRN是平行四边形，再证明QM = QN即可的解；（3）由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题；（4）如图3-2中，连接BOC的度数，再结合图BD,在DC上取一点J,使得DJ = AD=五,则AJ=2,通过解直角三角形求出/象即可得解.【详解】（1）结论：AM=CN.理由：如图2中，设AB交EG于K, CD交EG于J.四边形ABCD是矩形，四边形 EFGH是矩形, .AB/CD, EF/EG, OA=OC = OE=OG,MEK = / JGN, /OAK = /OAJ, . Z AOK = Z AOJ, /.AAOKA

40、AOJ (ASA),OK=OJ, AK=CJ, /AOK = /AJO,，EK = JG, ./EKM =/AKO, /GJN = /CJO, . / EKM = / GJN ,.-.EKMAGJN (ASA), .KM=JN, /. AM = AN .(2)证明：过点 Q作QKXEF, QLXCD,垂足分别为点 K, L.EG图3由题可知：矩形 ABCD0矩形EFGH,AD = EH, AB/CD, EF/ HG ,四边形QMRN为平行四边形，,QK=QL, QKXEF, QLXCD,，QK=EH, QL = AD, / QKM = / QLN = 90又.AB/CD, EF/HG, /.

41、Z KMQ =Z MQN , / MQN = / LNQ ./ KMQ =Z LNQ . QKMAQLN (AAS),.MQ=NQ，四边形 QMRN为菱形.(3)结论：Z MQN = Z AOE.理由：如图3-1中,03-1 . / QND = Z 1 + Z2, Z AOE=Z 1 + Z 3,又由题意可知旋转前/ 2与/3重合，2=7 3,QND/AOE, . AB/CD, . MQN = Z QND , . / MQN = Z AOE .(4)如图,则 AJ=2,CD = 2+ Z AJD = 45° = Z JCA+ Z JAC, /. Z ACJ = 22.5 , . OC

42、=OD, OCD = Z ODC = 22.5 , /.ZBOC=45观察图象可知，当点 F与点C重合或点G与点D重合时，四边形 QMRN的面积最大，最大值= 2J5，丁./ AOE = 450或1350时，四边形 QMRN面积最大为2亚【名师点睛】 本题考查矩形的性质、菱形的性质和判定，解直角三角形和全等三角形等知识，解题的关键是能正确找到全等三角形【举一反三】如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形 EFG的两边EF , EG分别过点B,C, / F = 30°.（1）求证：BE=CE（2）将AEFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到 EF与AD重合时停止

43、转动.若EF , EG分别与AB,BC相交于点M, N.（如图2）求证：ABEMA CEN;若AB = 2,求BMN面积的最大值；当旋转停止时，点 B恰好在FG上（如图3）,求sin / EBG的值.G一一 一 62【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；2；/2 .【解析】（1）只要证明ABAEZCDE即可；（2）利用（1）可知AEBC是等腰直角三角形，根据 ASA即可证明;构建二次函数，禾1J用二次函数的性质即可解决问题;如图3中，作EHLBG于H.设NG=m,则BG=2m,BN=EN=J3m, EB=J6m.利用面积法求出EH,根据三角函数的定义即可解决问题【详解】（1）证明：如图1中,

44、四边形ABCD是矩形, . AB=DC, / A=Z D=90° ,E是AD中点,AE=DE, . BAEACDE,. BE=CE.(2)解：如图2中,由(1)可知，AEBC是EBC=Z ECB=45° ,. / ABC=Z BCD =90° , ./ EBM = Z ECN=45°,. / MEN = Z BEC=90°, ./ BEM = /CEN,EB=EC, . BEMA CEN ；. BEMA CEN,BM=CN,设 BM=CN=x,贝U BN=4-x,-1 Sabmn= ?X (4-x) =- (x-2) 2+2 ,22-1 <

45、; 0,2.x=2时，ABMN的面积最大，最大值为 2.解：如图 3 中，作 EHLBG 于 H.设 NG = m,贝U BG=2m, BN=EN=73m, EB=76 m.EG = m+ 3 m= (1+73) m,' Sabeg=-任G?BN= - ?BG?EH ,22. EH= V3m?(1 V3) m = 3+73 m2m23+3_在 RtAEBH 中，sin / EBH= EH2m 6q 后.EB 、. 6m 4【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学

46、会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题【新题训练】1 .已知在平行四边形 ABCD中，AB=6, BC=10, /BAD=120°, E为线段BC上的一个动点(不与 B, C重 合)，过E作直线AB的垂线，垂足为 F, FE与DC的延长线相交于点 G,(1)如图1,当AELBC时，求线段 BE、CG的长度.(2)如图2,点E在线段BC上运动时，连接 DE, DF, ABEF与4CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(3)如图2,设BE=x, ADEF的面积为y,试求出y关于x的函数关系式.【答案】 BE=3, EG =LiI ； (2)是定值，为 15+5

47、 JJ；(3) y= -(0<x<10).284【解析】(1)先求出B巳A巳进而求出BF, EF,再用平行四边形的面积求出 FG,即可得出结论;(2)先求出BH, AH,再用相似表示出 BF, EF,进而得出CG, EG,即可得出结论；(3)利用三角形的面积公式即可得出结论.【详解】(1) .四边形ABCD是平行四边形，AD / BC, AB/ CD,BAD+Z B=180 , . / BAD=120 ,Z B=60 , AEXBC 于 E,在 RtAABE 中，Z BAE=30 , AB=6 ,.BE=3, AE=3 0 EFXAB, ./ BFE=90 ,在 RtABEF 中，

48、Z BEF=30° ,.RF, 1 口匚 33g or - BE= , tr ,222S?abcd=BC >AE=AB >FG , 10X3 石=6FG,FG=5,EG = FG-(2)如图2,过点A作AH，BC于H , / B=60 , BH=3, AH=3 收 . Z AHB=Z BFE=90° , Z B=Z B,/.A ABHAEBF,.AB 里 AF£ BE BF EF '设 BE=a,.63345一 ?a BFEFBF=la, EF=a, 22 AB / CD,EF BEF s/ CEG ,EGx/3 Ta- a EG§L

49、 匹 CG CE1-a , 2 sCG 10.-.CG=- (10- a), EG= (10- a), 22C/：bef+Czceg=BE+BF+EF + CE+CG+ EG=a+ a+ a+10 3+ (10 - a) +(10 - a)2222=10+5+5 3 =15+5 石；(3)同(2)的方法得，EF=3x1、CG一(10x),2DG=CD + CG=6+5 - 1x=11 - 1x22 'Sa def= 1 EF XDG = 1 XxX (11 L) = x，11叵(0vxv10).222284【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、二次函

50、数的应用，运用相似三 角形的性质是解决第(2)小题的关键.2 .如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物线经过点 A,点P是抛物线上 点A、C间的一个动点(含端点)，过点P作PFLBC于点F,点D、E的坐标分别为(0, 6), (-4, 0), 连接 PD, PE, DE.(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置是发现：当点 P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P, PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；(3)请直接写出APDE周长的最大值和最小值.【答案】(1)y=- 1x2+8;(2)正确，d=|PD-P

51、F|为定值2;理由见解析；(3)APDE周长的最大值是 2J13+14, 8最小值是2/3+10.【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)首先表示出P, F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD, PF的长，进而求出即可；(3)过 E 作 EF，x轴，交抛物线于点 P,求得 CAPDE = ED + PE+ PD= ED + PE+PF + 2= ED + 2+ ( PE+ PF),当P、E、F三点共线时，PE+PF最小；当P与A重合日PE+PF最大；即可解答.【详解】(1) 边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物线经过点 A, -C (0, 8), A

52、 ( 8, 0), 设抛物 线解析式为：y=ax2+c,c 8则，64a c 01a 一解得：8 .c 81抛物线解析式为 y=- W+8.81(2)设 P (x, - -x2+8),则 F (x, 8),811则 PF=8 ( - - W+8) = X2.881111PD2=x2+6 - ( - AS) 2= -x4+-x2+4= ( -x2+2) 2(86428nc 1 2PD= -x2+2,811.',d=|PD-PF|=|-x2+2- -x2|=288.d=|PD-PF|为定值 2；(3)如图，过点E作EFLx轴，交抛物线于点 P,由d= |PD-PF|为定值2,得 Czpde=ED+PE+PD= ED+PE+PF+2= ED+2+ (PE+PF