圆锥曲线专题

1、圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘一 直线与圆锥曲线的位置关系(1) 从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2) 从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.1. 设直线I的方程为Ax + By+ C= 0,圆锥曲线方程f(x, y) = 0.由 AX+ By C 0，消元。如消去y后得ax2 + bx + c= 0.f(x,y) 0 若a = 0，当圆锥曲线是双曲线时，直线I与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，

2、直线I与抛物线的对称轴平行或重合. 若a丰0,设A= b2-4ac.a. A 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b. A = 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c. A v 0时，直线和圆锥曲线没有公共点.2. “点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是 “点差法具有不等价性，即要考虑判别式A>0是否成立. 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1) 斜率为 禺的直线与圆锥曲线交于两点Pi(xi, yi), P2(X2, y2)，则所得弦长IP1P2I'1 + k |xi x2|、i + 0yi y2|=或 |Pi P2| =.(2)

3、 当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式).4 圆锥曲线的中点弦问题x2 y2遇到中点弦问题常用 “根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆二+ 2 = i中，以P(xo,a2 b2b2xox2 y2yo)为中点的弦所在直线的斜率k一臥；在双曲线a2-i中，以P(xo,yo)为中点的b2xo弦所在直线的斜率“臥；在抛物线宀2px (p>0)中，以P(x0, yo)为中点的弦所在直线P的斜率k =.yo题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例i】 已知抛物线 C： y2 = 4x,过点A( 1,0)的直线交抛物线 C于P、Q两点，设AP =:AQ.(i)若点P关于x

4、轴的对称点为 M，求证：直线 MQ经过抛物线 C的焦点F;i i若圧3,;，求ipqi的最3 2大值.思维启迪(i)可利用向量共线证明直线MQ过F; (2)建立|PQ|和入的关系，然后求最值.解析:(i)证明 设 P(xi, yi), Q(X2, y2), M(xi, yi).TAP =；AQ ,.xi + 1 = X2 + 1) , yi=“2 ,.y1= *y2, y2'= 4xi, y2 = 4X2, xi = X2 ,-'.Z：X2+ 1 = ?(X2 + 1),.X2=I，X1 =入又 F(1,0),f.MF = (1 X1, y1) = (1 入 2)1=G 1fy

5、2 = FQ,1 10 1 当HF= 7，即=3时,112|PQ|2有最大值,|PQ|的最大值为.直线MQ经过抛物线C的焦点F.1解由(1)知X2= F， X1 = F得 X1X2 = 1 , y1 y2= 16X1X2 = 16 ,'/y1y2>0 , -'-yry2 = 4,=X2 + X2 + y1 + y2 2(X1X2+ y1y2)1 1=廿 F2+ 4 廿 F 121=甘 F+ 2 2 16 ,探究提咼圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面 几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角

6、函 数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.变式训练1(2012 四川)如图，动点 M与两定点A( 1,0)、B(1,0)构成 MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程.(2)设直线y = x + m (m >0)与y轴相交值范围.解 设M的坐标为(x, y)，当x = 1时，直线MA的斜 率不存在；此时，MA的斜率为 ，MB的斜率为x+1x 1y y由题意，有 = 4.化简可得，4x2 y2 4 = 0.x + 1 x1故动点M的轨迹C的方程为4x2 y2 4 = 0(x丰1且x工一1).由y= x + m ,

7、4x2 y2 4 = 0消去 y,可得 3x2 2mx m2 4 = 0.(*)对于方程(*)，其判别式 A= ( 2m)2 4 x 3( m2 4) = 16 m2+ 48>0 ,而当1或一1为方程(*)的根时，m的值为一1或1.结合题设(m >0)可知，m >0且m丰1.设Q、R的坐标分别为(xq, yo), (xr, yR),则xq , xr为方程(*)的两根.3因为 |PQ|<|PR|，所以 |xq|<|xr| , xq =Xr=m + 2 m2+ 33所以|PR|PQ|xr|PR| xr 5<3 且=丰xq' |PQ| xq 3综上所述,|

8、PR|55而的取值范围是1,3 U 3，3.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题3【例2】已知椭圆C经过点A 1，2，两个焦点为(1,0)、(1,0) (1)求椭圆C的方程;(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.思维启迪可设直线AE的斜率来计算直线 EF的斜率，通过推理计算消参.解析x2y2解由题意，c = 1，可设椭圆方程为 市+ b= 1.1 93因为A在椭圆上，所以口 +石=1，解得b2 = 3 4，b2 (舍去),x2 y2所以椭圆方程为4 + 3 =1.3证明设直线AE的方程为y = k(x 1) + ，x2

9、y2代入+ _ = 1.4 33得(3 + 4k2)x2 + 4k(3 2k)x + 4 " k 2 12 = 0.设 E(xe, yE), F(xf, yF).3因为点A 1 , 在椭圆上,34 k 2 122所以xe=3 + 4 k23営心厂“又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以一k代替k,可得xf =3 + 4 k23yF= kxF+ 2 + k , 所以直线ef的斜率yF yE kEF=xf xek xe+ xf + 2k 1xf xe21即直线EF的斜率为定值，其值为-.2探究提咼求定值问题常见的方法有两种：(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关

10、.(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3变式训练2 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P 1 ,-且离心率为12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线1: y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线 I过定点，并求出该定点的坐标.x2y2(1) 解设椭圆方程为 二+"7= 1 (a>b>0),a2 b2c 1由 e=2，得 a=2c，.a2 = b2+ c2 ,.b2 = 3 c2,则椭圆方程变为y23 c2=1.3又椭圆过点p 1, 2，将其代入求得c2

11、=1,x2 y2故a2 = 4, b2= 3，即得椭圆的标准方程为+_= 1.43y = kx + m ,证明设 A(xi, yi), B(X2, y2),联立x直线I过定点，定点坐标为7，0.题型三圆锥曲线中的探索性问题【例3】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点. y27+亍=i，m2 3>0 ,= 64 m 2k2 163 + 4 k28mkxi+ X2 =3 + 4k2'4 m2 3X1 X2 =r3 + 4k2cc 3 m2 4k2又 yiy2 = (kxi + m)(kx2 + m)= k2xiX2 + mk(xi + X2)+

12、m2=.椭圆的右顶点为 A2(2,0) , AA2丄BA2,/(xi 2)(X2 2) + yiy2 = 0,/yiy2 + xiX2 2(xi + X2)+ 4 = 0 ,3 m2 4k24 m2 3 I6 mk/2+2+2 + 4 = 0,3 + 4k23 + 4 k23 + 4 k22k7m2+ I6mk + 4k2= 0，解得 mi = 2k, m2 = 由，得 3 + 4k2 m2>0 ,当mi = 2k时，I的方程为y= k(x 2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾.2k22当m2=丁时，I的方程为y = k x 7，直线过定点 7，0，(1) 求椭圆C的方程；(2) 是否

13、存在平行于 OA的直线I,使得直线I与椭圆C有公共点，且直线 OA与I的距离等 于4 ?若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.思维启迪可先假设I存在，然后根据与 C有公共点和与 OA距离等于4两个条件探求.解析x2y2解方法一 (1)依题意，可设椭圆C的方程为壬+臣=1(a>b>0)，且可知其左焦点为F' ( 2,0).从而有C= 2,C=2,解得2a=|AF|+ |AF 'I = 3 + 5 = 8,a= 4.又 a2 = b2+ c2,所以 b2= 12 ,x2 y2故椭圆C的方程为和+秒=1.3x2 y2 和+匸=1，得 3x2 + 3tx + t2

14、12 = 0.假设存在符合题意的直线I,设其方程为y = -x +1. y=2x+1，因为直线I与椭圆C有公共点,所以 A= (3t)2 4 X 3 X (t2 12) > 0 ,另一方面，由直线 OA与I的距离d = 4，得=4，解得t=± 213.由于土 2.13? 4 ,：3，4J3，所以符合题意的直线 I不存在.x2 y2方法二 依题意，可设椭圆 C的方程为+ 2 = 1(a>b>0),a2 b24902 + 计 1,且有a ba2 b2 = 4.从而a2= 16.x2 y2所以椭圆C的方程为 += 1.16 12同方法一.探究提咼解决直线与圆锥曲线位置关系

15、的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确.变式训练3(2012 江西)已知三点0(0,0) , A( 2,1) , B(2,1),曲线C上任意一点 M (x,fff fy)满足 |MA + MB | = OM (OA + OB) + 2.(1)求曲线C的方程；动点Q(X0, y0)( 2<X0<2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为I问：是否存在定点P(0 , t)(t<0)，使得I与PA, PB都相交，交点分别为 D ,己，且厶QAB与厶PDE的面积之比是常数？若存在，求 t的值；若不存在，说明理由.解 (1)由MA = (- 2- x

16、,1 - y), MB = (2 - x,1 - y),ff|MA + MB|= ,- 2x 2+2- 2y 2,ff fOM (OA + OB) = (x, y) (0,2) = 2y,由已知得- 2x 2 +2 - 2y 2= 2y + 2,化简得曲线C的方程：x2= 4y.假设存在点P(0 , t)(t<0)满足条件,t - 1则直线PA的方程是y = hx+ t,1 -1PB的方程是尸Tx+t.xox0x2曲线C在Q处的切线1的方程是y =异蔦，它与y轴的交点为F 0，-4 .xo由于一2<X0<2，因此一1<；<1.t 11X0 t 1当一1<t&

17、lt;0 时，一1<一厂 < -2，存在 X0 ( - 2,2)，使得 2 =厂1 -1 X0即I与直线PA平行，故当1<t<0时不符合题意.t - 1X0当 t < - 1 时，-W 1< ,所以I与直线PA, PB 一定相交.t - 1y= 丁 x+t,分别联立方程组X0X2X0X2y= x2 4y= 2X-4，x0 + 4t解得D , E的横坐标分别是x尸厂亍x0 + 4tXE 2X0+ t 1，X0 + 4t则 XE-XD = (1 t)2'X2 又鬥一厂t,1 i t有 SaPDE= _ |FP| |xe XD| =2 8X2 + 4t 2

18、t 12 X0，1又 Sa QAB = - 4 2X21 44 X2Sa QAB于是Sa PDEX0 4 X2 t 12X2 + 4t 24X0 4 + t 12x0 + 4 t 121 tX0 + 8tx2+ 16 t2Sa QAB对任意xo ( 2,2)，要使 为常数,Sa PDE4 t 12 = 8t,即只需t满足4 t 12= 16t2.Sa QAB解得t =1.此时=2 ,Sa PDE故存在t=1,使得 QAB与厶PDE的面积之比是常数 2.1该直线恒过一个定点A（2, 0）.19.圆锥曲线中的函数思想思想与方法2 2x y典例：(12分)已知椭圆+?= 1上的两个动点 P, Q,设

19、P(xi, yi), Q(X2, y2)且xi + X2 =2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;(2) 设点A关于原点0的对称点是B,求|PB|的最小值及相应的 P点坐标.审题视角(1) 引入参数PQ中点的纵坐标，先求 kpQ，利用直线PQ的方程求解.(2) 建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值.规范解答(1)证明tP(X1, y1), Q(X2, y2)，且 X1 + X2 = 2.x 当X1 = X2时，线段PQ的中垂线也过定点 A(2，0).+ 2y2= 4y1 y21 X1 + X2当 X1 r 时，由 2+ 2y2= 4，得 X1； = 2 応y1

20、 y21设线段PQ的中点N(1 , n),.kpQ =X1 X22n线段PQ的垂直平分线方程为 y n = 2n (x 1),(2x 1)n y= 0,1该直线恒过一个定点A(；, 0).1综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点 A(, 0).解 由于点B与点A关于原点O对称,1 故点 B(-2，°).2 < xi < 2 , - 2 < X2W 2 ,.xi = 2 X2 0,2,1179円2十+2)2+y1=尹+1)2+44， 当点 P 的坐标为(0 , ± - 2)时,|PB|min = 2.温馨提醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及

21、最值问题求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象 求最值.(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ的中点.第二个易错点是，易忽视P点坐标的取值范围.实质上是忽视了椭圆的范围思想方法感悟提高方法与技巧1 .解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程y =x2 y2kx + c代入椭圆方程 二+二=1整理出关于x(或 y)的一元二次方程 Ax2+ Bx+ C= 0 , A= B2a2 b

22、24AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为一 1 + k2；A|A|).2圆锥曲线综合问题要四重视：(1) 重视定义在解题中的作用；(2) 重视平面几何知识在解题中的作用；(3) 重视根与系数的关系在解题中的作用；(4) 重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用失误与防范1 在解决直线与抛物线的位置关系时， 要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况2 中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 40或说明中点在曲线内部.练出高分A 组 专项基础训练1 .直线y= kx + 2与抛物线y2 = 8x有且只有一个公共点，则k的值为( )A . 1B. 1 或 3C

23、. 0D . 1 或 0解析y = kx + 2 ,由得 ky2 8y +16 = 0 ,若 k = 0,贝U y = 2 ,若 k 工0 ,若 A= 0,即 64 64ky2 = 8x=0 ,解得k= 1，因此直线y = kx + 2与抛物线y2= 8x有且只有一个公共点，则k = 0或k=1.x2 y22 - AB为过椭圆产b2 = 1中心的弦，F（c，°）为它的焦点，则 FAB的最大面积为B. abC. acD. bc设A、B两点的坐标为（xi, yi）、（ xi, yi）,1则 Safab= 2|OF|2y1|= c|y1|w bc.3 .过抛物线y2= 2px （p>

24、0）的焦点F且倾斜角为60 °的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则 詈的值等于（）A. 5B. 4C. 3D. 2记抛物线y2= 2px的准线为I,作AA1丄I, BB1丄I, BC丄AA1，垂足分别是 A1、B1、C,则有 cos 60|AC|AB|AA1| |BB1|AF| |BF|1|AF|AF| + |BF| = |AF| + |BF|= 2，由此得 |BF|= 3，选 C4 . (2011 山东)设M(xo, yo)为抛物线C： x2= 8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C的准线相交，则yo的取值范围是( )A. (0,

25、2)B. 0,2C. (2 ,+s) D. 2 , +)解析tx2= 8y，二焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y = 2.由抛物线的定义知|MF|= yo + 2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心 F到准线的距离为 4，故4<y°+ 2 , y0>2.5 设抛物线x2= 4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线I与抛物线相交于 A、B两点，且点P恰为AB的中点，贝U |AF|+ |BF| =.°°y1 y2设 A(xi, yi), B(x2, y2),由题意知 xi + X2 = 2，且 x1= 4yi, x2 = 4y2，两式

26、相减整理得，X1 X2xi + X21丁=2，所以直线AB的方程为x 2y + 7 = 0.将 x = 2y 7 代入x2 = 4y整理得4y2 直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为F2，过Fi作垂ff32 y + 49 = 0 ,所以 yi + y2 = 8，又由抛物线定义得 |AF| + |BF| = y 1 + y2 + 2 = 10.x26 .已知椭圆+ y2= 1的两个焦点为 Fi、4将x= “3代入椭圆方程得1yp = 2，由 |PF1| + |PF2|= 417|PF21=4|P卄42 = 2.7 .直线y = kx 2与抛物线y2= 8x交于不同两点 A、B,且AB的中点横坐标

27、为 2，贝U k 的值是y = kx 2 ,设 A(xi, yi)、B(X2, y2),由y2 = 8x,消去 y 得 k2x2 4( k + 2)x + 4 = 0 ,= 4 k + 22 4 X k2 X 4>0 ,由题意得X1 + X2 =k> 1 ,k = 1 或 k= 2,即 k = 2.x2 y28 . (10分)椭圆孑+鼠1 (a>b>0)与直线x + y 1 = 0相交于P、Q两点，且 OP丄OQ (O为原点).1 1(1)求证：二+等于定值;a2 b2若椭圆的离心率e3，二，求椭圆长轴长的取值范围.3 2b2x2 + a2y2= a2b2,(1)证明由

28、x + y 1 = 0消去 y,得(a2+ b2)x2 2a2x+ a2(1 -b2)= 0,直线与椭圆有两个交点，40 ,即 4a4 4(a2 + b2)a2(1 b2)>0? a2b2(a2 + b2 1)>0 ,/a>b>0 , a2 + b2>1.设P(xi, yi)、Q(X2, y2)，贝U xi、X2是方程的两实根.2a2a21 b2xi+ X2 =a2 + b2'X1X2 =a2+ b2由 OP丄OQ 得 xiX2+ yiy2= 0，又 yi = 1 xi, y2= 1 X2,得 2X1X2 (xi + X2) + 1 = 0.式代入式化简得

29、a2+ b2= 2a2b2.+ = 2 a2十 b2.解利用(1)的结论，将a表示为e的函数c由 e= _? b2 = a2 a2e2,a代入式，得 2 e2 2a2(1 e2) = 0.2 e211 a2=_十21 e2221 e2 6'a>0 , 2 w aw £ 长轴长的取值范围为 9 . (12分)给出双曲线X2 f = 1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程;若过点A(2,1)的直线I与所给双曲线交于 Pl,P2两点，求线段Pl P2的中点P的轨迹方程；过点B(1,1)能否作直线 m，使得m与双曲线交于两点 Qi，Q2，且B是Q1Q2的中点? 这样

30、的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.2x? y2 = 2, 解(1)设弦的两端点为Pi(xi, yi), P2(X2, y2)，则2x2 y2 = 2,两式相减得到 2(xi X2)(xi + X2)= (yi y2)(yi + y2),又 xi + X2 = 4 , yi + y2= 2 ,yi y2所以直线斜率k = 4.xi X2故求得直线方程为4x y 7 = 0.(2)设 P(x, y), Pi(xi, yi) , P2(X2 , y2),yi y22x按照(i)的解法可得=xi X2 yyi y2 y i由于Pi , P2 , P , A四点共线，得二=三，2x y

31、i由可得 一=，整理得2x2 y2 4x + y = 0 ,检验当xi = X2时，x = 2, y = 0也满足y x 2方程，故PiP2的中点P的轨迹方程是2x2 y2 4x+ y = 0.(3) 假设满足题设条件的直线m存在，按照(i)的解法可得直线m的方程为y= 2x i.y=2xi,考虑到方程组y2无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的.x2= i2练出高分B组专项能力提升1 已知双曲线 E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A, B两点,且AB的中点为N( 12 , - 15)，贝U E的方程为x .已知抛物线y = x2+ 3上存在关于直线x + y =

32、 0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于y2x2y2x2y2x2y2A.=1B.=1c =1D =1364563540 + 15'/kAB= 13 + 12直线AB的方程为y = x 3.由于双曲线的焦点为 F(3,0) ,.c= 3, c2= 9.x2 y2设双曲线的标准方程为 -乙=1(a>0 , b>0), a2 b2x2x 3 2则；=1.整理，得a2b2(b2 a2)x2+ 6a2x 9 a2 a2b2= 0.6 a2_设 A(X1,y1),B(X2,y2),则X1+X2= _= 2 x (12) ,：a2 = 4a2 + 4b2,.5a2 = 4b2.a bx

33、2 y2又 a2 + b2= 9 ,.a2= 4, b2 = 5 ,双曲线 E 的方程为 一 一=1.4 5( )A . 3B . 4C . 3 ,'2D . 4 2解析设直线AB的方程为y = x + b.y = x2+ 3由？ x2 + x + b 3 = O?xi + X2 = 1 ,y = x + b1 1得AB的中点m -2， 2+bi i又M -, - + b在直线x + y = 0上，可求出b = 1,x2+ x 2 = 0 ,则|AB| = ：1 + 12 1 2 4 X 23 .如图，已知过抛物线y2 = 2px (p>0)的焦点F的直线x my + m = 0

34、与抛物线交于B两点，且 OAB (O为坐标原点)的面积为 2 2，贝U m6 + m4的值是(y2 = 2px (p>0)P设A(X1 ,y1),B(X2 ,y2),由题意可知，；=m，将x = my m代入抛物线方程中，整理得y2 2pmy + 2pm = 0,由根与系数的关系，得 y1 + y = 2pm , y1y2= 2pm , 1 p(y1 y2)2 = (y1 + y2)2 4y1y2= (2pm )2 8pm = 16 m4 + 16 m2，又 OAB 的面积 S= ：x Jy1m6 + m4= 2.y2|= 2( m) x 4 ,-'m4+ m2 = 2 ；2，两

35、边平方即可得x2 y24 .直线y= kx +1与椭圆+一= 1恒有公共点，贝U m的取值范围是 5 m2 2x yt方程一+ = 1表示椭圆，m>0且m半5.5 m直线y= kx +1恒过(0,1)点,02 12要使直线与椭圆总有公共点，应有：+w1 , m >1 ,5 m'm的取值范围是 m > 1且m半5.x2y25 .已知双曲线 ;=1 (a>1 , b>0)的焦距为2c,离心率为e，若点(一1,0)与(1,0)到直a2 b2x y4线；=1的距离之和s>孑，则e的取值范围是| b ab |b ab|2ab 4由题意知s =+=c,#a2 + b2 #a2+ b2c 52 c25b2c2 w 5ab.a2ab又一=