初二数学特殊四边形中的动点问题教师版

1、特殊 四边形中 的动问题及解题方法1、如图，在直角梯形 ABC前，AD/ BC, /B=90° , AD=24cmAB=8cm BC=26cm动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts .(1)当t为何值时，四边形PQCCfe平行四边形？(2)当t为何值时，四边形 PQCCfe等腰梯形？(3)当t为何值时，四边形PQCCfe直角梯形？分析：(1)四边形PQC的平行四边形时PD=CQ(2)四边形PQC的等腰梯形时QC-PD=2CE(3)

2、四边形PQC的直角梯形时QC-PD=EC所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可.解答：解：(1) :四边形PQCDP行为四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6 即当t=6时，四边形PQCDF行为四边形.(2)过 D作 DE! BC于 E则四边形ABEM矩形，BE=AD=24cm，EC=BC-BE=2cm四边形PQC的等腰梯形，QC-PD=2CE即 3t- (24-t ) =4解得：t=7 (s)即当t=7 (s)时，四边形PQC时等腰梯形.(3)由题意知：QC-PD=ECf,四边形PQCDJ直角梯形即3t- (24-t) =2解得：t=6.5 (s)即当t=6.5

3、(s)时，四边形PQC为直角梯形.点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中.2、如图， ABC中，点。为AC边上的一个动点，过点 O作直线MN/ BC,设 M联/ BCA的外角平分线 CF于点F,交/ ACB内角平分线CE于E.( 1)试说明EO=FO；(2)当点。运动到何处时，四边形 AEC晦矩形并证明你的结论；(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，猜想 ABC的形状并证 明你的结论分析：(1)根据CE平分/ ACB MN BG找到相等白角，即/ OEC=ECB再根据等边 对等角得OE=OC同理OC=OF可得EO=FO( 2)利用矩形的判定解答，即

4、有一个内角是直角的平行四边形是矩形( 3)利用已知条件及正方形的性质解答解答：解：(1) ; CE平分/ ACR，/ ACE=! BCEV MIN/ BC, . / OEC= ECB / OECM OCE . OE=O C同理，OC=O，FOE=O F(2)当点O运动到AC中点处时，四边形 AEC晦矩形.如图 AO=CO， EO=FO，四边形AECF为平行四边形，V CE平分 / ACB1 ./ ACE= 3/ACB1同理，/ ACF= ：/ACG1 1，/ECF之 ACE吆 ACF= 2 （/ACB它 ACG = 2X180° =90° ,四边形AECF是矩形.（3） A

5、BC是直角三角形 四边形AECF是正方形，ACLEN,故/AOM=90, MIN/ BC, . / BCA=/ AOM ./BCA=90 ,.ABC是直角三角形.点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1）,再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2）,再对（3）进行判断.解答时不仅要注意用到前一问 题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法.是矩形 的判定和正方形的性质等的综合运用.3、如图，直角梯形 ABC前,AD/ BC, / ABC=90 ,已知 AD=AB=3 BC=4 动 点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点 Q从点D出发，沿线 段

6、DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点 N. P、Q两点同时出发，速度都为每秒 1个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动.设点 Q运动的时间为t秒.(1)求NG MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ勾成平行四边形；(3)是否存在某一时刻，使射线 QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分?若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时， PM等腰三角形.分析：1) 依据题意易知四边形ABN时矩形，NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DBQ口 AD已知,DQ就是 t,即解；V AB/ QN .CMN

7、bACAECM CA=CN CB, (2) CR CN已知，根据勾股定理可求 CA=5即可表示CM四边形PCDQ勾成平行四边形就是 PC=DQ列方程4-t=t即解；(3)可先根据QN平分 ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN十AB匕来求出t的值.然 后根据得出的t的值，求出 MNC勺面积，即可判断出 MNC勺面积是否为 ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的 t 值( 4)由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当MP=MCf,那么PC=2NC据此可求出t的值.当CM=C时，可根据CMff口 CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.当MP=PCCt,在直角三角形

8、MN时，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出 t 的值综上所述可得出符合条件的 t 的值解答 :解：（1） V AQ=3-t. CN=4- (3-t ) =1+t在 RtMBC中,AC2=AB2+BC2=32+42，AC=5NG 45+5t在 RtMN计,cosZ NCM=MC= 5, CM=IT(2)由于四边形PCDQ勾成平行四边形. PC=QD 即 4-t=t解得t=2 .(3)如果射线QNB ABC的周长平分，则有:MN+NC=AM+BN+AB51即：M (1+t) +1+t= 2 (3+4+5)解得：t= 3 (5分)33而 MN=4NC= 4 (1+t)35X3(1+t)

9、2= 8 (1+t) 258当 t= Z时，SA MNC=(1+t) 2= 31-21-2X4X3.二不存在某一时刻t,使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分.(4)当 MP=MCJ (如图1)贝好：NP=NC 即 PC=2NC- 4-t=2 (1+t)当CM=CPf (如图2)则有：54 (1+t) =4-t11解得：t=:当PM=PC寸(如图3)则有：在 RtMN冲，PM2=MN2+PN233而 MN=4NC= 4 (1+t)PN=NC-PC =1+t) - (4-t ) =2t-33耳(1+t) 2+ (2t-3 ) 2= (4-t ) 2103解得：t1= 57, t2=-1 (

10、舍去)23仁当用一 点111039，t= 57时，PM等腰三角形此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法.4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于 A、B两点，动点P、Q同时从。点出发，同 时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿 路线O?B?A运动.(1)直接写出 A B两点的坐标;（2）设点Q的运动时间为t （秒），OPQ勺面积为S,求出S与t之间的函数关 系式；（ 3）当 S= 485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点O、 P、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标.分析：（1）分别令

11、y=0, x=0,即可求出 A B的坐标；（2）因为OA=8 OB=6利用勾股定理可得 AB=1Q进而可求出点 Q由。到A的时间是 8 秒，点 P 的速度是2，从而可求出，当P在线段 OB上运动（或0&t03）时，OQ=t, OP=2t, S=t2,当P在线段BA上 运动（或 3<t<8）时，OQ=t AP=6+10-2t=16-2t ,作 PD）±OA于点 D,由相似三 角形的性质，得PD=48-6t5 ,利用S= 120cx PR即可求出答案；（3）令S= 485,求出t的值，进而求出 OD PD,即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计

12、算即可写出M的坐标.解答：解：（1） y=0, x=0,求得 A （8, 0） B （0, 6）,（2） v 0A=8 0B=6 AB=10.点Q由。到A的时间是81=8 （秒），点P的速度是6+108=2 （单位长度/秒）.当P在线段0B上运动（或 0ct<3）时，OQ=t， OP=2t， S=t2 当P在线段BA上运动（或3<t<8）时，如图，做PD)± OA于点D,由 PDBO=APAB 得 PD= 48-6t5 .，S= 12OQ?PD=- 35t2+245t .(3)当 S= 485 时，: 485 >12X3X6,点 P 在 AB 上当 S= 48

13、5 时，-35t2+245t= 485，t=4PD= 48-6X45= 245, AD=16-2X4=8AD= 82-(245)2= 325OD=8- 325= 85P ( 85 , 245 )M1 ( 285 , 245 ), M2 (- 125 , 245 ) , M3 ( 125 , - 245 )点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题(2)时，应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.5.已知：如图，在直角梯形 COAB中，OC / AB,以。为原点建立平面直角坐标系，A, B, C三点的坐标分别为 A(8,0) B(810), C(0,4),点D为线段BC的中点，动

14、点P从点O出发，以每秒1 个单位的速度，沿折线 OABD的路线移动，移动的时间为 t秒.(1)求直线BC的解析式；一一 _ _ 2(2)若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形 OPDC的面积是梯形 COAB面积的-?7(3)动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设 AOPD的面积为S,请直接写出S 与t的函数关系式，并指出自变量 t的取值范围；6.如图，已知ZXABC (1)如果点P在线yrA点运动.若点Q的运动速他上中，ABBCHT3厘不的运动速度相等，经过C 10厘米，:/秒的速度由BC 8厘米，点D为AB的中点.B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向1秒后，

15、4BPD与4CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q勺运动速度为多少时，能够使4BPD与4CQP 全等？A明：不论E、F怎样移动，三角形 BEF总是正三角形.3、在平行四边形ABCD中,E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB CF ;(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形，并说明理由.4、如图l 480,已知正方形 ABCM对角线AC BD相交于点 O, E霍.AC ±点/点A作AGJ± EB, 垂足为 G, AG交 BD于 F,则 OE=OFA_/(1)请证明 0E=OF/ :一C7 C(

16、2)解答(1)题后，某同学产生了如下猜测：对上述命蟹三若近一£E在,A。的延长线上，AGL EB, AG 交EB的延长线于G, AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变，一而仍有 OE=OF问：猜测所 得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.5、如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD 3, DC 5, AB4J2, Z B 45 .动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段 CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动.设运动的时间为t秒.(1)求BC的长.(2)当MN / AB时，求t的值.(3)试探究:6.如图所示,t为何值时， 4MNC为等腰三角形.有四个动点 P、Q E、F分别从正方形 ABCD勺四个贝位出发，沿着DAR BC CD DA以同样的速度向B、C、D A各点移动。(1)试判断四边形 PQE乱正方形并证明。(2) PE是否总过某一定点，并说明理由。(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？7、已知：如图， ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出线:，分另沿EB