圆地证明与计算

1、圆的证明与计算专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的 发挥有重要的影响，所以解决好此题比拟关键。圆的有关证明一、圆中的重要定理：(1) 圆的定义：主要是用来证明四点共圆(2) 垂径定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等(3) 三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等(4) 圆周角性质定理与其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等 (5) 切线的性质定理：主要是用来证明一一垂直关系 .(6) 切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线 (7) 切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等 :弧、弦、圆心角、圆

2、周角等都可以通过相等来互相转化这在圆中的证明和计算中经常用到二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第 2问主要是与圆有关的计算： 求线段长或面积；求线段比；求角度的三角函数值实质还是求线段比。知识点一：判定切线的方法：1假如切点明确，如此“连半径，证垂直。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、 勾股定理证垂直；2假如切点不明确，如此“作垂直，证半径。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径过圆上一点；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦

3、、角之间的相互转化，要善于进展由此与彼的联想、要总结常添加的辅助线 例：方法一：假如直线I过o O上某一点A,证明I是OO的切线，只需连 OA证明0皿I 就行了，简称“连半径，证垂直"，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在 ABC中，AB=AC以AB为直径的O O交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与O 0相切.例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且 PA=PD. 求证：PA与O 0相切.证明一：作直径AE连结EC./ AD是/ BAC的平分线，/ DAB2 DAC./ PA=PD/ 2=Z 1 + / DAC./ 2=Z B

4、+Z DAB/ 仁Z B.又 tZ B=Z E,/ 仁/ E/ AE是O O的直径， ACL EC, / E+Z EAC=90./ 1+Z EAC=90.即 OAL PA. PA与O O相切.证明二：延长AD交O O于E,连结OA OE./ AD是Z BAC的平分线， BE=CE OEL BC. Z E+Z BDE=90./ OA=OE Z E=Z 1./ PA=PD Z PADZ PDA.又 tZ PDA=Z BDE, Z 1+Z PAD=90即 OAL PA. PA与O O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3 如图，AB=AC AB是O O的直径，O

5、 O交BC于D, DML AC于 M上.求证：DM与O 0相切.例4 如图，：AB是OO的直径，点 C在O O上，且/ CAB=30, BD=OB D在AB的延长线求证：DC是O O的切线例5 如图，AB是O O的直径，CD丄AB,且OA=OD OP.求证：PC是O O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点， AG交BD于E,交CD于 F.求证：。丘与厶CFG的外接圆相切分析：此题图上没有画出 CFG的外接圆，但厶CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中 点，为此我们取 FG的中点O,连结OC证明CELOC即可得解证明：取FG中点O,连结OC./ ABCD是正方形， BCL

6、CD CFG是 Rt / O是FG的中点， O是Rt CFG的外心./ OC=OG/ 3= / G,/ AD/ BC / G=Z 4./ AD=CD DE=DE/ ADE玄 CDE=45, ADEA CDESAS4=Z 1, / 仁/3./ 2+/3=90°,/ 1 + / 2=90°. 即 CE!OC. CE与厶CFG的外接圆相切方法二：假如直线I与O O没有的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作 OAL I, A（一般用于函数与几何综为垂足，证明 OA是O O的半径就行了，简称："作垂直；证半径 合题例1:如图，AB=AC D为BC中点，O D与AB切于E

7、点.求证：AC与O D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例 2 :如图，AC, BD与O O切于 A、B,且 AC/ BD,假如/ COD=9°求证：CD是O O的切线.E为垂足.证明一：连结 OA OB作 0吐CD AC BD与O O相切， ACL OA BDL OB./ AC/ BD,/ 1+ / 2+Z 3+Z 4=180°./ COD=90,/ 2+Z 3=90° , / 1 + / 4=90°./ 4+Z 5=900. Z 仁 Z 5. Rt A

8、O3 Rt BDO. AC OC"OB OD./ OA=OB AC OC"OA OD.又/ CAOZ COD=90, AOSA ODC Z 仁Z 2.又 OAL AC, OEL CD, OE=OA. E点在O O上. CD是O O的切线.证明二：连结OA OB作0吐CD于E,延长DO交CA延长线于F.AC, BD与O O相切， AC丄 OA BD丄OB. AC/ BD,/ F=Z BDO.又 OA=OB AOFA BOD AAS OF=OD. / COD=90, CF=CD / 仁/ 2.又 OAL AC, OEL CD OE=OA. E点在O O上. CD是O O的切线.

9、证明三：连结AO并延长，作 OEL CD于 E ,取CD中点F ,连结OF. AC与O O相切， ACL AO. AC/ BD, ACL BD. BD与O O相切于B , AO的延长线必经过点 B. AB是O O的直径.AC/ BD, OA=OB CF=DF OF/ AC,/ 仁/ COF./ COD=90, CF=DF1 OF CD CF .2/ 2=Z COF./ 仁/ 2./ OAL AC, OEL CD, OE=OA. E点在O O上. CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/1 = 7 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/仁77仁/ 2,这种方法必需先证明 A、OB三

10、点共线.课后练习:1如图，AB是OO的直径,BCL AB AD/ OC交O O于 D 点，求证:CD为O O的切线;2如图，以Rt ABC勺直角边AB为直径作O O交斜边AC于 D,点E为BC的中点,EB连结DE求证：DE是O O的切线.3如图，以等腰厶 ABC的一腰为直径作O 0,交底边BC于D,交另一腰于 F,假如DE1AAC于 E或E为CF中点，求证：DE是O 0的切线.4如图，AB是OO的直径，AE平分/ BAF交O O于点E,过点E作直线EDLAF,交AF的延长线于点 D,交AB的延长线于点 C,求证:CD是O O的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比， 通常与勾股

11、定理、垂径定理与三角形的全等、 相似等知识 的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察线段间的关系， 选择定理进展线段或 者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进展弧、弦、 角之间的相互转化， 找出所求线段 与线段的关系，从而化未知为，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：(1)构造思想：如：构建矩形转化线段；构建"射影定理"根本图研究线段任意 两条线段可求其它所有线段长；射影定理：所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。 一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。由三角形相

12、似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。2公式Rt ABC中 , / BAC=90 ,AD是斜边BC上的高，如此有射影定理如下：(1)(AD) ;=BD -DC, (AB) ;=BD - BC ,(AC) ;=CD - BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD可用面积来证明)0-DC 构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； 构造勾股定理模型线段长度； 构造三角函数（有角度的情况； 找不到，找相似2方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系， 特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。3建模思想：

13、借助根本图形的结论发现问题中的线段关系， 把问题分解为假如干根本 图形的问题，通过根本图形的解题模型快速发现图形中的根本结论， 进而找出隐藏的线段之 间的数量关系。典型根本图型:根本结论有:图形1 :如图1: AB是O O的直径，点E、C是OO上的两点，1在“ AC平分/ BAE ; “ADL CD ; “ DC是O O的切线"三个论断中，知二推一。BCE的半弦EF3如图4：假如CK!AB于 K,如此:1 CK=CD BK=DE CK= BE=DC AE+AB2BK=2AD2"ADQ" ACB aC=AD> AB4在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGL

14、CD于E时如图5，如此:1 2 2 DE=GB DC=C； AD+BG=AB AD? BG DG 2=DC4图形2:如图：Rt"ABC中，/ AC昏90°。点O是AC上一点，以0C为半径作O 0交AC于1在“ B0平分/ CBA ; “ BO/ DE ; “ AB是O O的切线"；“ BD=BC。四个论断中，知 一推三。1 o2【 G是"BCD的内心：CG=GD ；"BC®" CDE BO? DE=COCEcE;23在图1中的线段 BC CE AE AD中，知二求四。AE 14如图3，假如 BC=CE如此： =tan Z A

15、DE BC AC AB=3: 4: 5 ;在AD 2、中知一推二设 BE、CD交于点H,如此BH=2EHCEB图形3：如图：Rt"ABC中,Z ABC90° ,以AB为直径作O 0交AC于 D,根本结论有:如右图：1DE切O 0 E是BC的中点；2假如 DE切O 0,如此： DE=BE=CED、O B、E四点共圆/ CED2 /ACD- CA=4BE decdbcRBDBA图形特殊化：在1的条件下如图1: DE/ AB " ABC " CDE是等腰直角三角形;连AD产生母子三角形。图形5:以直角梯形 ABCD勺直腰为直径的圆切斜腰于 E,根本结论有图iC

16、1如图 1 :AD+BGCD / COD/ AEE=90° OD平分/ ADC或 OC平分/ BCD;注：在、与“ CD是O O的切线四个论断中，知一推三AD- BC=丄 AB 2=R2；42如图2，连AE CO如此有：CO/ AE CO AE=2（与根本图形2重合）3如图3，假如EFlAB于F,交AC于 G如此：EG=FG图形6:如图：直线PRLO O的半径0B于E,PQ切O O于 Q BQ交直线 PC于 R。根本结论有:1PQ=PR （ " PQRi等腰三角形）;2在“ PR! OB、“PQ切O O'、“PQ=PR 中，知二推一32PR- RE=BR RQ=BE

17、 2R=aB图形7：如图，"ABC内接于O 0, IABC的内心。根本结论有:1如图 1, BD=CD=IP DI2= DE- DA1/ AIB=90° + / ACB15 / 2422如图 2,假如/ BA(=60°，如此:BD+CE=BC.图形8: , AB是O O的直径，C是中点，CDL AB于 D BG交 CD AC于E、F。根本结论有：11CD= BG BE=EF=C；GF2DE21 BG(反之，由CD= BG或BE=EF可得：C是 中点)22OEAF OE/ AC " ODE" AGF23BE- BG=BD BABC=CG=AG(4

18、)假如D是OB的中点，如此：" CEF是等边三角形；X例讲解:例题1： ABP中，/ ABf=90°,以AB为直径作O O交AP于C点，弧CF =CB，过C作AF 的垂线，垂足为 M MC的延长线交 BP于D.1求证：CD为O O的切线；2连BF交AP于E,假如BE=6, EF=2,求 匡 的值。 AF2过D点作DEL AB, E为垂足，连DG ，士求 的值。DBAD交 BC于 G, CG3, DE=4,例题2 :直角梯形 ABCDK/ BCD90°, AB=AD+BCAB为直径的圆交 BC于E,连OC BD 交于F.求证：CD为O O的切线BE 3 bf假如-，

19、求-的值例题3:如图，AB为直径，PB为切线，点C在O O上，AC/ OP1求证：PC为O O的切线。C例题42009调考：如图， ABC中，以边BC为直径的O O与边AB交于点D,点E为的中 点，AFABC的角平分线，且 AFL EG1求证：AC与O O相切；2假如 AC= 6, BC= 8,求EC的长家庭练习：1如图，Rt ABC以AB为直径作O O交AC于点D,过BD=DAe的垂线，F为垂足.1求证：DF为O O的切线；2假如DF=3,O O的半径为5，求tan BAC的值.2.如图，AB为O O的直径，C、D为O O上的两点，述D=作直线BC的垂线交直线 AB于点E, F为垂足.1求证

20、：EF为O O的切线；2假如 AC=6, BD=5，求 sinE 的值.3.如图，AB为O O的直径，半径 OCL AB D为AB延长线上一点，过 D作O O的切线, E为切点，连结 CE交AB于点F.1求证：DE=DF2连结 AE假如 OF=1, BF=3,求tan A的值.4.如图，Rt ABC中，/ C=90°, BD平分/ ABC以AB上一点O为圆心过 B D两点作 O O, O O交AB于点一点E, EF丄AC于点F.1求证：O O与AC相切；2假如 EF=3, BC=4,求 tan A 的值19 / 24DEL AC于 E.5.如图，等腰 ABC中, AB=AC以AB为直径作O O交BC于点D,1求证：DE为O O的切线；2假