南京市高三综合复习数学试题(解析版)

1、高三数学综合题一、填空题1 .如图正 ABC的边长为2, CD是AB边上的高，E, F分别为边AC与BC的中点，现将 ABC沿CD翻折，使 平面ADC，平面DCB,则棱锥E-DFC的体积为 .9【提示】Sa DFC = 4s ABC =1x43X 22) = 3,E到面DFC的距离h等于1AD = 1.22VE DFC =2X SaDFC X h =更 324【说明】平面图象的翻折，多面体的体积计算.,一，.兀，一一.，,，一 一、一兀 兀,一、，、一2 .已知函数f(x) = sin(x+己)一coscox (co>0).若函数f(x)的图象关于直线 x= 2兀对称，且在区间 4, 4

2、上是单倜 函数，则3的取值集合为.【答案】1 5,4.3 6 3【提示】f(x) = sin(cox因为f(x)的图象关于直线x=2兀对称，所以 f(2 nt羊 ± 1,则 2兀3券 kn+f,所以 w=k+ 1, kCZ. 622 3一、，一、 一 ，一、一 _ 兀 兀兀兀因为函数f(x)在区间 4, 4上是单调函数，所以周期T>2一(4)，即2 TT,解得 0V w<2,所以 3=1 或 3=5或 3 = 4或 0=11. 33636当 3=3时，f(x)=sin(1x-6), xC j, j时，3x- ：, 12】，此时 f(x)在区间j, j上为增函数；当 co=

3、 6H, f(x)=sin(5x-6), xC 4 4时,6x 新 -38,言，此时 f(x)在区间 兀 兀 4，4上为增函数；当4时，心)=而($3, xe4,4时,4x-f【-2，/此时在区间 兀 兀4, 4上为增函数；“iiii 兀兀 兀， 11 7rLp 5 兀 7 兀 一，一、一 兀 兀 1 一 I、，、一当°= 6"时,他)=/(06), xC 4, 4时，5x 6e -, 24,此时f(x)在区间7, 4上不是单倜 函数；综上【说明】考查两角和差公式及三角函数的图象与性质.3.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且a不是最大边，已知

4、a2b2= 2bcsinA,则tanA9tanB的最小值为 .【答案】2.【提示】由余弦定理，a2= b2+c22bccosA及 a2b2= 2bcsinA,得 c22bccosA= 2bcsinA,即 c2bcosA= 2bsinA,再由正弦定理，得 sinC 2sinBcosA= 2sinBsinA,即 sin(A+B)2sinBcosA= 2sinBsinA,即 sinAcosB cosAsinB = 2sinAsinB,所以 tanA tanB = 2tanAtanB.tanA9tanA所以 tanB =, 所以 tanA9tanB = tanA2tanA+12tanA+119= 2(

5、2tanA+1) + 2(2tanA+1) -5>2(当且仅当之(2tanA+ 1)=2() 2(2tanA+1)41(2tanA+ 1)x95= - 2.2(2tanA+ 1)【说明】本题考查正弦定理、余弦定理、三角变换及基本不等式.4 .在平面直角坐标系 xOy中，M为圆0自2)2+(丫-1)2=16上任意一点，N为直线l： ax+y+3=0上任意一点, 9若以M为圆心，MN为半径的圆与圆 C至多有一个公共点，则正数 a的最小值为【答案】2.2【提示】因为圆 M与圆C至多有一个公共点,所以 MCW|MN 4,即 MN 笳4,解得 MN >8, 3333又MN的最小值为: 一彳,

6、所以有 a : 一彳岩,a2+1 3a2+1 3 3解得a>242,所以正数a的最小值为2业【说明】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，求解时先要能根据两圆的位置关系，确定MN >8,由3于M, N两点均是任意的，于是只要保证MN的最小值不小于8即可.35 .在平面直角坐标系xOy中，M为直线x= 3上一动点，以 M为圆心的圆记为圆 M,若圆M截x轴所得的弦长恒为4.过点O作圆M的一条切线，切点为 P,则点P到直线2x+y10=0距离的最大值为【提示】设M(3, t),P(x°, y°),因为 OPLPM ,所以"Op 滴M =0,可得 x0

7、2+y02-3x0-ty0=0 又圆M截x轴所得的弦长为4, 所以 4+t2=(x°3)2+(y°t)2,整理得 x02+y026x02ty0+5= 0 由得xo2+ y02= 5,即点P在圆x2+ y2= 5上,于是P到直线2x+ y- 10=0距离的最大值为40+V5= 3V5. ,5【说明】本题应该是通过，联立方程组，把 P的坐标用t表示出来，从而可以建立 P到直线2x+ y10=0距 离关于t的函数，再求函数的最大值即可.但是实际操作时，要注意观察，把，联立方程组后很容易 消去t,得到xo, y0之间的关系，也即得到点P所在的曲线，进而求出距离的最大值，注意从形到数

8、，再从数到形之间的转换.6.数歹Uan中，an = 2n-1,现将 an中的项依原顺序按第 k组有2k项的要求进行分组：(1, 3), (5, 7, 9, 11), (13, 15, 17, 19, 21, 23),，则第 n 组中各数的和为 .【答案】4n3【提示】设数列 an前 n 项和为 S1,则 Sn=n2,因为 2+4+ 2n = n( n+ 1)= n2+ n, 2+4+ +2( n1)=n( n- 1)=n2 n.所以第 n 组中各数的和=Sn2+nSn2-n= ( n2+ n)2- (n2-n)2 = 4n3.【说明】考查等差数列前 n项和.7,已知椭圆C： mx2+y2=1

9、(0<m<1),直线l： y= x+ 1,若椭圆C上总存在不同的两点 A与B关于直线l对称,则椭圆C的离心率e的取值范围【答案】(乎，1).1【提不J设 AB中点P，由中点弦问题可知kAB?koP= m, Kab= 1, koP= m,联立直线l与直线OP可得P(m 1廿；)，由点P在椭圆内m(#7)2+()2<1， 111 1111 1111 1得mC(0, 3).离心率e=小mC (半，1).【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆中点弦问题、点与椭圆位置关系.11*8.已知函数f(x)=(x2)3,数列an是公差不为0的等差数列，若工)(既)=0,则数列an的前1

10、1项和S11为i=1【答案】22【提示】f(x)= (x2)3为增函数，且关于点(2, 0)中心对称，则f(2 + x) + f(2-x)=0.设数列an公差为d,若a6>2, 则 f(a6)>0,f(a5) + f(a7)= f(a6 d) + f(a6+d)>f(2 d) +f(2+d)= 0,即 f(a5)+f(a7)>0,同理,f(a4)+ f(a8)>0,，1111f(a1) + f(an)>0,则 Wf(ai)>0;同理，若 a6<2,则 W(ai)v0,所以 a6=2,所以 Sn=11a6=22.i=1i=1【说明】考查函数的性质及

11、等差数列的运算.M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端*9 .在直角梯形 ABCD 中，AB/CD, / DAB=90°, AB=2CD,点)，若AC= ?AM+ mAn,则1+3的最小值为.人心【答案】：274【提示】：以AB为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，设 B(2, 0), C(1, t), M(2, t), N(x°, y°),因为N在线段BC上，所以y0=±(x0 2),即 y0=t(2-x0),因为 AC = 2AM +(iAN ,所以 1=2 入+00, t=?t+wo,t=云+ ©0=云+42xo),因为30,1所以1

12、 = AH- (2 xo) = W- 2 心由 o =入+ 2 心(1 2 )所以3计4-4,这里 N 科均为正数，所以 4(；+3) = (3 计 4 以 1+ 3) = 3 + 12 + ?+15+ 236 = 27,所以!+值M与最小值m的差为1,则a的值为.【答案】5【提示】由 f (x) = (lnx+1)+a>0在(0, e)上恒成立，即 a> lnx+ 1,得 a>2.当 2Wav3, g(x) =>乡，(当且仅当乎="即上4，尸2时取等号) 人 心 4A |i931 3 一 ,27所以1+ 3的最小值为号. 人心4【说明】本题考查平面向量的线性

13、运算，基底法与坐标法，基本不等式求最值.1 X, 1VxW1,10.已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当一1VXW 3时，f(x)= . . 一 右函数y= f(x) m冈恰有1 | x 2| , 1 < x0 3.10个不同零点，则实数 m的取值范围为 .1 【答案】(-,8-2 ,15)【提示】作出函数 f(x)与y=m|x|的图象.【说明】考查函数的零点，利用分段函数的性质与图象数形结合，分析两个函数图象的位置关系.*11.已知a>0,函数f (x) = (a+ 1)x2-x+ sinx+ a- 2, xC R.记函数f(x)的值域为 M ,函数f (f (x)的值域为N

14、,若M? N,则a的最大值是.【答案】2【提示】f'(x) = 2(a+1)x 1 + cosx, f'(x)'= 2(a+1) sinx>0恒成立,于是f'(x)单调递增，又f'(0)=0,所以当 xv 0 时，f'(x)V0；当 x>0 时，f'(x)>0;即f (x)在(8, 0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增.所以f (x)的最小值为f (0)=a-2,于是f (x)值域为a-2,十8).若a 2W0,则f (f (x)的值域为f (0), +8),即a 2,十),此时m? N成立；若 a 2>0,

15、则 f (f (x)的值域为f (a-2),十),因为 f (a- 2)>f (0) = a-2,故此时有f (a-2), +0o ) a-2, + 8),即 n M,不合题意.因此0vaW2,所以a的最大值是2.【说明】这里需要注意的是遇到f (f (x)的问题，要能分级处理，即先研究内层函数f (x),再把内层函数f (x)看作一个整体，然后研究f (f (x),另外本题还要注意简单的分类讨论.a2*12.已知函数f(x) = xlnx+ ax在(0, e)上是增函数，函数 g(x)= | e a| +£,当xC 0, ln3时，函数g(x)的取大aa ex+ 3,OWxv

16、lna,a2g(x)在0 , Ina上递减，lna, ln3上递增，且 g(0)>g(ln3),所以 M m=g(0)e a十 5,lna< x< ln3，35. a2一g(lna)= a1 = 2，解得 a = 2；当 a>3, g(x) = a- ex + y, g(x)在0 , ln3上递减，所以 M m = g(0) g(ln3) = 2*|,舍去.【说明】考查用导数研究函数的性质，分段函数的最值.对a进行分类讨论，研究 g(x)的单调性与最值.二、解答题1 .某银行柜台有从左到右编号依次为1, 2, 3, 4, 5, 6的六个服务窗口，其中 1, 2, 3,

17、4, 5号服务窗口办理 A类业务，6号服务窗口办理 B类业务.(1)每天12: 00至14: 00,由于需要办理 A类业务的顾客较少，现从 1, 2, 3, 4, 5号服务窗口中随机选择 2 个窗口暂停服务，求“ 1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率；(2)经统计，在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下：排队人数012344人及4人以上概率0.10.160.30.30.10.04求至少2人排队等侯的概率.解：(1)由题意，有如下基本事件( (i, j)表示第i, j号窗口暂停服务)(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3),(2, 4), (2, 5),

18、 (3, 4), (3, 5), (4, 5),因此，共有10个基本事件.记事件A “1号窗口或2号窗口暂停服务”，事件A包括：(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),(2, 3), (2, 4), (2, 5),因此，共有7个基本事件，故 P(A)=%答：暂停服务的三个窗口恰有两个连在一起的概率为乏.(2)记事件“ 6号窗口办理B类业务的等候人数为 k”记为Bk, (kCN), 则事件Bk两两互斥.记事件“至少2人排队等侯”为B,则事件B “排队等侯人数为0或1”,所以 P(B)= P(Bg)+P(B1) =0.1 + 0.16=0.26,所以 P(B)=1-P(B)=

19、 1- 0.26= 0.74.答：至少2人排队等侯的概率为 0.74.【说明】考查古典概型及互斥事件发生的概率.2 . ABC中，AB 启=7庄abc (字abc表示 ABC的面积)(1)若BC=2,求4ABC外接圆的半径；(2)若 B C=4,求 sinB 的值.解：(1)晶 AC=AB AC cosA,4ABC=2AB - AC - sinA,因为 AB - AC=7abc,所以 AB AC cosA=7>< 2AB AC sinA,1即：cosA= sinA,又因为 cos2A+ sin2A= 1, AC(0,力 解得：sinA= 7102, cosA=12.设 ABC外接圆

20、的半径为 R,则2R= -BC- = -2r = 2, sinA 7J77q-所以(2)R=572,即 ABC外接圆的半径为因为 A+B+C= Tt,5,2 .7所以sin(B + C)= sin( it A) = sinA=cos(B + C)= cos(兀一 A)= cosA= 一 0,则 cos2B=cos(B+C)+ (B-C)=cos(B+ C) + j=cos(B+ ©cos sin(B+ C)sin4二2乂一! 7.2X 24=10* 2 10 * 2 一一5.又 cos2B= 1 2sin2B,所以 sin2B =1 cos2B411 十52 =10?又因为 BC(0

21、, Ti),所以 sinB>0,所以 sinB = ¥0.【说明】考查平面向量数量积、三角形面积公式、同角三角函数关系、正弦定理、两角和差公式及二倍角公式等.3.如图所示，某公路 AB一侧有一块空地4 OAB,其中OA=3 km, 间开挖一个人工湖 OMN,其中M, N都在边AB上(M, N不与(1)若M在距离A点2 km处，求点M, N之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖 OMN的面积要尽可能小.试确定 位置，使 OMN的面积最小，并求出最小面积.OB =33 km, /AOB = 90°.当地政府拟在中A, B 重合，M 在 A, N 之间)，且/ MON =

22、 30°.解：(1)在 OAB 中，因为 OA=3, OB=3a/3, Z AOB=90°,所以/ OAB在AOAM 中，由余弦定理得 OM2= AO2+AM22AO - AM - cosA = 7,OA2+OM2 AM2 2 由所以 OM=7,所以 cos/ AOM=一一 = -t,2OA , OM 72J在4OAN 中，sin/ONA=sin(/A+/AON)= sin(/AOM + 90 )= cos/AOM =十.在 OMN中，由MN sin30OM" MN = d7_x1=7sin/ONA，寸 姮 2 47(2)解法 1:设 AM = x, 0<x

23、<3.在AOAM 中，由余弦定理得 OM2= AO2+AM22AO - AM - cosA = x2-3x+9,r ，,OA2+OM2 AM26-x所以 OM = W3x+9,所以 cosZ AOM = -=/,2OA - OM2x2-3x+ 9在OAN 中，sinZ ONA=sin(ZA+Z AON)= sin(Z AOM + 90 )=cos/ AOM =2Vx2-3x+9 .由S =8，彳"Nm 3v3/x2 3x+ 9T-6x2y x2 3x + 911所以 Szomn = 20M ON sin/ MON =/ , yjx2 3x+ 93 ,3. x23x+96x3 ；

24、3(x2 3x+ 9)4(6x)0Vx< 3.令 6-x= t,则 x=6-t, 3<t<6,则 Szxomn=3愉 二 9t+27) = 3p(t-9 + 27)4t4t邛F7- 9）=汽鱼当且仅当1=当，即t=343, x = 6 343时等号成立, Saomn 的最/J、值为 2"2 4 “）.所以M的位置为距离 A点63/ km处，可使 OMN的面积最小，最小面积是 27 km2.解法 2:设/ A0M= 0, 0< 9<-3在 0AM中，由0Msin / OAB0AsinZ 0MA,得 0M=一双32sin(。+ g)在 OAN中，由ON0As

25、in/OAB sin/ONA'得。亡一2±11所以 Szomn = 2OM - ON - sin/MON =23 ,.33 .;312cos 0 22sin(。+ 3)272727. . fst 8 八 8sin 9cos 0+ 8V3cos2 0 4sin2 0+ 4/3cos2 0+ 4V316sin( 0+ 3)cos 027274sin2 叶 4Scos2 时 4gsin(2e+ 3)+4而当2 0+ 3=-,即0=行时，Saomn的最小值为27（2 4峋.所以应设计/ AOM = 12",可使 OMN的面积最小，最小面积是 27（2 4g km2.【说明】

26、考查以解三角形为背景的数学建模应用，灵活选择自变量建立目标函数求解最值.4.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为 Q=4x±7 （x>0）.已知生产此产品的年固定投入为4.5x+ 1万元，每生产1万件此产品仍需再投入 32万元，且能全部销售完.若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150% 与“年平均每件所占广告费的25%”之和.（1）试将年利润 W （万元）表示为年广告费 x （万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q+4.

27、5）万元，每件销售价为32Q4.5义 150% + 1><25%.QQ.年销售收入为(32Q； 4.5X 150% + -x-x 25%) Q = |(32Q+ 9)+ -x.QQ22439191939 3年利润 W= 2(32Q+ 2)+ 4x (32Q + 2) x = 2(32Q +2) -x= 16Q + 4 -x=16 空:-+ 9-3x, (x> 0)x+ 14 4.一4t3 9 348316 t(2)令 x+1 = t (t>1),则 W= 16 j+4 4(t1)=64 -f+34t = 673(f + 4).- ' t> 1 ,华 + 4

28、>2、/牛.4 = 4,即 WW 55,当且仅当=即t=8时，W有最大值55,此时x=7. t 4即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元.【说明】函数应用题，基本不等式求最值.x2 y23.经5,已知椭圆M：7+&=1(a>b>0)的左右顶点分别为 A, B, 一个焦点为F(-1, 0),点F到相应准线的距离为过点F的直线l与椭圆M交于C, D两点.(1)求椭圆M的方程；(2)记 ABD与 ABC的面积分别为 &和S2,求| S 8|的最大值.解：(1)由焦点 F( 1, 0)知 c=1,又ac= 3,所以 a2= 4,从而 b2=a2c2=3

29、. c所以椭圆M的方程为(2)若直线l的斜率不存在，l的方程为x= - 1,此时G = S2, | S &| = 0; 若直线l的斜率存在，设l的方程为y=k(x+1), kw0, C(x1，y1)，D(x2, y2).y= k(x+1),联立 义,金 d 消去 v,得(3+4k2)x2+8k2x+4k212=0, 3i所以x1 + x2 =-8k23+4k2'x1x2 =4k2 123+ 4k2 ,1.此时 |S1 S2|= 2* AB x |y1|阳|= 2|y+ y2|= 21k(x1 + 1)+ k(x2+ 1)| 8k26 12lkl=2网(X1 + x2)+ 24

30、21k|赤 +2=21k|37 =盗.因为kw0,所以|S1 -S2|=12712_ 12>41k1 2 储人 | 4g当且仅当4阳，即k= 土乎时取等号.所以| & S2|的最大值为V3.【说明】考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，最值问题等.突出基本量运算、用基本不等式求最值等方法.x2 y2M, N6.如图，在平面直角坐标系 xOy中，过椭圆C： /+器=1(a>b> 0)内一点A(0, 1)的动直线l与椭圆相交于两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆C所截得的线段长均为 2版(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在与点 A不同的定点B,使得对任意过点B的坐

31、a的动直线i都满足AN=BN?若存在，求出定点y*标；若不存在，请说明理由.解：(i)当l垂直于x轴时，2b=2邛，从而b = 72.当l平行于x轴时，点(0 1)在椭圆C上，所以，2=1,解得a=2.x2所以椭圆C的方程为力(2)设存在与点A不同的定点B满足鬻=BN当l平行于x轴时，AM = AN,所以BM = BN,从而点B在y轴上，设B(0, t);当l垂直于x轴时，不妨设 M(0, 回 N(0, - 72)由AN'BN可得鬲2|=露；彳,解得t=1 (舍去)或t = 2,即B(0, 2).下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l都满足需=需 设直线 l 的方程为 y=kx+ 1

32、, M(xi, yi), N(x2, y2).消去 V,得(1 + 2k2)x2+4kx2=0,y= kx+ 1, 联立x21 y2 d-b 匚=1 ,4 2所以 x1 + x2= 1.2.2I十2 k-2XiX2 = ", 21 + 2k2因为AM 小 +k2Xi|xi| BMVxi2+(yi-2)2AN g2|x2| MH' BN &22+(y2 2)2xi2+ (kxi 1)2 4(1 + k2)xi2 2kxi /x22 + (kx2 1)241 + k2)x22 2kx2 + 1AMBMxiJ (1 + k2)xi2 2kxi+1要证=，只要证=及 ,AN

33、BN|X2| V(1 + k2)x22 2kx2 + 1只要证 xi2(1 + k2)x222%+i) = x22(i + k2)xi22kxi+i), 即证 2kxi2x22kx22xi+x22xi2=0,即证(xi x2)2kxix2(xi+x2) = 0.mac24k c g、AM BM因为2kx仅"仅心2)=2八百袤-下涔。，所以7N = BN-所以存在与点A不同的定点B(0, 2),使得对任意过点 A的动直线l都满足AM = BMAN BN【说明】考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定点的探求等.突出基本量运算、代数式恒等变形、由特 殊到一般等方法.7.已知函数f (

34、x) = exsinx cosx, g (x) = xcosx V2ex ,其中e是自然对数的底数.(1).*、，-_,TT判断函数y=f(x)在(0, 2)内零点的个数，并说明理由;(2).一兀 .兀一. 一一任思xi 0 , 2,存在x2 0 , 2,使得不等式f (xi) + g (x2)> m成立，试求头数 m的取值氾围;(3)若 x>i,求证：f (x) g (x)> 0.一、，一_, TT解：(1)函数y= f (x)在(0,2)上的零点的个数为1,理由如下:因为 f (x) = exsinx cosx,所以 f' x)= exsinx+excosx+ s

35、inx.一、， 一 一 兀因为 xC (0, 2),所以 f <x)>0. ，兀所以函数f (x)在(0, 2)上是单调递增函数TT 兀因为 f(o)= -Ko, f(2)= e2>o,根据函数零点存在性定理得一、，一_,TT函数y=f (x)在(0, 2)上的零点的个数为1.(2)因为不等式 f (xi) + g (x2)>m 等价于 f (xi)> mg (x2),LLd兀 .兀一.一所以任思xiC0, 2,存在x2C0,习，使得不等式f (xi) + g (x2)>m成立，等价于f (x)min > (m g (x) min , 即 f (x)m

36、in > m g (x) max.、r，-一 兀.、，、，.、兀当 xC 0, 2时，f (x) = e sinx + e cosx+ sinx>0,故 f(x)在区间0,上单倜递增,所以x= 0时，f (x)取得最小值1,又 g'x)=cosx xsinx- -ex,由于 0wcosxwi, xsinx>0, ex>,所以g x)<0,故g (x)在区间0, 2上单调递减.因此，x= 0时，g (x)取得最大值一山.所以m0啦I.(3)当 x> I 时，要证 f (x) g (x)>0,只要证 f (x)>g (x),只要证 exsin

37、x cosx >xcosx V2ex,只要证 exsinx + V2ex> cosx+ xcosx,由于 sinx+ J2>0, i+x> 0 只要证一e>cosx . x+1sinx + v2卜面证明x>- i时，不等式 三cosx厂成立.x+ isinx+ , 2axypx令 h(x) = -,则 h'(x)=£t,当 xC (i,0)时,h'(x)v0, h(x)是单调递减;当xC (0, +丐时，h'(x)>0, h(x)是单调递增.所以当且仅当x= 0时，h(x)取得极小值也就是最小值为i,x即一e>i

38、,当 x=0 时，取“=”.x+ i又因为 cosx sinx= M2sin(: 一 x)&啦,当 x= 2k u所以 cosx sinxw 由,即一cosx 厂 & i,当 x= 2k 兀一 sinx+V2所以综上所述，当x> 1时，f (x)g (x)>0成立.【说明】考查函数零点问题、函数不等式的转化与证明，转化与化归的思想。8 .已知函数 f (x)=xlnxx.(1)设g (x)= f (x)+|xa|, aCR. e为自然对数的底数.当a=专时，判断函数g (x)零点的个数； e当xC -, e时，求函数g (x)的最小值. e，、2m -(2)设 Ov

39、mvnvl,求证：f (n)+ m2+ -<。.解:(1)当 a=4时,g (x) = xlnx x+|x+ 刍= xlnx+4, ee1 eg'(x)= 1 + lnx,当 0vxL时,g'(x)v0;当 x>1 时，g'(x)>0; ee因此g (x)在(0, e)上单调递减，在(1, +°° )上单调递增，p 124 2e4112 2 e22又g(/尸了-/= -0，g (e)=-e+e3=-e<0, g =>0，所以g (x)有且仅有两个零点.D ( i) 当 aw1 时，g (x) = xlnxx+ x a=

40、xlnx a, e因为 xC 1, e, g (x)= 1 +lnx>。恒成立， e所以g (x)在1, e上单调递增，所以此时 g (x)的最小值为g (1)=-a. ee e(11) 当 a>e 时，g (x) = xlnxx+ a x= xlnx 2x+ a,因为 xC 1, e, g'(x)= lnx1w。恒成立， e所以g (x)在1, e上单调递减，所以此时 g (x)的最小值为g (e) = a- e. e(iii)当 1V a< e 时, e若 1WxW a,贝U g (x)= xlnx x+ax=xlnx 2x+a, e若 awxwe,贝U g (x

41、)= xlnx x+ x a= xlnx a, 1由(i), (ii)知g (x)在-,a上单倜递减，在a, e上单倜递增, e所以此时g (x)的最小值为g (a) = alna -a,综上有：当aw1时，g (x)的最小值为一1 a; ee,1当-vave时，g (x)的取小值为 alna a; e当a>e时，g (x)的最小值为a-e.、一2x(2)设 h(x)= * 2+1，则当 xC (0, 1)时，h(x) = 2(1 -x22>0,于是 h(x)在(0, 1)单调递增,(1 + x2)2又 0vmvnv1,所以 h(m)vh(n),2m2从而有 f (n)+ m2+

42、i<f (n) + h(n)= n(lnn 1 +。+ i)、 , 、 .,2_设 ©x)=lnx 1 + 2+ i，x> 0则 /I-4=丘¥。, x (1 + x2)2 x(1 + x2)2因此MX)在(0, +8)上单调递增,因为0V nvi,所以(f<n)<(f(1) = 0,即 lnn-1 + 2<0, n2+ 1因此2m2_f +m2：n_ v n(lnnT+T7 )<0，即原不等式得证.【说明】本题(1)中两问考查了函数的零点及带有绝对值问题的分类讨论，第(需要有消元意识，利用函数 h(x) =2xx 2+1的单调性，将所证

43、不等式转化为2)问是二元函数不等式的证明，f(n)+ h(n) v 0是解决该问的关键.9 .若各项均为正数的数列an的前n项和为3,且24&=an+1 (nCN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若正项等比数列bn,满足 b2 = 2, 2b7+b8=b9,求 Tn= ab+a2b2+ anbn.1(3)对于(2)中的Tn,若对任意的nC N ,不等式 入(一1)n<* (Tn + 21)恒成立，求实数入的取值范围；解：(1)因为 4Sn=(an+1)2,且 an>0,由 4a1=(a1+1)2得 a1=1, 又 4sn+1 = (an + 1 + 1)2,所以 4a

44、n+1= 4Sn+1 4Sn= (an+1 + 1)2(an+ 1)2, (an+1+an) (an+1 an) 2(an+1+an)=0,因为 an>0, 所以 an+1 + anw0, 所以an+1 an = 2,所以an是公差为2的等差数列，又 a=1, 所以 an= 2n 1.(2)设bn的公比为q,因为2b7+b8=b9,2+q=q2,所以 q=1(舍)或q = 2,b1 = 1, bn = 2n 1 -记 A=a1b1 + a2b2+ anbn= 1 x 1 +3X 2+5X 22+ (2n 1) 2 n1,2A= 1X2+3X 22+5X 23+-+ (2n- 1) 2n,

45、-A= 1 + 2(2 + 22+ - + 2n1)一 (2n 1) 2n, A= (2n1) 2n1 2(2+22+ 2n)= (2n1) 2n 1 2(2n 2)= (2n 3) 2n+ 3 所以 Tn=a1b+a2b2+ + anbn=(2n 3) 2n+3.1一36(3)不等式 入(一1)井(Tn+21)可化为(1) ,入V (n + 才一.36、_ ,、，36当 n 为偶数时，入v (n 2)+了1，记 g(n)=(n 2) + *.所以入< g(n)min.6_ _6_o9g(n + 2) g(n)= 2 + 2n+1 2n-l2 2门，n=2 时，g(n+2)<g(n

46、), n>4 时，g(n+2)>g(n),即 g(4)g(2), n>4 时，g(n)递增,g(n)min = g(4) = 3,即 K-3.44当 n 为奇数时，X>(2n)卡，记 h(n)=2(n+卡)，所以 X>h(n)max.6 , 6-9h(n + 2) h(n)= 2 ？n+1 + ?nT 2 + ?n ,n=1 时，h (n+2)>h(n), n>3 时，h(n+1)vh(n),即 h(3)>h(1), n>3 时，h(n)递减，h(n)max= h(3)= 3,所以 3综上所述，实数 入的取值范围为(3, 13)4【说明】等

47、差数列与等比数列的判定，基本量计算，数列求和，求数列的最大项与最小项，数列与不等式综合.10 .已知数列an的前n项和为Sn,把满足条件an+iWSn(ne N*)的所有数列an构成的集合记为 M. 1一.(1)右数列an通项为an=”，求证：an C M；(2)若数列an是等差数列，且an+nCM,求2a5 ai的取值范围；4n(3)若数列an的各项均为正数，且an M,数列/中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出 个数列an的通项；若不存在，说明理由.解：(1)因为an = +,所以1n q_1 1 (2) S1=2>e7 1-21一轨，所以 an+1- Sn= (2)n+1

48、- 1 +(2)n = |c2)n- 1 1；- 1 = - 4< 0,13所以 an+1Sn,即an e M.(2)设an的公差为d,因为an+n C M,所以 an+1+n+1w (a+1)+(a2+2) + (an+n) (*)特别的当 n=1 时，a2+2Wa1+1,即 dw1,，、/口n(n 1)n(n+1) -十苗，口 d+ 1 031由(*)得 a + nd+n+1 w na+2 d+2，整理得 一2-n2+一2d )na1 1 > 0,d 1因为上述不等式对一切nCN*恒成立，所以必有 d2一 A。，解得d>-1,又 dw 1,所以 d = 1,于是 (a1 + 1)n a1 1>0,即 (a1 + 1)(n 1)>0,所以 a1+1>0,即 a1>一 1,所以 2a5 a1 = 2(a5 a)+ a= 8d+ a1 = 8 + a1 > 9,因此2a5a1的取值范围是9,十)., ,、，r 一 Si +1 一 c(3)由 an+1W Sn 得 Sn+1 Sn W Sn ,所以 Sn+1< 2Sn ,即7W2,dSn + 1S2 S3、，、/所以Sn+1Sn从而有 Sn+1W S1x 2n= a1x 2n,又 an +1 w Sn,所以 an+2 w Sn+1 w