圆锥曲线与向量的综合性问题

1、圆锥曲线与向量的综合性问题、常见基本题型:在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐 标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质,例1、设F(1,0) , M点在x轴的负半轴上，点 P在y轴上，且 MP PN ,_ PF .当点P在y轴上运动时，求点 N的轨迹C的方程;解：(解法一)，故P为MN的中点.设N(x,y)，由M点在x轴的负半轴上，则M (-x,0) , P(0,)，(x . 0)2又 F(1,0) , PM (x, ) , PF =(1,)2 2又：, PM PF 二x04所以，点N的

2、轨迹C的方程为y2 =4x(x 0)(解法二)；MP PN，故P为MN的中点.设N(x,y)，由M点在x轴的负半轴上，则 M(-x,0), P(0,)，(x 0)2I -* _ T又由 MP =PN , PM _ PF，故由 F(1,0)，则有(x T)2 y2 = ( -X T)2，化简得：y2 = 4x (x 0)所以，点N的轨迹C的方程为y2 =4x(x 0)例2、已知椭圆的方程为2 占=1(a b 0)，它的一个焦点与抛物线y2 =8x的焦点a b245重合，离心率e，过椭圆的右焦点 F作与坐标轴不垂直的直线I，交椭圆5A、B两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点M (1,0)，且(

3、MA MB) AB，求直线I的方程;解: (I)设椭圆的右焦点为(c,0)，因为y2 = 8x的焦点坐标为(2,0)，所以c = 2因为弋二牛，则亠5 , bU2故椭圆方程为：y求椭圆E的方程； 过点C ( 1，0)，斜率为k的动直线与椭圆 E相交于A、B两点，请问x =15()由(I)得 F(2,0)，设 I 的方程为 y=：k(x-2) ( k = 0)2代入y2 =1，得,5220k2 0k -5设 A% yJ,B(X2, y2),则 x?2，沁：-(X2 - X1, y2 - yi)5k +15k +1MA MB =(Xi -1, yi) (x2 -1, y2) - (X1 x2 _

4、是否存在点M，使MA MB为常数？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请 明理由。 yi y2 ),7 (MA MB) AB=O,(儿 X2 -2)化-)厲-仏)( 丫2)= 0孕-2-车=0,. 3k解：(1)根据条件可知椭圆的焦点在 x轴，-1=0,k兀5k 1 5k 13所以直线I的方程为x、3y-2=0 或x-、.3y-2=0(2)所求问题以向量的形式呈现例3、已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线寸=4-. 5x的焦点，离心率是轴上说=-5,又 c = ea 632 2故所求方程为 =1,即X2 3y5，5532 2(2)假设存在点 M符合题意，设 AB : y=k(x，1),代入E :

5、 x 3y =5得：(3k21)x2 6k2x 3k2 _5 = 02 2设A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0)则花 x?6k xx 3k -527 X1X 2 =23k 13k 1MA MB =(k2 1)X2 (k m)(x-i x1) k2 m22小 1 6m 14=m 2m233(3k +1)要使上式与k无关，则有6m14=：0,解得m = -7，存在点M （-,0）满足题意。33例4、线段AB过y轴上一点N 0,m , AB所在直线的斜率为 k k = 0，两端点A、B到y轴的距离之差为4k.I ）求出以y轴为对称轴，过 A、O、B三点的抛物线方程;n ）过该抛物线的焦点

6、F作动弦CD，过C、D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出 FC FFM2的值.解：（I ）设AB所在直线方程为y = kx m，抛物线方程为x2 =2py ,且A洛， , B X2,y2,不妨设 捲 0 , x : 0 jxi| |x2 =4k即 x1 x 4k2 2把 y = kx m 代入 x = 2 py 得 x - 2pkx - 2 pm = 0，” 捲 + x2 = 2 pk ，” 2pk=4k二2故所求抛物线方程为2x 4y12、，1X3，D x4,4x4则过抛物线上C、D两点的切线方程分别是11 2 11 2yx$xx$ , yxx&2424-两条切线

7、的交点M的坐标为设CD的直线方程为y = nx T，代入x2二4y得x2 - 4nx - 4 = 0-X3X4 = -4故M的坐标为西鱼，-1 点M的轨迹为y = T、2X3,1X32_14而 FM2 1212FC FD = x3x4x3x444122=X3X41X3X414宁一0故竿BFM(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现-X32X421422小=X3 X42X3X4 .1 x3 x4 2例5、在直角坐标系 xOy中，长为 21的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，Cp.记点P的轨迹为曲线E .(I)求曲线E的方程;(II)经过点(0, 1)作直线I与曲线E相交于A、B两点

8、,OM.OA OB,当点M在曲线E上时，求cos：OA,OB 的值.解：(1)设 C (m, 0), D(0 , n), P (x, y).由& = 2PD，得(x m , y) = .2( x, n-y),m = ( 2 + 1)x,得 2 + 1n = 一X- m = V2x, y= /2(n y),2 y，由 | Cb| = 2 + 1，得 m2 + n2= ( ,2 + 1)2,(.2 + 1)2x2 + 匕竝 y2= (.2 + 1)2,整理，得曲线e的方程为x2+y； = 1 .(n)设 A (X1, yj, b (X2, y2)，由 OM = OA + OB，知点 m 坐标为(X

9、1 + X2,1 + y2).设直线I的方程为y = kx + 1，代入曲线E方程，得(k2 + 2)x2 + 2kx 1 = 0 ,ntt2k1则 X1 + X2 = k2+ 2，X1X2= k2+ 2.4y1 + y2= k(x1 + X2)+ 2=2+2，2由点M在曲线E上，知(X1 + X2)2+卜号刃=1,2即諾分=1，解得= 2-、23这时 X1X2+ y 1y2= X1X2+ (kxr + 1)(kx2 +1) = (1 + k )X1X2 + k(x? + x?)+ 1 =(x1 + y 2)( X2 + y2)= (2 x2)(2 X2)= 4 2( x? + x2)+ (X

10、1X2)22233=4 2(x1 + X2) 2x1X2 + (X1X2) = 16，X1X2+ yiy2X1X2十 y233C0S OA，OB =一(x1 + y2)(x2 + y2)=亓-二、针对性练习1.已知圆M: (X丿5)2 - y2 = 36及定点n(J5,0)，点P是圆M上的动点，点 Q在NP上，点G在MP上,且满足 NP =2NQ,GQ NP =0.(1)求点G的轨迹C的方程;(2)过点K ( 2, 0)作直线1,与曲线C交于A、B两点,o是坐标原点，设oS=oa OB，是否存在这样的直线1,使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线 l,的方程； 若不存在，说明理由.NP

11、 =2NQ解：(1)由= Q为PN的中点，且GQ丄PNn GQ是PN的中垂线,QQ NP =0 PM = GM|+|GP = GM|+|GN| =6 2府点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又 a=3,c = i5= b=2.1.4(2)/ .OS=OA，OB=四边形OASB为平行四边行,假设存在直线1，使 OS 二 AB 二四边形OASB为矩形n OA丄OB.1的斜率不存在，则1的方程为x = 2,x =2 x2+1941625= oa ob = _9 0. y920k229k 4由 OA OB = 0=x1x2y1y2 = 0 36 k2 -120k29k2 4 9k2 4=0=kJ.2设直

12、线1的方程y =k x _2 , A x1,y1 , B x2, y2 .y =k x -2.x2 y2，化简得:(9k2+4X2_36k2x + 36(k2_1)=0.94- x-ix236k236 k2 -12, x| X? =29k 49k 4 y2 = k 为 一 2 .k x2 2 = k2 lx1x 2 x1x- 41存在直线1： 3x-2y-6=0或3x，2y-6=0满足条件二、针对性练习1.已知过抛物线y2=2pxp.0的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A（X1,y2）,B（屜，y2 ）（为 ex?）两点，且 AB =9 .（1）求该抛物线的方程；（2） O为坐标原点，C

13、为抛物线上一点，若 OC =OA OB，求的值.解：（1）直线AB的方程是y=2、,2（x-号），与y2=2px联立，消去 y，得 4x2 -5px p0，所以 x x2 -，4由抛物线定义得：AB =x1 x2 p = 9，所以p=4，抛物线方程为：y2 =8x22(2)由 p=4，4x -5px p =0,化简得 x2_5x 4=0，从而 x1 =1,X2 =4, y1 - -2 2 y2 = 4、2 ,从而 a(1, -2 2 ),B(4, 4 2)设 OC =(X3,y3)=(1,-22) +飒4,4、总)=(1十4人,22 + 472人)，又因为 y32 =8X3，即 2 2 2 -

14、1 2 =8 (4 * 1 )，即（2 _1）2 =4 1，解得彊=0,或=22、在平面直角坐标系内已知两点A(_1,0)、B(1,0)，若将动点P(x,y)的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q(x, .2y)，且满足AQBQ =1.(I)求动点P所在曲线C的方程;/2(n)过点B作斜率为的直线I交曲线C于M、2N 两点，且 OM ON OH 二,又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、 求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由H四点是否共圆？若共圆,解(I)设点 P的坐标为(x, y)，则点Q的坐标为(x, 2y),依据题意，有 AQ =（x 1,.2y）, BQ =（x_1,. 2y）.AQ BQ =1” x2 _1 2y2 =1.2.动点p所在曲线C的方程是| y2.(n)因直线I过点B，且斜率为k -，故有l : y 2(x-1).2 2X2 * 212 y联立方程组齐x1)设 M （Xi,yJ、又Om ON OH=0,，消去 y，得 2x2 -2x -1 =0.x1 x2 =1N（X2,y2），可得1，于是X1X2 =-x1x2 =12