高考第一轮复习-函数的单调性

1、年 级高三学 科数学版 本人教版（文）内容标题函数的单调性编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性1. 概念：设函数的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么称函数在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，则称在这个区间上是减函数。（3）单调区间：如果函数在某个区间是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做的单调区间。注： 中学单调性是指严格单调的，即不能是或 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如在与上是减函数，不能说在上是减函数。 单调性

2、反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象） （1）定义法例1 证明函数在R上是增函数证：设，则而分子 分母故 得证补：讨论函数的单调性解：设时，对任，设，而即故在单增，同理在单减当时，同理在（）单减，在（1，）单增例2 讨论的单调性解：设，则（1）当时，（2）当时，故在上是减函数，在上是增函数例3 试求函数（）的单调区间分析：考虑到以下分类讨论（1）当时 若，则，增 若，则，减 若，则，减 若，则，增（2）当时 若，则增 若，则增综上所述，时，在或上是减函数在或上是增函数时，在或上是增函数函数范围定义域值域渐近线及

3、奇偶性奇函数单调性在及分别单调递增在及上分别单调递减在上递增，在上递增另法，利用导数（1）若则（2）若，则下证高考分式函数试题类型与解法研究例4 讨论分式函数的单调性（）以下只研究与两种情形对于与可利用对称性得到。解：当时，由利用导数可知在与上为单增函数在与为单减函数当时，由知在与上为增函数，图象如下例5甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全

4、程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为，（2）依题意都为正数，故有当且仅当即时，上式中等号成立 若，则当时全程运输成本最小 若，函数在上是减函数那么当且仅当时，全程运输成本最小综上所述可知，为使全程运输成本最小，当时行驶速度应为；当时，行驶速度应为 例6 在中，现将分别以BC、AC、AB所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为。（1）求（用，表示）（2）若为定值，并令，将T表示为的函数，写出这函数的定义域，并求这函数的最大值（3）当在内变化时，求的最大值。解：（1）设的BC、AC、AB边上的高分别为，由，得，于是得

5、（2）令，则由得代入（*）得当为定值时，即又，于是（当且仅当时，取等号）又由，知，所以函数的定义域为因为在上递增，所以当，即时，T取最大值，此时（3）由于，是减函数，从而当时，取最大值为注：分式函数变通形式，函数的单调性将函数式变形为令，则由单调性，在即上单减在即上单增在即上单减在即上单增（2）复合函数的单调性在复合函数中，设和都是单调函数 若为增函数，则的增减性与相同； 若为减函数，则的增减性与相反。区间单调性 函数ABCD+利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤（1）先确定复合函数的定义域（2）在定义域内分别研究及的单调性（分拆）（3）列表，得结论例7 讨论函数的单调性解：由知定义域令，

6、以下先研究，的单调性令，（0，1）（1，）+而在R上为减函数，故利用复合函数单调性结论知在及上是减函数，在（0，1）及（1，）上是增函数。补：已知在0，1是减函数，则的取值范围是（ B ）A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D. 解：依题意，又故（也可由，（ ）从而）例8 讨论的单调性解：由定义域（）令，而当时是减函数，故（）+故在其定义域（）上是减函数例9 讨论的单调性解：由定义域令，以下先考虑的单调性由结合定义域知它在单减，在上单增+故，在上是增函数在上是减函数例10已知，求的单调区间。解：依题意定义域为R，令，则由知其在上单增，在上单减而知，在单增，在单减又由或；所以单减区间

7、和单增区间与（0，1）（0，1）（1，）+（3）利用单调性性质结论1：两增函数的和在公共定义域上仍为增函数例11 讨论函数的单调性解：定义域 若，与均为减函数故也是减函数 若时由与都是增函数且，是减函数综上，在R上是减函数，此结论用到以下事实。又如讨论的单调性解：利用反比例函数的单调性可知当时，在与上是减函数当时，在与上是增函数结论2：若函数在区间上是减函数，在区间上是减函数，则必是区间（）上的减函数。证：任取且若，则，若，若，则，从而综上，对且，总有得证上例利用定义法对于  结论3：设是单调函数，则其反函数也是单调函数，且与其反函数有相同的单调性。证：不妨设是增函数，设，

8、（用反证法）如果，则因是增函数，故即这与矛盾，故，因此单增例子：对数函数与指数函数对底的不同情形具有相同的单调性。（4）利用函数的图象例12 讨论函数的单调性解：即利用图象（5）利用导数函数在区间上连续，在内可导，且在内 如果，那么函数在区间上单调增加 如果，那么函数在区间上单调减少由此得到确定单调区间的方法 确定函数的定义域 求导数 令解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为 确定区间内导数符号 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这区间内递减。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题。 1. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 2. 设

9、（a，b）、（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x1（a，b），x2（c，d），x1x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（ ）A. f（x1）f（x2） B. f（x1）f（x2）C. f（x1）=f（x2）D.不能确定 3. 下列函数中，在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数y=的单调递减区间是（ ）A.0，+ B.（，0）C.（，0），（0，+） D.（，0）（0，+） 5. 设是上的减函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数f（x）=（2a1）x+b是R上的减函数，则有（ ）A. aB. aC. a>D. a<7. 若函数是定义在R

10、上的增函数；若时，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果是R上的减函数，在上是增函数，则函数的单调性是（ ） A. 在上是增函数，在上是减函数 B. 在上是减函数，在上是增函数 C. 在上是增函数 D. 在上是减函数 9. 已知，则与 （ ） A. 函数值域相同，增减性不同 B. 为相同的函数 C. 函数值域不同，增减性相同 D. 函数值域、增减性都不同二、填空题。10. 已知函数f（x）=4x2mx+1在（，2）上递减，在2，+上递增，则f（1）=_. 11. 二次函数的单调区间，当时，增区间是_，减区间为_。12. f(x)是定义在（0，+)上的递减函数，且f(x)&

11、lt;f(2x3),则x的取值范围是_. 13. 函数的增区间是_，减区间是_。 14. 一次函数是增函数的充要条件是_。 15. 已知函数是在区间上的减函数，则a的取值范围是_。三、解答题。 16. 求证：函数在定义域内是减函数。17. 求证：函数f（x）=x+（a>0）在区间（0，上是减函数. 18. 设是上的增函数，a和b是实数。 （1）证明命题“如果，那么”； （2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论。【试题答案】一、 1. D2. D3. D4.C 5. D6.D 7. B 8. D 9. B二、1021 11. 12 (,3) 13. 14. 15. 三、 16. 因为的定义域为，任取且 且 又因为对任意，都有 所以，即 故函数在R上单调递减 17证明:设0<x1<x2，则x1x2<0,0<x1x2<a.f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+）=（x1x2）+=（x1x2）·>0，即f（x1）&