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一道全国高中数学联赛试题解法探源杨承根（广东省佛山市顺德区第一中学，528300）2009年全国高中数学联赛一试解答题第二题题目如下：已知，（）是实数，方程有两个实根，数列满足（）（）求数列的通项公式（用，表示）；（）若，求的前项和本题中的第1问，与普通高中新课程标准实验教科书数学必修5（人教版）第77页的第6题非常相似，可以说是如出一辙.已知数列中，对于这个数列的通项公式作一下研究，能否写出它的通项公式？教学参考书所提供的方法是，构造一个等比数列，然后利用迭代的方法进行求解，具体解法如下：解：对于递推关系式，设，是方程的两个根，则有：. 通过系数比较可得：容易解得： 或 不难得出 是以3为公比的等比数列，是以-1为公比的等比数列. 两式相加，消去，整理得：. 方程可以看成是 对应的特征根方程，是特征根.因此，2009年全国高中数学联赛一试解答题第二题第1问，也可以采用这样的方法来求解.解： 由已知可得，. 所以 . 由题意知，是方程的两个根.当时， 即，分别是公比为的等比数列.由等比数列性质可得： 两式相减，得：. ， ， ， 即 .当时，由可得，.即.化简可得，即 . 数列是以1为公差的等差数列，. ，综上所述， 通过对这道联赛题解法的探究，我们可以更深刻地认识“源于课本，高于课本”的命题原则.同时也告诉广大教师和学生在

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