圆锥曲线中地取值范围最值问题

1、圆锥曲线中的最值取值 X围问题90. F1, 12 2F2分别是双曲线 笃 2 =1 a>0, b>0丨的左、右焦点，P为双曲线上的一点，假a b如F1PF290°且 F1PF2的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为 .3，双曲线与该椭圆离心率之积为。3I丨求椭圆的方程;n设直线l与椭圆交于A , B两点，坐标原点 0到直线l的距离为_3，求 AOB面2积的最大值.90解：设I PR I m,|PF2 I n，不妨P在第一象限，如此由得e2 6e5 0,n 2a,n2 (2c)2,5a2 6ac c2 0,2c 2m.解得舍去。设椭圆离心

2、率为5.6可设椭圆的方程为2 x2 a2莒1,半焦距为b 2a b2 b2.6323,2aa解之得b3,1,椭的方程为2. 31.n当ABx轴时,| AB|3.当AB与X轴不垂直时，设直线AB的方程为y kxm,A(X1，yJ,B(X2，y2),由:rk2- 323 2,得 m23(k2241),把 y kxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x226kmx 3m 30,x-ix226 km3( m 1)2公必2厂3k213k21| AB |2 (1 k2)(X2 Xj2(1 kg12(m21)3k2112(1 k2)(3k2 1 m2)3(k21)(9k2 1)(3k2(3k2 1)22312

3、k3 2 29k2 6k2112一(k 0)9k2-y 6k24.2 3 6当且仅当9k2 丄,即kk23时等号成立，此时3| AB | 2.当k 0时AB|3.综上所述：|AB|max 2 ,此时 AOB面积取最大值S£|AB|max285.曲线C的方程为x 2y， F为焦点。1过曲线上C 一点P(Xo, yo) Xo 0的切线I与y轴交于A，试探究|AF|与|PF|之间 的关系；2假如在1的条件下P点的横坐标Xo 2，点N在y轴上，且|PN|等于点P到直线2y 1 0的距离，圆M能覆盖三角形 APN，当圆M的面积最小时，求圆M的方程。85.(it)(i>di竺占摘眾夕在尸斗

4、订处切找方程：厂術=期“为).将j< =C RAiWr Xi /fl _XV = -= - >C( >* >0) *蕊”杖 F 出钢 U冷)*肿=；f又加今f 寺f *肿“叽 冷剧知 呛(吩 m 的唱抵为何!昭(山“僅甘为 mfr的 外搀嚴时屈册师小股此B5曲*卷为;#护/+% 4舒“0(腭+旣"34 +J 5 皿此时所球的出的方軽为? *y-5x*7T*1 -0的昭料(,)时4 -2ff+ F = 0.0 = 1.U + 4 +2/J + 2l；4 F=313分琮上國的方悍为彳+*-弘"- ；y? =02 2XV174.椭圆G： 22 1(a b

5、0)的长轴长为4，离心率为,Fi, F2分别为其左右a b2焦点一动圆过点 F2，且与直线x 1相切.(I ) ( i )求椭圆G的方程；(ii )求动圆圆心轨迹 C的方程；(n )在曲线C上有四个不同的点 M,N,P,Q,满足MF2与NF?共线，PF2与QF?共线，且PF2 MF20，求四边形PMQN面积的最小值.2a 474.解：(I )( i )由可得c 1a2222b a c 3,ec1a 222如此所求椭圆方程xC1:V 143(i )由可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程为2X 1，如此动圆圆心轨迹方程为C : V 4x .(n )由题设知直线 MN ,

6、 PQ的斜率均存在且不为零设直线MN的斜率为k(k 0) , M(x1,y1),N(x2,y2)，如此直线MN的方程 为：V k(x 1)联立 C : y2 4x 消去 y 可得 k2x2 (2k2 4)x k2 0由抛物线定义可知：| MN | | MF2 | NF2 | x11x212k24同理可得|PQ| 4 4k21又 SpMqnI MN I I PQ I(当且仅当k4k2)8(2 k21时取到等号)所以四边形PMQN面积的最小值为32.69.如图,，直线L I: y kx 2与抛物线C: 点，Oa ObI求直线I和抛物线C的方程；(4, 12)。n抛物线上一动点y69.解：I由 2X

7、2py(p0)交于A, B两点，O为坐标原P从A到B运动时，求ABP面积最大值.kX 2,得,x22py2pkx 4p0,设 A 勺 , B X2,y2 ,如此X22pk,y1 y2X1因为OAX1X2,y1y22X24 2pk 4,22pk, 2 pk 4 =4,所以2pk22pk24,解得12.1,2.所以直线I的方程为yn方法1：设P(x0,y0),依题意,y x，所以Xq2此时P到直线l的距离d2x 2,抛物线C的方程为X22y.P的切线与I平行时， APB面积最大,1八2) 2抛物线过Xg2, y。(2)(2,所以 P( 2, 2)._44_555由y2X2x 2,2得，x22y,4

8、x 4 0,| AB |1 k2X| x2)2 4x-| x2.1 22 ., ( 4)24( 4)4.10 ABP的面积最大值为 L2yn方法2 :由 r2X|AB|2x 2,2得，x2 4x 2y,1 k2、,(为 x2)2 4咅 x24 0,1 22 . ( 4)24( 4)4.10 9分设 P(t, 2t2) , ( 2 2 2 t 2 2-.2)因为AB为定值，当P到直线丨的距离d最大时， ABP的面积最大，1 22t 2t 2|(t 2)2 4d22 ( 1)2話，因为 2 2 2 t 2 2 2，所以当 t 2 时，d max=，此时 P( 2, 2).54怖症 ABP的面积最大

9、值为L & 222 2笃当 1(a b 0)的长轴为短轴的.3倍,直线y x与椭圆交于A、B两点，C为椭 a b3圆的右项点，OA OC .2I丨求椭圆的方程；II丨假如椭圆上两点E F 使 OE OFOA,(0,2),求OEF面积的最大值66.解：I根据题意，a , 3b,C(a,0),设 A(t,t),则to,4at21.解得t2 单一a b.3-b2,即 t b,42(a,0),OA OC33b2232,b 1,a. 3,21.椭圆方程为y232x02y0设 E(x1, yj, F(X2, y2), EF中点为 M (x , y°),X1X2y1y22X1E,F在椭圆上

10、，则2y12y2由-得2X132X22y12y20,kEFy2Y1X1X2OE1,1,OFOA,X2y1 y213,直线EF的方程为y 43(x),即 X43y.3，代入一y213并整理得，4y2230,y1y2,ym|EF |22.(X1 X2)(y1 y2).10 |yiy21.103 2 4( 2 °10 丄一 2J3原点。(0,。)到直线EF的距离为h 1。,S OEF12|EF|h43 % 2)手一 2时等号成立，所以OEF面积的最大值为22 y63.椭圆C：X1，过点M(0, 1)的直线I与椭圆C相交于两点A、B.4I假如I与X轴相交于点P,且P为AM的中点，求直线n设点

11、N(0,”，求| NA NB|的最大值63.I解：设 A(X1, y1),l的方程;因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0, M的纵坐标为1,所以解得y11,又因为点A(X1,屮)在椭圆C上，所以2X1解得X|3，如此点2A的坐标为迢1)或(乜2 21)，所以直线l的方程为4、3x3y 3 0，或4、3x 3y 3 0.设 A(X1, y1), B(x2, y2),如此所以NB (X1 X2,y1 y2"A (X1，y12)，1)，如此 |XA "nb I(X11(X2,y2 2),2 2X2) (y1 y2 1)当直线AB的斜率不存在时，其方程为X 0, A(0,2), B

12、(0, 2)，此时|当直线AB的斜率存在时，设其方程为y kx 1 ,由题设可得A、B的坐标是方程组kx2y4的解，消去y得(4 k2)x2 2kx 3 01所以 (2k)12(4 k )0,X1X242k，如此 y1y2 (心 1) (kx212k22 2 1 1 ， (4 k2)28(4_k4 k当k 0时，等号成立，即此时|nA nbi取得最大值1.所以|NA NB|2 (二)21)2综上，当直线AB的方程为x 0或y 1时，|有最大值1.2= 2px p>0上一点，F为抛物线的焦点，准线1与x轴交于点K,| AK| =| AF | ,三角形AFK的面积等于&1求p的值;2

13、过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G H.求丨GH|的最小值.50.解：I设 A Xo, y0 ,因为抛物线的焦点F卫,0 ,准线I的方程为:2-,0 ,作AM I于M ,2如此AMPX0 2AF,又AKV2|AF 得 AKV2|am ,AKM为等腰直角三角形，KMti又.S AFKAM2由 y2X)y。X0 卫，即 A2X0,X0卫，而点A在抛物线上,22px)，X)2kf y°冬于是A卫,2 P.12P4.故所求抛物线的方程为2y 8x.6 分8x，得F(2,0)，显然直线11,12的斜率都存在且都不为0.设h的方程为y k(x 2)，如

14、此12的方程为1k(X 2).48.椭圆的中心为原点 O ,焦点在y轴上，离心率e，过P(0,1)的直线l与椭圆交于B两点，且aP，求AOB面积的最大值与取得最大值时椭圆的方程.248.解：设椭圆的方程为 %a1(ab 0),直线l的方程为ykx 1 ,%,%)、Bgy) e1 23a ，如此椭圆方程可化为2y3b21 即 3X23b2,联立3xy2ykx3b 得(3 k2)x2 2kx3b20 *有x1X22k厂戸而由AP 2PB有x12X2，代入得X22k3 k2所以SAOB|OP| |X1 X23 |X2|3|k|k23|k|2.3 |k|.32当且仅当由x2所以 AOB面积的最大值为.

15、 3代入式得b22取得最大值时椭圆的方程为-52x532C1 三.2a bC2：x2 (y 3)2 1的一条直径，假如与 AF平行且在y轴上的截距为32的直线丨恰好与圆C2相切。1椭圆 1(a b 0)的右焦点为F,上顶点为A, P为C1 上任一点,MN是圆；的最大值为49，求椭圆C1的方程.46.解：1由题意可知直线l的方程为bx cy (3.2)c0，因为直线与圆2假如2 2C2 : x(y 3)1相切，所以d3C 乎 22C=1，既 a2b c22c ,从而2 22设 p(x,y),如此二爲 1(c0)2c c又 PM PN (PC2 C2M )(PC2C.22N) PC2.2C2Nx2

16、(3 y)2 1 (y3)22c17(c y c)当 c 3寸,(PM PN)max172c249,解得c4,此时椭圆方程为2 2x y 13216当 0 c 3时,(PMPN)max(C 3)2172249,解得c 5 2 3 但c 5 23 3,故舍去。综上所述，椭圆的方程为2 x2y1321625.椭圆G :笃 每 1（a b 0）的离心率为，直线l : y x 2与以原点为圆心、以 a b3椭圆G的短半轴长为半径的圆相切.|求椭圆g的方程；II设椭圆g的左焦点为F,，右焦点f2，直线I,过点F,且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直h于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点山设C2与

17、x轴交于点不同的两点R, S在C2上，且满足M的轨迹C2的方程;QR RS 0,求的取25.解2c2a2 ,2a b2c2a23b20与圆x2b2相切，b,b 、2,b22 a23 椭圆C1的方程是x22y- 12nT离，动点m的轨迹是MP=MF 2,动点M到定直线l1 : x1的距离等于它到定点F11,0的距C为l1准线，F2为焦点的抛物线.点 M的轨迹C2的方程为y2 2 _ 2 _ 2 2川Q 0,0，设 R（出，yJ,S（匹，y2） QR （垄，力）,RS （上 *4444 2/2 2- QR RS 0 山 y1（y2 y1）0,y2164x%)yiy2, yi化 简 得y2i6(yi

18、)yi22256y yi牙 32 2.256 32 64yi56当且仅当y2 壬,y2 i6, yi4时等号成立yi|QS| 一2 y； .(y；8)264,又 y； 64 44当 y 64, y28寸，|QS|min 8、5,故 |QS| 的取值 X 围是8、5,)222 28.8.点 P 4, 4，圆 C: (x m) yx y5(m3)与椭圆E： 21(a b 0)有一个公a bPFi与圆C相切.共点A3，1Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线 I求m的值与椭圆E的方程；n设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值X围.【解】I点A代入圆C方程，得(3 m)2 i 5 . v mv 3， m=

19、 i.圆C: (x i)2 y2 5.设直线PFi的斜率为k， 如此 PFi: y k(x 4)4，即 kx y 4k 4 0 .直线PFi与圆C相切，.|k4|5 .Jk2 i解得k H,或k 丄.2 2当k= H时，直线PFi与x轴的交点横坐标为236，不合题意，舍去.ii1当k=丄时，直线PFi与x轴的交点横坐标为一24，二 c= 4. Fi一 4，0，F24，0.2a = AFi + AF2= 5.22 6 .2，a23 2，a2= i8，b2=2.椭圆E的方程为：i8(i,3)，设 Qx，y，aQ(x 3, yi)，aP aQ(x 3) 3(y i) x2 y23y22v 和 y x

20、 即 x2 (3y)2 i8，而 x22(3y) > 2|x| |3y |， i8< 6xy< i8.如此(x 3y)2 x2(3y)2 6xy i8 6xy的取值X围是0,36. x 3y的取值X围是6, 6. AP AQx 3y 6的取值X围是i2, 0.2 Xl : y x 1与曲线C: pa2令 1 (a 0,b0)交于不同的两点 A,B , O为坐标原点.围.(b2I假如 | OA |n假如OA【解】I证明:|OB |，求证：曲线C是一个圆;OB，当a b且a 丄？，一凹时，求曲线C的离心率e的取值X2 2设直线丨与曲线C的交点为A(xi,yj, B(X2, y2)

21、2- X12 X1 -2a2X22y22y12y2即:Xi2y12X22y2A,B在C上2y12X22a两式相减得:2X12X22a (22 (y2b即:a2b2曲线C是一个圆n设直线曲线X1a2)x2l与曲线C的交点为A(x1, y1), B(x2, y2),C是焦点在x轴上的椭圆丫21即：y2X2x 1代入b2x22a2x a2 a2b2OAOBX1X2a2b20整理得:- X1X222，X1X2-a ba21代B在丨上y1 y2 (X11)(x又y2沁2x1 x2 x1X22 a2(1 b2) a2 b22a2(22)a b10 a2b22 2 2 a a c2a2(a2 c2)0 2a

22、42a21 0a2(12a2c2 2a2c22a2b2021)X1b2)b2X2X22 22a (a 1) e12a222(a1)12a2 115动点旦 2a221 2,4 111 323n旷2,4e TPA、 B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段 AB上，且c。AP tPB（t是不为零的常数）.设点P的轨迹方程为1求点P的轨迹方程C ；2假如t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点 M、N不在坐标轴上，点Q3 坐标为（一,3）,求厶QMN的面积S的最大值。215.【解】1设 A(a,0), B(0,b), P(x, y)APtPB,即(xtx则t(by)a,y)>

23、(11)tt( x,b y)t)xt，由题意知ty0,| AB | 2a2b24即 (1点P轨迹方程2x42(1 t)2 2 1t)2x2 ( t2y4t 二(122t=2时，C为-T 16y21设M(X1,yJ，则N (心 yj,则 MN2y1.设直线MN的方程为y 点Q到MN距离为13 y1 3x112y1h 22 “1S QMN2y1|_3 y1 3x11d22y1即1S2qmn29 29x1 4y1 9x1 y1又9x；9yi2 i9x2-yi244i64S2qmn4 9xi yi而 i 9xi29yi2 3xl3yi4i6249X2%4ii分9xi yi4当且仅当字晋,即m 2yi时，等号成立S QMN 的最大值为2J212分2 225.椭圆 Ci : 2 21(aa b0)的离心率为-，直线l：y3x 2与以原点为圆心、以椭圆Ci的短半轴长为半径的圆相切I求椭圆G的方程;II设椭圆G的左焦点为F1，右焦点F2，直线h过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线I?垂直li于点P，线段PF2垂直平分线交I2于点M，求点山设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足M的轨迹C2的方程;QS.QR