元积分几何应用与重积分

1、一元积分学的几何应用与重积分计算一、考试内容(一) 一元积分学的几何应用1平面图形的面积、,，bX型区域 D =(x,y) a ex Eb,g(x)乞 y 岂 f (x)的面积为 S= dxdy f (x) 一 g(x)dx -aD由曲线y = f (x), y =g(x)与直线x = a,x = b >a所围图型的面积为 S = f (x) -g(x) dx;Y型区域 D =( x, y) g(y) Mx M f (y), cy Md的面积为 S= dxdy =宀f (y)-g(y)dydbD7型区域 D=(J,二-,g(r) _ f(r)的面积为 S： II :-d ；-df2(&#

2、187;-g2a)dm2、旋转体体积X型区域 D =(x,y) a _x _b,0 _g(x) _y_ f(x)绕x轴旋转一周的y = f (x)亠0, y = g(x)亠0,x =a,x = b亠a所围图形绕x轴旋转一周的由曲线x = f (y),x = g(y)与直线y =c,y =dc所围图型的面积为 S= f(y)-g(y)dy; P.-b 2 2Vx=： . f (x)-g (x)dx ab 22Vx" J f (x) -g (x) dx;Y型区域 D 二(x, y) 0 _g(y) _ x _ f (y),c _ y _ d绕y轴旋转一周的Vyff2(yg2(y)dy;

3、cx = f (y) 30,x =g(y) A0, y =c, y =d Zc所围图形绕 y轴旋转一周的 Vy=xJ f 2(yg2(y) dy;X型区域 D =(x,y) 0 _a _x _b,g(x) _ y _ f (x)绕y轴旋转一周的 Vy=2二 a x f (x) - g(x)dx、by = f (x), y =g(x), x =a, x =b Ka K0所围图形绕 y轴旋转一周生成的 Vy=2兀 J x f (x)-g(x) dx;a、dY型区域 D =( x, y) g(y) -x - f(y),0 _ c _ y _ d绕x轴旋转一周的 Vx=2，i y f (y) -g(y

4、)dy;、dx = f (y), x = g(y), y =c, y =d 亠c 亠0所围图形绕 x轴旋转一周的 Vx=2：t ! y f (y) - g(y) dy；D 二(x, y) a _ x -b, k 一 g(x) 一 y 一 f (x)绕y = k旋转一周的 V =： f (x) -k - g(x) - k dx; a、b22y = f(x) Kk,y =g(x) Kk,x =a,x =b a所围图形绕 y=k旋转一周的 Vrf f(x)k -g(x) k dxL a、bD =( x, y) k 一 a _ x _ b, g(x) _ y 一 f (x)绕x = k旋转一周的 V=

5、2 !a (x - k) f (x) - g(x)dx;注：利用 平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示x, y3、曲线的弧长(数三不要求)b |22L:x 二 f (t),y 二g(t),t a,b的弧长 Lt= L ds 二,f'2(t) g'2(t)dt;laL: P = f (日),濮o(,B的弧长 Lds= jjjf2(日)+ f'2(日)d34、旋转体的侧面积(数三不要求)L: y = f (x) _0,x a,b绕x轴旋转一周的侧面积 Sx=2二f(x)ds = 2二 f (x) 1 f '2(x)dx; L aD =(

6、x, y) a _x _b,0 _g(x) _y _ f (x)绕 x轴旋转一周的 Q =2 二心以)f (x)ds 口&)g(x)ds =2 二 bf(x)j1 + f'2(x) +g(x)j1 + g'2(x)dxa(二)重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：(1 )当积分域D对称于x轴时，令D 是D关于x轴某一侧的部分，则有f (x, y)d匚Df(x,y)2 f(x, y)d；,若f (x,-y) = f (x,y)关于y为偶=“ D'连纽 0,若f (x, y) = f (x, y)关于y为奇上述性质可类似地应用于关于y轴的对称性与函数关于

7、 x的奇偶性(3) 当积分域关于原点对称时，若f ( _x, _y) = _ f (x, y)，则有iif(x,y)d；- 0.D(4) 若将x, y互换，积分域 D不变，(D关于y二x对称)1则 ii f(x,y)d； 丁二 f (y, x)d f (x, y) f(y, x)d 二(轮换性)J JJ JQ J JDD2 D2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：(数一)(1 )当积分域 门对称于xoy面时，令是门关于xoy面某一侧的部分，则有f (x,y,z) 2 f (x,y,z)dv,若f(x, y,-z)二 f(x, y,z)关于z为偶 iiif(x,y,z)dv 广 M0连纟头I 0,

8、若f (x, y,z) = f (x, y, z)关于z为奇上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性(2)若将x, y,z互换，积分域门不变，则! f(x, y,z)dv ! f(x,z,y)dv f(y,z,x)dv = |I (轮换性) QQQ3、记忆重积分算法对 X型区域D =(x,y) a _x_b,g(x) _y _h(x)，对 Y型区域D =(x,y) g(y) ex Eh(y),c z y md，bh(x)g(x)dh(y)f(x, y)dxg(y)f (x,y)d ：； =iadx 、f(x, y)dyDd.f (x, y)d二c dyD对二型区域 D =(&

9、#39;门)3 < g(旳 _h()， Ph(3iif(x,y)d 二二 f(cos,si nr)dd = . g(丁 f (cos,si DD""$、.、. I ''.特别地，dj f(cosdsi nf dd f (cost,si_*1r1对(疑似)柱体区域| =( x, y, z) (x, y) D, g(x, y) _ z _ h(x, y)，D为宀在xoy面的投影h(x,y)则.f (x, y, z)dv dxdy g(x)f (x, y, z)dz，此为先二后一法(数一) Qdg x,yF(y,z) =0对绕z轴(a乞z乞b)的旋转体区域i

10、】，Dz为i 在z处的横截面区域，I x=0b则 ii I f (x, y, z)dv dz 11 f (x, y,z)dxdy，此为先一后二法(数一) Qa特别地，截面面积为已知的立体体积g(DzbbV = A(x)dx dx ! dydz 二 dvaaD(x)对由球面与锥面所围成的区域门，可利用球坐标法计算:i n f (x, y, z)df (r sin cosrsin sin -, r cos )r2sin drd(数一)QQ、典型例题(一)一元积分学的几何应用例1、如图，连续函数y二f(x)在一3,-2, 2,3 上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，x在1-2,0 , 0,2 的

11、图形分别是直径为 2的下、上半圆周，设F(x) f (t)dt，则有(C)(A) F(3) =-3F(-2) (B) F(3) = 5 F(2)( C)F( 3)=卫 F(2)( D)F(3) = -5F(-2)4444提示：F(3) =3F(2) .4 =3F(-2)：'4，故选(C).例2、求由曲线y3 =x2及y-X2在上半平面围成图形的面积A及周长S.1 1解： A =2.° ,2-x2 -x23dx，或 A = 2： 4- .o(x23-x)dx=(5：+2).1OS=2.° 1 (3.y；2)2dy 、2二,2=2(13.13-8).27例3、设D是由曲

12、线y=3x，直线x二a(a 0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx = Vy，则a = 7、 7 .aa提示：Vxy2dx=3：a53 5 , Vy = 2二 ° xf (x)dx = 6二 a7 3 7.例4、求曲线r =4(1 co)和直线v -0门-鳥2所围成图形绕极轴旋转一周的Vx.解:=二 8y2dx-： 0r2sin2 仙cos)yosr 122二 0(1 - t)2(1-t2)(1 2t)dt =160二.例5、f(x)二厂dt位于第一象限的图像与 x轴、y轴所围区域的面积为 52 9 .L寸X提示：面积 a =

13、 J。f (x)dx =xf (x) 0 - ( xf '(x)dx = Jx32 +1>/xdx/2 . 例 6、曲线 y 二;tantdt (0 _ x _ : 4)的弧长 s = In(1.2)._ 4_ 4_ 4提示：s=L j1+y'2dx=(o (1+tan2 xdx J。 secxdx = ln(tanx + secx)04 .例7、过y = x2上一点(a,a2)做切线，问a为何值时所作切线与抛物线y = -x2 4x-1所围区域的面积最小？ 解：易得两曲线交点 x1 - _(a _2) _、2a2 _4a 3,x2 - _(a _ 2) 、2a2 _4a

14、 3x2韦达定理4S 二(-X2 4x -1) -(2ax x2)dx(2a2 -4a 3)32,易知 a =1 时 Smin = 4 3 .3例&设D是位于曲线ytaWa 1, x 一 0)下方、x轴上方的无界区域，(1)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； (2)当a为何值时，V(a)最小？-be 2-be .2提示：(1 )V(a)=二 ° y (x)dx 二二 ° xa*dx =a ； In a(2 ) V "(a) =2兀 a (In a-1)/l n3a=a = e时V (a)取最小值 V (e)二二 e2.1、二重积分计算2 兀s

15、i nx换序 0 dx 0 f(x, y)dy =2、2 2设 f (x, y)连续，则 I d r f(rcosv,rsinRrdr= ° dy yJ f(x, y)dx.3、例4、提示:例5.1 x1.22 _xdx 22 dy dx00 x2 y2 110设区域D由曲线y二sinx, x = _二 对称奇偶性与二重积分的几何意义 计算| = d x2 y2，其中D2 2 2 2 2x y _a ,x y1 二22 dy= 4 dvx2 y2 100/2,y = 1 围成，则1 )dxdy22222小；y < a ,x y - 2ax .解：令 D, = Qx, y)= (

16、x,y) x_ 2ax, y _ Of ,由二重积分奇偶对称性性质知,22a 27： 22a cos j 24'一 3I =2.dx2y2d2二3山 02林- ：3曲 0： d订-8)2 3a3.例 6、设 Dk 是 D = d y)|x2 y2 < 1 的第 k 象限的部分，记I k = JJ(y - x)dxdy，则(B) Dk2a cos0ds(A) I1 . 0( B) I20(C) I 30(D) I 40提示：由轮换性知I1=：I3=：0,由不等式性质知I2>0, I4<0 .2 2例 7、设 D -(x,y):x2 yR2，则(笃 每 d二-d a b(

17、a2 b2)二 R44a2b2(轮换性)例&设f连续,F(u,v) = .Df(x2 y2)，其中DuV为图中阴影部分,;F二 vf (u2)02 - arcsiny1-_arcsin y/y .prcsinyf(X,y)dy .0dyarcsiny f (兀洌 .Vu f “2、uc提示：注意u,v相对于直(极)标为常数，则F u,v dv - bdr = vf (r2)dr .01 11例 9、求 人 x2 +y2 1 d D =(x, y) 0 Ex 兰1,0 兰 y 兰1.解如图，原式二 d(x2 y2 T)d； 2 M (x2 y21)d；二二.；4一1;3.1f(x)1例

18、10、f (x)可导，g(x)为其反函数，f(1) = 0，证明：°dx.0 g(y)dy = 2p xf (x)dx .1 1 1 2提示：令 F'(x)=xf'(x)，则左=xF(x)0 - o xF '(x)dx x df (x)二右.J三重积分计算（仅数一打印）例1、 Il i（x2 y2）dv,其中i】由锥面x2 y2二z2与平面z = a （ a - 0）围成的区域. Q原式a222 兀aa 2dxdy(x2 y2)dz= 0 dj ©"2dz 二x2 y2：a22a2 ：z 3：50dz (x y )dxdy= 0dz0 心。

19、：小二齐a .xy2 <2102-. 二 a04 dI：" (sin2 cos2 ) r2sin2 sin)r2 sin dr2 - 二=0 dr 04sin3 d- ,0cos ：r4dr例2、 ！ !.i(x2 -2y2 3z2)dv，其中门是由球面Q【解1】因区域门具有轮换性，则【解【解【解1】2】3】原式原式:5a10兀5a .102 2 2x y z =1所围成的闭区域对称故原式= (x2 y2)dv2.奇偶J 上-y=2 !.!. dxdy 0x2 -y2 i1"222 2 2111 x dv 二 y dv 二 z dvQQQM (x +y )dv0 迄冬

20、 1 _x2 _y21 b 28(X2 y2)dz=2dr： dz 二0-0- 0 15【解2】原式【解3】原式2212兀J1 -Z38.(X2 y2)dxdy=20dz0 出.03dy2 2152 2 2 2 2 2 ：:.二 蔦 Iii(x y z )dv 爲 c 出 d :,3 3iii . x2 y2dv 由平面Q1=2 dz0x22 二.二1r2.r2.s in ：dr=15z=2,z=8以及曲面S围成，其中S是由曲线* 2,yx=2z=0解:原式例4、计算解:I =例3、计算绕z轴旋转所生成的旋转面2dz I I i x2 y2dxdy 二x2 y2z 2y z82 二-.2! 2

21、 1984dz d，耳1984二.2 0'015-1 dxdydz，其中 0 : Jx2 + y2 兰 z 兰 1 .iii(' x2 y2 z2 _1)dxdydz 亠 iii(1 _x2y2 z2) dxdydz'121(r-1)r2sin dr d" 4d(1-r)r2sin dr (，2-1)0=0=062 2 2例 5、求. -(x,y,z) |x y z 乞 1, z 0上的连续函数 f (x, y, z),使 f (x, y, z)二x y 4z , ! f (x, y,z)dv-3 .Q提示：令 111 f (x, y,z)dv = A，则 A

22、 =4A 11 izdv - 4二=A -4二，A 二QQ三、课后练习2 -0 d.04d；： -1cos '、二04:二-1(一)一元积分学的几何应用1 (A)、曲线y =x(x1)(2x)与x轴所围成图形的面积可表为(C)2 1 2(A) _ o x(x _1)(2 _x)dx(B) o x(x-1)(2-x)dx - 十 x(x-1)(2-x)dx2(D) 0 x(x_1)(2_ x)dxf (x), g(x)夹在a,b之间的平面1 2(C) _ °x(x _1)(2 _x)dx i x(x _1)(2 _ x)dx2 (A)、设f (x) cg(x) vm在区间a,b

23、上连续，则曲线 图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为(B)b就2m - f (x) - g (x) f (x) - g (x)dxb二m - f (x) - g(x) f (x) - g(x)dxao xf '(x)dx 等于(C)bA 兀2m f (x)+g(x)f (x) g(x)dx BbC 二m - f(x) g(x)f(x)-g(x)dx D0, a上有连续的导数，则定积分a(A)曲边梯形ABOD面积(C)曲边三角形 ACD面积4 (A)、由曲线y=4/x和直线 5( A)、假设曲线J : y =1 x分为面积相等的两部分，6( A)、过原点作y(B)梯形ABOD面积(D)

24、三角形ACD面积y = x及y = 4x在第一象限中所围图形的面积为4ln2 .a 0则a = 3=ln x的切线，其与y = ln x及x轴所围区域为D，则D的面积为e 2-1 ,(5e2 -12e 3)二 /6 .2 (0兰x兰1), x轴和y轴所围成区域被曲线 L? : y = ax2D绕x二e旋转一周所得的旋转体的体积为7 (A)、已知曲线y=aJX (a>0)与曲线y = ln Jx在点(Xo,y°)处有公切线，求常数a及切点(x0,y。)；两曲线与x轴所围平面区域的面积A ；该区域绕x轴旋转一周所得旋转体体积 Vx a=1；e,(e2,1) A=e2J6-1；2Vx

25、 -.;: 28 (A)、求曲线y =x22x, y =0,x = 1, x =3所围图形的面积 A，并求该平面图形绕 y轴 旋转一周所得的旋转体体积 Vy ( A =2,Vy =9：)9 (A)、设 y =- x2 -1 , x = 2及x轴所围成的平面区域为 D，则D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为 4- . 3 , D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为2(3、3-1)3 10 (A)、设有曲线y = Jx-1，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图形绕x轴一周所得到的旋转体的表面积S = (11 5 -1)二,6 11 (A)、求y=si nx (0x兰兀)，y=0围成的平

26、面图形绕 x轴旋转所得的曲面面积Sx,并求其绕y轴旋转所得的旋转体体积Vy ( 2- ,2 ln(V .2), 2二2)12 (A)、设位于曲线y=1 . x(1 ln2 x)(e空x ： ：)下方，x轴上方的无界区域为G ,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是二2；4 13 (A)、设L极坐标方程为r =cos3日(一兀/6兰日兰兀/6 )，贝U L所围的区域面积为 兀/12 14 (A)、设曲线的极坐标方程为P = e (a >0)，则该曲线上相应于 日从0边到2兀的一段弧与极轴所围成的图形面积为(e4a： _1). (4a).1 215 (A)、f(x)= 3x dx与x轴、y轴

27、围成图形的面积为1/1 n3.J x1t216 (B)、设f(x)=2e dt，则其所示曲线与直线x=1及x轴，y轴围成的区域绕 y轴Lx1 1旋转一周生成的旋转体体积V=2二oXf(x)dx = (1-e)二17 (A)、求摆线 x =1 cost, y =t sin t一拱(0 兰 t 兰 2兀)的弧长 S = 8 .t2 x = 0+udu18 (A)、设曲线L由<七2确定，则该曲线对应于0WtE1的弧长为.y =_udu19 ( B)、求心形线 r = a(1 +cosT)的全长，其中 a a 0 .( S = 8a )20 (A)、已知曲线的斜率为 Jcosx，则该曲线在0,兀

28、/2中的弧长为2 .21 (A)、求曲线y=jx的一条切线丨，使该曲线与切线 丨及直线x = 0,x = 2所围成图形面 积最小.(I: y = (x 1)2 )22 (A)、设曲线y = ax2(a > 0, x z 0)与y = 1 - ax2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面区域，问 a为何值时，该图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体 体积最大？最大体积是多少？ ( a=4,Vmax =32'、5一 1875)223 (A)、设y = ax与抛物线y = x所围面积为S1，它们与x = 1所围面积为S>,(a c 1) 试确定a，使达到最小S1S

29、2，并求出最小值；a =1 ；2,缶山=(2-'、飞 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx. G 2 1.30e2x x 兰 024 ( B)、设F(X)=二一 ,S表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积.对任何t > 0 ,e , x a0Si(t)表示矩形-4 <lt, 0乞y F(t)的面积.求(I) S(t) = S d(t)的表达式；S(t) =2te_2t, t (0 , + ：).11(II) S(t)的最小值.s() h是最小值2e25 ( B)、设D =(x,y)0兰x兰1,0兰y兰1及l : x + y=t(t兰0)，若S(

30、t)表示D位于直'x?60 兰 x 兰 1线l左下方部分的面积，则；S(t)dt(x 一0)=三一x36 x x 13仆：x岂2.x1x>226 ( B)、曲线y = (ex+e")/2与直线x = 0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x二t处的底面积为F(t),求 s(t)N(t)；计算 tli_m【S(t)/F(t).( 2 1)27 ( B)、已知曲线 L 的方程 X=t2+1, y=4tt2(t0)(I)讨论L的凹凸性；(凸的)(II、过点(-1,0)引L的切线，求切线的方程；(

31、y =x T )(III、求此切线与L (对应于的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.(7 3)(二) 二重积分计算1 11 (A)、设 f(x,y)连续，则-2dx sinx f(x,y)dy 可换序为 0 dy _朴 f (x, y)dx.222x.一、 1 21 2 _ _ _2(A)、设 f 连续，贝U i ?dy 1 y f (x, y)dx 亠 1 dy y f (x,y)dx可换序为 1 dx 你 f (x, y)dy.222223( B)、设 D 由 x y a , x y ax, y =-x 所围,如图所示，将h f (x, y)d二(a>0)D化为极坐标系下的二次积分

32、兀2aI drJ (r co田，rsin日)rdracos -4 (A)、设函数f(u)连续，区域D = (x, y) x-ay _ _xV.2k y愆si n 日)dr.a2Z2y_,则直 fddxd：等于(D)1_x2(A). /Xf(xy)dyf (r2 sin r cosRdr(B)a daf (xy)dx .- 2sin -71(C).0.0(D)5 (A)、设函数f(t)连续，则二次积分02. 2£_y20叽- 2sin -71d，002 2f (r2 sinr cost) rdr2cosJ()rdr=( B)2 0dx.24/22J0dxf(x2+y2)dy01 亠 2

33、x-x222 2y d ；，13 二 cos x y d 二，其DI 3 I 2 I1 .心22f(x2 y2)dy2 4»2- 2 2(A)+y f(x +y )dy4 _x2(C)0dx1.2x»2-6 (A)、设 h = COs x2 y2d=,i 2 二 Cos X2DD中D = 1 x, y x2 y2岂1，则按从大到小的排列次序为7 (A)、设D是xoy面上以(1,1),( 1,1),( 1, 1)为顶点的也区域，D1是D在第一象限的部 分，贝V ! (xy sin y cosx)d；= (A)D(A) 2 iisiny cosxd二(B) 2 11 xyd二(

34、C) 4 ii(xy sin y cosx)d二 (D) 0DDD(B)x2 y2 f(x2 y2)dy (d)8 (A)、如图，正方形 D:|xQ,|yQ被其对角线划分为四个区域Dk(k=1,2,3,4),2设 I k = y tan x dxdy，则 max I k(A)Dk(A) I1(B) I2(C) I3(D) I4y9(A)、(1)1- y sin x2dx = 1 - cos1.00 y X-Xx4 x_3I dx -sin(二 x 2y)dy 亠 1 dx -sin(二 x 2y)dy =4二(二 2).y2-'22J 訂-010(A)、计算11( B)、计算dx J

35、xy In xdy = 1/2 ； (2)、求 J dy Jy j 1dy.0e dx . f2e2寸1 y 2 21rdy.dx = (1 e )兀/8.(极坐标)12 (A)、设 D 由 y=x,y=2x 及 x =兀/2 所围，右 f Acos(2x + y)do =1，则 A = 3 .13 (A)、设D是由直线y=x,y=1,x = 0所围成的平面区域，则人Jy2 xydtr二2/9 .14 (A)、设 D 是由曲线 x=3y,y = 3x,x + y = 8 所围成，则x2dxdy= 4163 .2215 (A)、设区域 D=(x, y)|x 兰x + y 兰2x, y0，则 fo

36、xydxdy = 154.16 (B)、设 D =( x, y) x2 + y2 兰町，I =人 e""旳 sin(x2 + y2)dcr = (1 + *)兀 /2 .17(B)、设极标域 D：0_r_secv,0，则 n r2sin v 1 - r2 cos2vdrd n二-4d3 1618( A)、设 D 由 y 与兴 迈、=0 及 x-.2y =0 围成，则 (x y)cf ；= 415 .D221 + xy19 (A)、设 D:x2+ y2 兰 1,xZ0，则 JJ 22d二兀 In 2/2.(对称奇偶性)''D1+x + y20 (A)、设 D=

37、(x, y) x2 +y2兰 1，则JJ(x2-y)dxdy=兀/2.(轮换性与对称奇偶性)D21 (B)、设D由r =1+cos日(0兰0 <n卢极轴围成，贝U 口xyd= 4/5.(对称奇偶性)D22 (B)、设 D 是由 x2 + y2 =4 和(x +1 ) + y2 =1 所围，求 J. (Jx2 + y2 + y)dcr .提示：16(3二-2) .9，注意对称奇偶性与分块性.23 ( B)、设 f (x)连续，求 I =人 y【1 + xf(x2 +y2)db , D 由 y = x, y = 1 与 x = 1 所围.提示：-2；3，注意对称奇偶性与分块性.1 124 (

38、B)、设 f (x, y)连续，则 Jdxf (x,y) - f (x, y)+1dy =丄.(对称奇偶性)25 (A)、” 2丄2X + y )d b = 8/3.(轮换性与对称奇偶性)Hy <26(B)、27(A)、0fxjd"14 (分块性) 设28(B)、29(B)、D =( x, y) 0 Ex 兰2,0 兰 y 兰2，则 Jjjxy 1dxdy = $2 + ln 2 .(分块性) D:0WxS,0yS，计算 ffD|cos(x + y)dyf (x)连续，求证:30(B)、31(B)、32(A)、1 y 211一dy f x -2x 1 dxf x dx .(换序与换元)-002 ' 0f