数学高二(上)沪教版(平面向量的分解定理与向量的应用)教师版

1、年年级：级： 高二高二辅导科目：辅导科目： 数学数学课时数：课时数：3课课题题平面向量的分解定理与向量的应用教学目的教学目的1.了解平面向量基本定理的证明2.学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。教学内容教学内容【知识梳理】【知识梳理】平面向量分解定理：平面向量分解定理：如果21,ee是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数21, ，使2211eea ，我们把不平行的向量21,ee叫做这一平面内所有向量的一组基。证明唯一性：证明： （1）当0 a时，21000ee （2）当0 a时，假设1122aee ，则有1 122ee =1122ee 111222(

2、)()0ee . 由 于21,ee不 平 行 ， 故1122()0,()0， 即1122,.注意注意： （1）基底不共线；（2）将任一向量a在给出基底21,ee的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，21, 是被a，21,ee唯一确定的数量。特别：.若OP12OAOB ，则121是三点 P、A、B 共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是 1。【典型例题分析】【典型例题分析】例例 1 1、平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且bADaAB ,，分别用ba,表示MCMBMA,和MD.解： 在平行四边形 ABCD 中，, baADABAC , baADABDB ,2121)(

3、2121babaACMA ,2121)(2121babaDBMB )(2121baACMC ，baDBMBMD212121 变式练习：已知OBOA,是不平行的两个向量，k是实数，且)(RkABkAP ，用OBOA,表示OP.解：,ABkAP .)1()(OBkOAkOAkOBkOAOAOBkOAABkOAAPOAOP 例 2、证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=bABCD为菱形|a| = |b|ACBD= (b+a)(ba) =b2a2= |b|2 |a|2=0ACBD证法二：设B(b,0)，D(d1,d2)，则AB= (b,0),AD= (d1,d2)于是AC=AB+

4、AD= (b,0) + (d1,d2)= (b+d1,d2)BD=ADAB= (d1b,d2)ACBD= (b+d1)(d1b) +d2d2= (d12+d22)b2= |AD|2b2= |AB|2b2=b2b2= 0ACBD说明说明 二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.例 3、对任意非零向量 a、b，求证：|a|b|ab|a|+|b|.证明：分三种情况考虑.（1）当 a、b 共线且方向相同时，|a|b|a+b|=|a|+|b|，|a|b|=|ab|a|+|b|.（2）当 a、b 共线且方向相反时，ab=a+（b） ，a+b=a（b） ，利用（1）的结论有|a|b|a+b|a|+|

5、b|，|a|b|ab|=|a|+|b|.（3）当a a，b b不共线时，设OA=a a，OB=b b，作OC=OA+OB=a a+b b，BA=OAOB=a ab b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|a a|b b|a ab b|a a|+|b b|.综上得证.此结论的运用：设22222222),(ccxyxbbyyxyxf，其中Rcb,，求),(yxf的最小值。CABDabO(A)BCD例 4、已知平行四边形中,、是对角线、上的两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形分析： 由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相

6、同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步)证证 设,则,而.所以,四边形为平行四边形.例 5、如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，AB=a a,AC=b b,AH=h h,则BH=h ha a,CH=h hb b,BC=b ba aBHAC,CHAB0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbahAHBC又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点变式练习：已知 O 为ABC 所在平面内一点，且满足|OA|2+ |BC|2= |OB

7、|2+ |CA|2= |OC|2+ |AB|2，求证：ABOC证：设OA=a a,OB=b b,OC=c c,则BC=c cb b,CA=a ac c,AB=b ba aABCDEFH由题设：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，化简：a a2+ (c cb b)2=b b2+ (a ac c)2=c c2+ (b ba a)2得：c cb b=a ac c=b ba a从而ABOC= (b ba a)c c=b bc ca ac c= 0ABOC同理：BCOA,CAOB例 6、已知向量(3, 2),( 2,1),(7, 4)abc ，是否能以, a b 向量为平面内所有向量的一组基

8、底向量？若能，是将c用这一基底向量表示出来，若不能，请说明理由。解析：, a b 不共线，顾一定能以, a b 为平面内的所有向量的基底向量，2cab例 7、(1)有一两岸平行的河流，水速为 1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_方向行驶.解析： 如下图， 为使小船所走路程最短， v水+v船应与岸垂直.又v水=AB=1， v船=AC=2， ADC=90， CAD=45.A BCD12答案：与水速成 135角的(2).如图，用两根绳子把重 10N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上.ACW=150，BCW=120，求 A 和 B处所受力的大小.（忽略绳子重量）ABCWEF解：设 A、B

9、 处所受力分别为 f1、f2，10 N 的重力用 f 表示，则 f1+f2=f.以重力作用点 C 为 f1、f2的始点，作平行四边形 CFWE，使 CW 为对角线，则CF=f1，CE=f2，CW=f，则ECW=180150=30，FCW=180120=60，FCE=90.四边形 CEWF 为矩形.|CE|=|CW|cos30=1023=53，CF=|CN|cos60=1021=5.A 处受力为 53N，B 处受力为 5 N.例 8、已知平面向量13( 3, 1),( ,),22ab1证明：ab；2若存在不同时为零的实数k和t，使2(3) ,xatb ykatb ，且xy ，试求函数关系式( )

10、kf t；3根据（2）的结论，确定函数( )kf t的单调区间。解、 （1）133( 1)022a b 因所以ab（2）21( )(3)(0)4kf tt tt（3）递增区间(1,)、（, 1) ，递减区间（1,0） 、 （0，1）变式练习：已知 M(1+cos2x，1)，N(1，3sin2x+a)(x，aR，a 是常数)，且 y=OMON(O 是坐标原点)求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x)；若 x0，2，f(x)的最大值为 4，求 a 的值，并说明此时 f(x)的图象可由 y=2sin(x+6)的图象经过怎样的变换而得到解：y=OMON1+cos2x+3sin2x+a，得 f(x)

11、 =1+cos2x+3sin2x+a；f(x) =1+cos2x+3sin2x+a 化简得 f(x) =2sin(2x+6)+a+1，x0，2。当 x6时，f(x)取最大值 a34，解得 a1，f(x) =2sin(2x+6)+2。将 y=2sin(x+6)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半， 纵坐标保持不变， 再向上平移 2 个单位长度可得 f(x)=2sin(2x+6)+2 的图象。【课堂小练】【课堂小练】1、判断下列各题正确与否：1若a a=0 0，则对任一向量b b，有a ab b= 0。( )2若a a0 0，则对任一非零向量b b，有a ab b 0。( )3若a a0 0，a

12、 ab b= 0，则b b=0 0。( )4若a ab b= 0，则a a、b b至少有一个为零。( )5若a a0 0，a ab b=a ac c，则b b=c c。( )6若a ab b=a ac c，则b b=c c当且仅当a a0 0时成立。( )7对任意向量a a、b b、c c，有(a ab b)c ca a(b bc c)。( )8对任意向量a a，有a a2= |a a|2。( )2、下列各组向量中，能成为平面内的一组基地向量的是 ( A)A、(2, 1),( 1,2)ee B、(2, 1),(6, 3)eeC、1( 1, ),(6, 3)2ee D、(0,0),( 1,2)e

13、e 3、已知：|a a| =2，|b b| = 3，a a与b b夹角为 45，求使a a+b b与a a+b b夹角为锐角的的取值范围。解：由题设：a ab b= |a a|b b|cos = 3222= 3(a a+b b)(a a+b b) =|a a|2+|b b|2+ (2+ 1)a ab b= 32+ 11+ 3夹角为锐角必得 32+ 11+ 3 068511或685114、i i、j j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且AB= 4i i+ 2j j，AC=3i i+ 4j j，证明：ABC是直角三角形，并求它的面积。解：AB= (4, 2),AC= (3, 4

14、), 则BC= (34, 42) = (1, 2),BA= (4, 2),BABC= (1)(4) + (2)2 = 0BABC即ABC是直角三角形|AB| =522422,|BC| =5)2() 1(22,且B= 90,SABC=5552215、已知a a、b b都是非零向量，且a a+ 3b b与 7a a 5b b垂直，a a 4b b与 7a a 2b b垂直，求a a与b b的夹角。解：由(a a+ 3b b)(7a a 5b b) = 0 7a a2+ 16a ab b15b b2= 0(a a 4b b)(7a a 2b b) = 0 7a a2 30a ab b+ 8b b2=

15、 0两式相减：2a ab b=b b2代入或得：a a2=b b2设a a、b b的夹角为，则 cos =21222 |bbbaba = 606、a a、b b为非零向量，当a a+tb b(tR)的模取最小值时，1求t的值2求证：b b与a a+tb b垂直解：1 |a a+tb b|2= |a a|2+t2|b b|2+ 2t|a a|b b|当t=|222bbabba时, |a a+tb b|最小2 b b(a a+tb b) =a ab b|2bbab= 0b b与a a+tb b垂直【课后练习】【课后练习】1、若 O 是ABC 内一点，OA+OB+OC=0，则 O 是ABC 的A.内

16、心B.外心C.垂心D.重心解析：以OB、OC为邻边作平行四边形 OBDC，则OD=OB+OC.ABCDOE又OA+OB+OC=0，OB+OC=OA.OA=OD.O 为 AD 的中点，且 A、O、D 共线.又 E 为 OD 的中点，O 是中线 AE 的三等分点，且 OA=32AE.O 是ABC 的重心.答案：D2、如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：A2ACAFBC B22ADABAF CAC ADAD AB D()()AD AF EFAD AF EF 其中真命题的代号是AB D（写出所有真命题的代号） 3、如图，在ABC中，4AB ，3AC ，D是边BC的中点，则AD BC _72_

17、4、如图，ABC 的 BC 边的中点为 M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.ABCMABDECF证明：设AM=m，AB=b，AC=c，则 m=2cb ，mm=2cb 2cb =41b2+21bc+41c2=41AB2+41AC2+21ABACcosBAC=41AB2+41AC2+21ABACACABBCACAB2222=41AB2+41AC2+41（AB2+AC2BC2）.AM2=21AB2+21AC241BC2.又BC2=4BM2，AB2+AC2=2（AM2+BM2）.向量章节测试向量章节测试一、选择题一、选择题1已知,ABa BCb CAc ,则0abc是, ,A B

18、C三点构成三角形的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件2已知( , ),na b向量nm，且nm，则m的坐标是（）A.( ,)(, )bab a或B.( ,)abC.( ,)(, )aba b或D.( ,)ba36 3,1,9aba b ，则a与b的夹角是（）A.120B.150C.60D.304在平行四边形ABCD中，若ABADABAD ，则必有()A.0AD B.00ABAD 或C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形5已知11(1, ),(0,),22abcakb dab ，c与d 的夹角为4，则k等于 （）A. 1B.C.12D.16已知下列

19、各式： （1）22aa； （2）2a bbaa ； （3）222()a ba b ； （4）222()2abaa bb ，其中正确的有（）A.1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个7若(1,1),(1, 1),( 1,2),abcc 则（）A.1322abB.1322abC.3122abD.3122ab8已知8,5ABAC ，则BC 的取值范围是（）A.3，8B.（3，8）C.3，13D. （3，13）9已知2,5,3aba b ，则ab等于（）A. 23B.35C.23D.3510设1(2,3), ( 1,5),33ABACAB ADAB 且，则 C、D 的坐标分别是（）A.11(1,)

20、,( 7,9)3B.5(1, ),( 5, 8)3C.1 7( , ),( 5,7)2 3D.8(1, ),( 7,9)311已知向量(3,4),(sin,cos ),ab且/ab,则tan=（ ）.A34B.34C.43D.4312已知向量的夹角为与则若cacbacba,25)(,5|),4, 2(),2 , 1 (（）A30B60C120D15013若| 1,| 2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为( )A.30B.60C.120D.15014若三点(1,1), (2, 4), ( , 9)PAB x共线，则x （）A.1B. 3C.92D.5115已知a、b均为单位向量，它们的夹

21、角为 60，那么|3 |ab=（）.A7B10C13D416 已 知,AD BE 分 别 是ABC的 边,BC AC上 的 中 线 , 且,ADa BEb , 则BC 为（ ）A.4233abB.2433abC.2233abD.2233ab二、填空题二、填空题17若3,ab与a的方向相反，且| 5,_bab则18化简：（1）ABBCCD _。（2）ABADDC _。（3）()()ABCDACBD _。19已知向量( ,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk ，且 A、B、C 三点共线，则 k=20,D E F分别是ABC的边,BC CA AB的中点，且,BCa CAb 给出下列命题12

22、ADab 12BEab 1122CFab 0ADBECF 其中正确的序号是_。21已知12,e e 不共线，1212,akee beke ，当k _时，, a b 共线。22若向量3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，则非零向量a与b的夹角是 _.23 已知平面上三点 A、 B、 C 满足| 3,| 4,| 5,ABBCCA 则AB BCBC CACA AB 的值等于.24已知( ,2 ),( 3 ,2),axx bx 如果a与b的夹角是钝角，则x的取值范围是_。三、解答题三、解答题25如图，OADB是以向量,OAa OBb 为边的平行四边形，又11,33BMBC CNCD，试用, a b 表示,OM ON MN 。26已知向量528),2 ,(),cos,sin2()sin,(cosnmnm且和，求)82cos(的值.27已知平面向量13( 3, 1),( ,),22ab4证明：ab；5若存在不同时为零的实数k和t， 使2(