排列数与组合数

1、排列数与组合数排列数与组合数问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参名去参加一项活动，有多少种不同的选法？加一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 有顺序有顺序无顺序无顺序上午甲甲乙乙甲甲丙丙丙丙乙乙下午乙乙甲甲丙丙甲甲乙乙丙丙问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同

2、学中选出名同学中选出2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参名去参加一项活动，有多少种不同的选法？加一项活动，有多少种不同的选法？236A 有顺序有顺序无顺序无顺序323C组合问题组合问题排列问题排列问题 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素合成一组合成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组

3、合组合组合定义组合定义:排列定义排列定义: : 一般地说，从一般地说，从n n个不同元素中，取出个不同元素中，取出m (m (mnmn) ) 个元素，个元素，按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列排成一列，叫做从，叫做从 n n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m m 个元素的一个个元素的一个排列排列. .思考思考: :排列与组合的概念，它们有什么不同点？排列与组合的概念，它们有什么不同点？ 不同点不同点:对于所取出的元素，排列要对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列排成一列”，而组合却是，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组不管怎样的顺序并成一组”排列排列与元素的顺序有

4、关，而与元素的顺序有关，而组合组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关 想一想想一想:ab与与ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的个元素的子集有多少个子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组

5、，名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景点的游览个风景点的游览顺序顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题排列数排列数:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排）个

6、元素的所有排列的个数，叫做从列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数排列数，用符号，用符号 表示表示如如:那么如何计算呢那么如何计算呢:mnA623A2423434A2434A62323A排列数排列数:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排）个元素的所有排列的个数，叫做从列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数排列数，用符号，用符号 表示表示mnAAn =n(n-1)(n-2) (n-m+1)m,mn 特殊的：特殊的：An =n(n-1)(n-2) 321=n！n称为称为n的的阶乘阶乘组合数组合数:从从

7、n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组）个元素的所有组合的个数，叫做从合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示mnC323C如如:624C那么如何计算呢那么如何计算呢:3122323C6123424C组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm组合数组合数:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有）个元素的所有组合的个数，叫做从组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示mnC判断判断判断判断下列

8、几个问题是不是排列问题下列几个问题是不是排列问题? ?从从班级班级5名优秀团员中选出名优秀团员中选出3人参加上午的团委会人参加上午的团委会1000本不同的参考书中选出本不同的参考书中选出100本给本给100位同学每人一本位同学每人一本1000名来宾中选名来宾中选20名贵宾分名贵宾分别坐别坐120号贵宾席号贵宾席写出从写出从a,b,c,da,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd . abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc a

9、db bda cda dca adc bdc cdb dcb所有的排列为：写出从写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列四个元素中任取三个元素的所有排列.组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb1.1. 某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，个车站，共需要准备多少种普通客共需要准备多少种普通客票？票？应用练习应用练习2.2. 某年全国足球甲级某年全国足球甲级(A(A组组) )联赛共有联赛共有1414

10、队参加队参加, ,每队都每队都要与其余各队分别比赛要与其余各队分别比赛1 1次次, ,共进行多少场比赛共进行多少场比赛? ?问题一问题一某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票种不同的单程飞机票? ?问题二问题二从从1 1，2 2，3 3，4 4四个字母中四个字母中, ,每次取每次取3 3个字母排个字母排成一列成一列, ,共有多少种排法共有多少种排法? ?43= 12432= 24乘法原理：乘法原理：排列数公式：排列数公式：43= 12乘法原理：乘法原理：4

11、32= 24排列数公式：排列数公式：24A34A法二法二 分两步分两步: : 第一步选出正旗手第一步选出正旗手第二步选出副旗手第二步选出副旗手 从甲从甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名优秀团员中选两名同学升丁四名优秀团员中选两名同学升旗旗, ,并指定正旗手并指定正旗手, ,副旗手副旗手, ,共有多少种选法共有多少种选法? ?法三法三 分两步分两步: : 第一步选出两个旗手第一步选出两个旗手第二步确定正副旗手第二步确定正副旗手问题问题 从甲从甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名优秀团员中丁四名优秀团员中选两名同学升旗选两名同学升旗, , 共有多少种选法共有多少种选法? ?组合组合发现发现问题问题2

12、2A24A法一排列问题：甲甲 乙乙 丙丙 丁丁乙乙 丙丙 丁丁丙丙 丁丁甲甲 乙乙甲甲 丙丙甲甲 丁丁乙乙 丙丙乙乙 丁丁丙丙 丁丁 第一步四名同学中第一步四名同学中选出选出两个旗手共有两个旗手共有种不同的方法种不同的方法第二步确定旗手顺序共第二步确定旗手顺序共 种不同的方法种不同的方法A A2 22 2所以总共有所以总共有6 62=122=12种不同的方法种不同的方法探求组合数探求组合数A A4 4 2 2C C4 4 2 2A A2 2 2 2= =A A4 4 2 2C C4 4 2 2A A2 2 2 2= =从甲从甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名优秀团员中选两名同学升旗丁四名优秀团员中选两名同学升旗, ,并指定正旗手并指定正旗手, ,副旗手副旗手, ,共有多少种选法共有多少种选法? ?mnC如何计算如何计算 ? ?组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.6 6C C4 4 2