北京四中-高中数学高考综合复习专题十五向量的概念与运算

1、高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算一、知识网络 二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。3、线段的定比分点线或平移问题。4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的

2、函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。（2）向量的模：向量 的大小（即长度）叫做向量 的模，记作 。特例：长度为0的向量叫做零向量，记作 ；长度为1的向量叫做单位向量.（3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定： 与任一向量平行（即共线）. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 、 作为基底

3、，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得 ，将有序实数对（x,y）叫做向量 的坐标，记作 ；并将 叫做向量 的坐标表示。（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。 （二）向量的运算1、向量的加法2、向量的减法3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果 是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2使 ，这两个不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（4）向量共线的充要条件：（i）向量与非零向量 共线 有且只有一个实数 使 （ii）设 则： 4、向量的数量积（内积）

4、（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，作 叫做向量 与 的夹角。（ii）设两个非零向量 和 的夹角为 ，则把数量 叫做 与 的数量积（内积），记作 ，即 并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）推论设 、 都是非零向量，则（i） （ii） （iii） (3)坐标表示(i) 设非零向量 ，则 (ii)设 (4)运算律（自己总结，认知）四、经典例题例1判断下列命题是否正确：（1）若 的方向相同或相反；（2）若 （3）若 则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；分析：（1）不正确 不能比较方向。（2）不正确 当 时，虽然对任意 ， 都有 不一定平行。（3）不正确 ，故这里的已知条

5、件也包含A、B、C、D四点共线的情形。点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。例2设点O为ABC所在平面内一点（1）若 ，则O为ABC的（ ）A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心（2）若 ，则 为ABC的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、重心（3）若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、重心（4）若动点P满足 ,则点P轨迹一定通过ABC的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、重心分析：（1）借助向量加法分析已知条件：以 、 为邻边作平行四边形OBDC，并设ODBC

6、=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点。 且 由、得 A、O、E、D、四点共线 且 于是由、知O为ABC的重心，应选D(2)由 同理可得OABC,OCAB于是可知，O为ABC的垂心，应选C（3）由已知得 令 ，则 是 上的单位向量，令 ，则 是 上的单位向量。由得： 令 ,则点Q在角A的平分线上 又由知的 与 共线且同向（或 ）动点P在角A的平分线上点P的轨迹一定通过ABC的内心，应选B。（4）注意到 的几何意义， =0又由已知的得： 动点P在BC边的高线上动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，应选C。点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。例3：（1） 成立的充分必

7、要条件为（ ）A、 B、 C、 D、 （2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设 且存在实数m使 ， 则点A分 所成的比为（ ）A、- B、2 C、 D、-2 分析：（1）注意到不等式 ，当且仅当 、 反向或 、 中至少有一个为 时等号成立，由 得 、 反向或 由此否定A、B、C，本题应选D（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标 ”分析切入，主动去沟通“已知”，设 则 (刻意变形，靠拢已知) （目标的延伸） 又由已知得： （已知的变形或延伸） 根据两向量相等的条件由、得： 于是可知，点A分 所成 的比 ，应选 A点评：（i）（1）对任意向量 、 都有 ，其中，当

8、且仅当 同向或 中至少有一个为 时左边的等号成立；当且仅当 反向或 中至少有一个为 时右边的等号成立；当且仅当 中至少有一个为 时，左右两等号同时成立。（ii）对于（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析。例4：设 、 分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点， ，求实数m、n的值。解：由题设知 与 共线 又 代入得： 7（2n-1）=(n+2)(2n+1) (n-3)(2n-3)=0 当 时代入得： m=3当 时代入得：m=6 m=6，n=3或m=3， 点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解

9、题的基本技巧。例5 设 试求满足： （这里O为原点）分析：注意到 的坐标即点D的坐标，可从设 坐标，由（x,y）切入，去 建立关于x，y的方程组。解：设 ，则点D坐标为（x,y）则由已知条件 得： x-2y+1=0 由 得： x+4=3(y-1) x-3y+7=0 于是将、联立，解得： 点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。例6 设向量 满足 （1）若 ，求 与 的夹角；（2）若 的值。解：（1）设 与 的夹角为 ，则 于是由代入得 ： 注意到 O, ,可得结果 （2）解法（着眼于对 等各个击破）一方面由已知

10、得： 又 由、得 注意到 ，当且仅当 ， 同向或 ， 中至少有一个为 时等号成立 由得 与 同向另一方面，又由 知， 与 反向 与 的夹角为0°， 与 的夹角为180°， 与 的夹角为180°原式 =3×1-1×4-3×4=-13解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）： 由已知条件得 解法三（从寻求目标局部的值切入）：原式 同理， 点评：解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势。但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面：（1）利用

11、数值本身（代入）；（2）分别利用数值的绝对值和符号；（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由3+1=4，32+42=52沟通联系等）。例7已知 的夹角为120°，且 ,试求m，n及 与 的夹角。解法一：（利用内积的定义），设 与 的夹角为 ，由 再 再由： 由，得 将代入得： 于是由，得所求 ,n=-4, 的夹角为30°或150°点评1：本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪。注意到所求m、n含在 中，故在求出 、 的值之后，以 的变形为主线展开求索：变形1. 变形2. 变形3. 于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。解法二（

12、利用向量的坐标）：设 ， 与 的夹角为 ，由已知得 由 又x12+y12=8 x22+y22=4 由，解得 或 由，解得 或 将上述 ， 坐标分四次代入 便解得n=-4， , =30°或150°点评2：本解法致力于求 与 的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分胜算。例8 设 的夹角为 ， 分析：此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简 ， 的坐标切入，向三角函数中常见的关系式转化。解： 注意到这里 由、得到 于是由、得 由、得 解得 因此由得 点评：在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将 表为 ,从而为简化 及 的表达式以及简化 的表达式奠定良好的基础。五

13、、高考填题（一）选择题、1、（2005·湖南卷）P是ABC所在平面上一点，且 ，则P是ABC的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心分析：由 同理，ABPC,BCPA 点P为ABC的垂心，应选D2、（2005山东卷）已知向量 ， ,且 ,则一定共线的三点是（ ）AA、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D分析：利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入由题意得 A、B、D三点共线，应选A3、（2005全国卷B）已知点A（ ,1），B（0，0），C（ ，0），设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 ,其中 等于（ ）A、 2 B、 C、-3 D、

14、- 分析：从认知目标切入，由题设易知 与 反向，故 <0 又由三角形内角平分线定理得 即 =3 于是由、得 =-3，应选C4、（2005·北京卷）若 , , ，则向量 与 的夹角为（ ）A、30°B、60° C、120° D、150°分析：令向量 与 的夹角为 ，则 又由 得 于是将已知与代入得 所得 ，应选C5、（2005·福建）在ABC中， ， ， ，则k的值是（ ）。A、5 B、-5 C、 D、 分析：循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k的值，为此我们利用题设条件寻找等量关系切入：由题设知 ，

15、 由此得（2，3）·（2-k,2）=0 2（2-k）+6=0解得k=5,故应选A。6、（2005·重庆）设向量 等于（ ）。A、（1，1） B、（-4，-4） C、-4 D、（-2,-2）分析：循着向量的坐标表示与有关公式得： 原式=-4（1，1）=（-4，-4），应选B7、（2005·重庆卷）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量 与 的夹角为（ ）A、 分析1：（特征分析法）：画出ABC及其中线AD，又将向量 平移到 ,则可见 与 成钝角，而选项中A、B为锐角，D为负角，故只能选C。分析2：（直接法）：由题设D（5，2） 所求

16、两向量夹角应为 ）,应选C8、（2005·浙江） 已知向量 ，满足对任意tR， ,则（ ）A、 分析：从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量 ， 的关系由已知得 整理得 注意到对任意 都成立。 即 根据式检验选项，故选C点评：关于向量的模的不等式，变形转化的基本手段是不等式两边平方，这是本题切入、转化的关键环节。（二）填空题1、（2005·广东卷） 已知向量 分析：注意到两向量平行的充要条件， 由已知条件得 2×6-3x=0，由此解得 x=42、（2005·全国卷C） 已知向量 ,且A、B、C三点共线，则k= 。分析：由A、B、C三点共线切入，向着向

17、量的共线转化A、B、C三点共线 向量 、 共线又 由 、 共线的充要条件得 7（-k-4）=5（k-4），解为 3、（2005·天津卷）已知 =2， =4， 与 的夹角为 ，以 ， 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 。分析：根据向量加法与向量减法的几何意义又知， 、 分别表示上述平行四边形中两条对角线的长度。注意到 与 的夹角为锐角，故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为 又 =4+16-2×2×4cos =12 =2 于是由、知所求为 .4、（2005·湖北卷）已知向量 =(-2，2)， =(5，k),若 不超过

18、5，则k的取值范围为 .分析：由已知得 若 5，则9+（k+2）225由此解得-6k2，故应填-6，25、（2004·浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足 ， , ,则 的值等于 。分析：从认知ABC切入，由32+4252知 ， 原式= = = =-256、（2005·全国卷A）ABC的外接圆圆心为0，两条边上的高的交点为H， =m( + + ),则实数m= 。分析：由题设知，O为ABC的外心，即O是ABC的三边中垂线的交点，因此，以 与 为邻边作平行四边形OADC，则OADC为菱形，且 + = ( + ) + + 的终点必在AC边的高线上 同理， + + 的终点在AB边的高线上 由、得 + + 的终点为ABC的垂心H. m=1点评：从O为ABC的外心切入，认知向量 ，此乃求解本题的关键。三、解答题1、（2005·山东卷）已知向量 =(cos 、sin )和 =( - sin ，cos )， ，且= ,求cos（ + ）的值。分析：这是以向量为载体的三角求值问题，故首先要利用向量的