圆锥曲线几何问题的转换

1、几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中， 经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化， 合理的进行几何条件 的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线 段后可以承载向量； 另一方面， 向量在坐标系中能够坐标化， 从而将几何图形的要素转化为 坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1 ）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符 号进行判定

2、（2 ）点与圆的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些 题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，uur uuur uur uuurACB为钝角（再转为向量：CA CB 0 ;若点在圆上，贝U ACB为直角（CA CB 0 ）;uur uuur若点在圆外，贝U ACB为锐角（CA CB 0 ）（3 ）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，贝三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，贝三点共线（4 ）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：rr

3、r rrrax1, y1 , bx2, y2，则 a,b 共线x-i y2x2y1 ； abXjX2y1y20（5 ）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注 意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1 ）三角形的“重心”设不共线的三点 A xy! , B x2, y2 ,C x3,y3，则VABC的重心 g xiX2 X3 yiy2y3（2 ）三角形的“垂心”:伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化（5） P是以DA,DB为邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上上ADB

4、*CB(6)共线线段长度的乘积：若 A,B,C共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积， 从而简化运算，(要注意向量的夹角)ujur uuuAC BCuuu uuu例如：|AC| |AB| AC AB，| AC BC二、典型例题:例1：如图：A,B分别是椭圆C2 2xy2,2aba b 0的左右顶点，F为其右焦点，2是AF , FB的等差中项， J3是AF , FB的等比中项(1)求椭圆C的方程(2)已知P是椭圆C上异于A,B的动点，直线I过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ AP，并交直线I于点Q。证明:Q,P,B三点共线解: （ 1）依题意可得： A a,0 ,B a,0 ,F c,0AF

5、c a, BF a cQ 2是AF , FB的等差中项4 AF FB a c a c 2aQ ,3 是 AF , FB的等比中项.3 2AFFBca2c2b2b2 3x2Q椭圆方程为：4(2 )由(1)可得:A 2,0 ,B 2,0 ,F 1,0设AP:，设P X1,y1 ，联立直线与椭圆方程可得:3x24y2x 2124k23 x216k2x 16k2120XaXi16k2124k2Xi6 8k24k2y1 kx1212k4k236 8k212k23 4k2 34k2另一方面,因为FQAPFQ : y，联立方程:Q B 2,04kkBp12k4k236 8k24k2312k16k234kkB

6、QkBPB,Q,P三点共线2x例2:已知椭圆a2 y b21(a0)的右焦点为F，M为上顶点,O为坐标原点，若OMF的面积为1，2且椭圆的离心率为-(1 )求椭圆的方程;（2 ）是否存在直线|交椭圆于P ,Q两点， 且使点F PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由.SVOMFOM OF1bc 12 2b2c22椭圆方程为:(2)设 P(Xi,yJ，(1)可得：M 0,1 ,F 1,0Q F PQM的垂心MF PQ设 PQ:y x由F为APQM的垂心可得:MP FQnurMPX1,y1uuu1 ,FQX21,y2uur uuuMP FQ% x21y1y2 0因为P,Q在直线

7、y xy1为m，代入可得:my2X2为 x2 1x1m 1X2即 2x1x2 (x1X2 )(m1) m考虑联立方程:y x mx2 2y2得3x24mx22m216m2122m2 24mV V2m2212，1 233c 2m2 24m22m 1m33解得：m4或m 11时,3当m PQM不存在，故舍去当m4时，所求直线I存在，直线3代入可得:I的方程为y小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质,为垂心与三角形顶点的连线垂直底边,2占1(a b 0)的一个焦点是所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜 率关系)2x例3 :如图，椭圆二aF 1,0，O

8、为坐标原点 (1)若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 求椭圆的方程;(2)设过点F且不垂直x轴的直线|交椭圆于A,B两点，若直线I绕点F任意转动，恒有OAOB 2 AB解：(1)由图可得:1M 0,b3由正三角形性质可得:MFO 6,kMFkMF椭圆方程为:(2)设 I : yb2A X1,y1,B X2,y2Q OAOBABcos AOBAOB为钝角OA2|OB|AB2OA OBuun ujuOA OB x1x2联立直线与椭圆方程:y kb2x2a2b2b2x2a2k22 2 21a2b2，整理可得:a2k2 b2x2 2a2k2x a2. 22. 2k a bX-Ix22a2

9、k2 a2k22 2 2 2 a k a b222a2k2b2y2k2 % 1X2k2x1x2 k2 x1X2k22 a2k2 a 鲨7"a2k2k22| 21 Z 22a k 2 kb k2 a2k2 b22212a b k2aX-|X2YlY22|22212222|2a k a b k b a b k222a k ba2k2a2b2b*0恒成立b2a2b22 2a b恒成立b2a2b22 2Q b2a22a210解得:1、52a的取值范围是2 x 例4 :设A, B分别为椭圆a2yb20的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为(1 )求椭圆的方程;

10、(4,0)N（2 ）设P为直线x 4上不同于点 4,0的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：（1）依题意可得a 2c，且到右焦点距离的最小值为 a c 1可解得：a 2,c 1 b .32 2椭圆方程为-143（2）思路：若要证 B在以MN为直径的圆内，只需证明 MBN为钝角，即 MBP为锐uuuu uuu角，从而只需证明BM BP 0,因为A,B坐标可求，所以只要设出 AM直线（斜率为k），uumi uuu联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而 BM BP可用k1表示。即可判断ULUU UUUBM BP的符号，进而完成证

11、明解：由（1）可得A 2,0 ,B 2,0，设直线AM ,BN的斜率分别为k，M捲$ ，则AM : y k x 2 联立AM与椭圆方程可得:4k23 x2 16k2x 16k212 0y k x 222 ，消去y可得:3x 4y 12XaX116k2124k236 8k2X14k23y1kx12k12k4k23，即 M6 8k212k4k23,4k23设P 4,y。，因为P在直线AM上，所以y。 k 4 2 6k，即P 4,6kuuuuuuuBP 2,6k ,BM16k212k4k23,4k2 3UUU UUUL BP BM32 k24k234k2340k24k23MBP为锐角,MBN为钝角例

12、5 :如图所示，已知过抛物线线相交于 A, B两点，与椭圆存在直线I使得AF CF程，若不存在，请说明理由M在以MN为直径的圆内2BF，设 I: ykx134y解：依题意可知抛物线焦点0,1Q AFCFBFDFAFBFDF，不妨设AFDFCFuuu 则AFuuu uuruuiuFB, DFFC设 A x1, y, , BX22 ,C X33,D X4，y4uurAFXi,1uuuy1 ,FBX2,y2 1uunCFX3,1UUTy3 ,FDX4,y4 1X1X2考虑联立直线与抛物线方程:X3X4kx 14yX24kX 4 0x212X1X2X2X1X24k，消去联立直线与椭圆方程:3k26 x

13、26kXX3X4X4X3X42X4X2可得:4k2y6x2kx 13y26x23 kX 16k3k26J_$3k264，整理可得:由可得:4k仝6，解得：k2 13k 62py p 0的准线方程为y2，过所以存在满足条件的直线，其方程为：y x 19例6 :在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线x点M 4,0作抛物线的切线 MA，切点为A （异于点O ），直线I过点M与抛物线交于两点 P,Q，与直线OA交于点N（1 ）求抛物线的方程（2）试问MNMPMNMQ的值是否为定值?若是，求出定值;若不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得：P - p 12 2抛物线方程：x2 2y1 2（2）设切点A

14、 x0,y0，抛物线为y x22y' x切线斜率为k xo12切线方程为：y y° xo x xo，代入M 4,0及y° x°1 2可得：2xo Xo 4 Xo，解得：Xo 0 （舍）或 xo 8A 8,32 OA: y 4x设 PQ : x my 4Q M,P,N,Q共线且M在x轴上MNMNyNyN11yPyMP|MQyyyNyPyyNyPy2 x2y2 亠，整理可得联立PQ和抛物线方程：my4 2y:xmy 42 2my 8m 2 y 1608m16yp yQ2 , yp yQ2mm再联立OA, PQ直线方程:y 4xx my 4yN161 4mMNM

15、PMNMQyNypyQypyQ2 8m161 4m 兰2m例7 :在VABC中，A,B的坐标分别是 .2,0 , .2,0 ，点G是VABC的重心，y轴上 一点 M 满足 GM / AB，且 MC MB(1 )求VABC的顶点C的轨迹E的方程(2)直线l : y kx m与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹 E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中 O为坐标原点)，求m的取值范围解：(1 )设C x,y 由G是VABC的重心可得：x _y3, 3由y轴上一点M满足平行关系，可得M叱由 MC MB 可得：Jx2 y 1 yJ""0V2y22 2化简可得：x y 1 y

16、 02 6、x2 y2C的轨迹E的方程为：1 y 02 6(2)Q四边形OPRQ为平行四边形uuu uuu uuurOR OP OQ设 P X1,% ,Q X2,y2R 为 X2,% y2Q R在椭圆上X22y1y23xf2y13x；2y26xx22y2因为P,Q在椭圆上，所以3xf3x；2y162y26代入可得:6x1X2 2y°212 63x-|X2y2联立方程可得:y kx m3x2y2k2x2 2kmxm26x-1x22 km2，x1x2m26k23y2kx1 m kx2k2x.|x2km x1X23m2 6k2k23代入可得:m263戸3m2 6k2k232 m2k23k2

17、 3 x22kmx m20有两不等实根可得:4k2 m24 k23c 23m6k218220 ,代入k 2m 33m22m218另一方面:2m2k20m22 x例8 :已知椭圆a2yb2的离心率为直线l过点A 4,0 ,B 0,2 ，且与椭圆C相切于点P(1)求椭圆C的方程(2 )是否存在过点A 4,0的直线m与椭圆交于不同的两点M , N ,使得36 AP35 AM AN?若存在，求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由解（1）e -a 22y3c223x2 4y212c2x椭圆方程化为：24cQI 过 A 4,0 ,B 0,2设直线l:彳舟1联立直线与椭圆方程:整理可得：x2 2x3x24

18、y21x212c2消去y可得：3x212c23c2QI与椭圆相切于P4 4 4 3c23P 122，且可解得x椭圆方程为：-4(2)思路：设直线M 为， ,N X2,y2由(1)可得:再由A 4,0可知AP2坐，若要求得4k (或证明不存在满足条件的 k )，则可通过等式36 AP35 AM AN列出关于k的方程。对于AMAN，尽管可以用两点间距离公A,M , N共线，从而可想到利式表示出 AM , AN，但运算较为复杂。观察图形特点可知uuuu uuir用向量数量积表示线段的乘积。因为AM ,AN同向，所以AMANuuju uuurAM AN。写出m与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即Luuu

19、 uurAM ,AN的坐标即可进行坐标运算，然后再联立可得到关于k的方程，求解即可解：由题意可知直线 m斜率存在，所以设直线m: y k x 4 , M x1, y1 ,N x2, y2由（1）可得:3P1,2AP45Q AM , N共线且uuuu uur AM ,AN同向AMANuuuu AMujirANULUAM为4,y1uiLT,AN x 4,y2uuuu AMuurANXi4 x2 4y2X1X2yiy2x216联立直线m与椭圆方程:3x24y2k x12消去y并整理可得:44k2332k2x64k2 1232k24k23，x，x264 k2124 k23yiy2x-i4x236k24

20、 kumu uur AM AN64k2 124k236k24k2 332k2424k2336k2 1164k2 3Q36 AP35 AMAN，代入AP454uuuu AMuurAN236 k 14k2 3可得:36 45436 k2可解得:若方程解得:35k24k232 k24k2 3x2直线m的方程为:k ，另一方面,432k2x4k264k2 1264 k2120有两不等实根子符合题意X4例9 :设椭圆C :21 a b 0的左，右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，过点A bULUN uuur与AF2垂直的直线交x轴负半轴与点Q，且2F1F2 F2Q（1）求椭圆C的离心率（2）若过A,Q,

21、F2三点的圆恰好与直线l : x3y 30相切，求椭圆C的方程（3 ）在（2）的条件下，过右焦点 F2作斜率为k的直 线l与椭圆C交于M ,N两点，在x轴上是否存在点 P m,0使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱 形？如果存在，求出 m的取值范围；如果不存在，请说明理由解: （ 1 ）依题意设 A 0,b ,Fi c,0 ,F2 c,0 ,QXo,OuuuF1F2uuur2c,0 ,F2QX。c,0uuuQ2F1F2uuu rF2Q 04c x0 c 0x°3cQ 3c,0kAQ 3c由AQAF2可得:kAQkAF2b23c2,2c2b 3ca2c23c2a24c2由（1）可得:a : b : c 2:3 :1Q AQ AF2A,Q,F2的外接圆的直径为 QF2，半径设为rQ 3c,0 ,F2 c,01r QF22c，圆心 c,02c 3|由圆与直线相切可得：d L 2c c 3 4c2解得：c 1 a 2,b.32 2椭圆方程为一y i43(3)由(2)得 Fi1,0 , F2 1,0 :设直线 I : y k x 1设M x1,y1 ,N x2, y2，若PM , PN为邻边的平行四边形是菱形则P为MN垂直平分线上的点3x；4 yi2 23x24 y2123122X1x；4