圆锥曲线几何性质精华

1、圆锥曲线的几何性质省仪陇新政校区魏登昆x2 2、椭圆的几何性质（以 右+爲=1 （a> b> 0）为例）a b1、" ABF 2的周长为证明：由椭圆的定义4a（定值）AF1BF1af2BF2 2a2aAF1af2BF1即 C<abf24a2、焦点"PF1F2中:BF2(1)(2)(3)S" pf1f2= b ?tan 2(S" PF1F2 ) max= bC当P在短轴上时，/ F1PF2最大证明:(1)在 < AF1F2 中COSPF1I2 IPF2I22|pfJpf24 c22 PF1PF1SPF1F2PF2(2)S"

2、 PF1F2 max cos当x0=0时cos2b21 cos2b21 cosPF1sinPF2PF1PFPF1=丄2c22 PF222|PFj |PF2hmax4c22 a cos有最小值一b2 cosbca ex02 c22atan 2a22 2 2 22 ae x0即/ F1PF2最大4c2224a 4c .1c 2 c 2212a2e0 x03、 过点F1作"PF1F2的/ P的外角平分线的垂线，垂足为则M的轨迹是x2+y 2=a2PoF证明：延长F1M交F2P于F，连接OM由已知有OMPFiFP所以M的轨迹方程为PFix2为FiF中点PF2 =aa24、以椭圆的任意焦半径为

3、直径的圆,都与圆x2+y2=a2 切证明：取PF1的中点，连接0M。令圆M的直径PF1，半径为r1 OM =2 PF2圆M与圆O切以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2切2a PFiPFi a r5、任一焦点"PFiF2的切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于 则 I IR l：l IP I =e证明：证明：连接Fil,F2l由三角形角角平分线性质有IRPIFiRPF?F2RPF?FiR F2R 2cPFi PF2 2a杰1olR，AIRPI6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令A Xj% , B x2, y2到准线的距离为以为直径的圆的圆心为 Maf2bf2e

4、d,ed2AF2BF2 e di d2到准线的距离为d。AB 2Re did2R le di d22d丄di2 Op epi Rp d以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆一定点，d2(1PAI + IPF2 I )max =2a+1 AFi(1PAI + IPF2 I )min =2a-1 AFiP在椭圆上，则:I证明：连接 AP, AFi,PFiAPPF2AP 2aPFi2aAPAF1AP2a AFiPFi |AFiAP PF22aAFi=2a+ I AFi I AFi Imax =2a_ (I PAI + I(I PA I + I PF2 I8、A为椭圆一定点，PF2 I )m

5、inP是椭圆上的动点，则(I PAI +证明:PF(IPF2)min = Ae设到右准线的距离 d,PFPAI)min =到右准线的距离由椭圆的第二定义有PA d9、焦点"PF1F2的旁心在直线min = A到右准线的距离.x=± a 上。证明：令° I与/ PFiF2三边所在的直线相切于 M、N、APM PNF2NF2APF|PN |FiM|FiF2 F2N FiAFM I |FiAPFi PN FiF2 F2Nf2n f2aPFi PN F2NFE F2N F2AF2N F2A2a 2c 2 F2Aa c F2A 即为椭圆顶点。- 焦点/ PFi F2的旁心在

6、直线x=± a上ExKiO、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于 上另一任意点，连结 PK交椭圆于Q则KF2平分/证明：令P,Q到准线的距离为d1,d2PF2diQF2d2d1d2PF2QF2did2PF2QF2PKQKPKQK由二角形外角平分线性质定理有KF平分/ EFQii、ii- 卑（定值）AFBFb2di d2证明：令 A x1, y, , B x2, y2当AB的斜率存在时，设直线 AB方程为y ky k x c2 2 2 2 2 2x2 y2b x a (k x 2k exa2 了e2k2) a2b2 0(b2 2 2 a k )x2a k ex2,22a k e

7、a2b2AFa e%iiii2ae xix2BFa ex?AFBFa e为a ex22a ae2x % e xx2XiX22bb2-2a b2. 2 a k2 2 2 a k e22. 2 a k2 22a k eXrX22a2k2cb2 a2k2 _2 _ 2a2k2ea2k2c2a ae 222 eb2 a2k22a e2 2a b22 2b a k2a ae 2 b22ac 2a2k2c a b2 a2k22a2k2ea2k22 ja b 2 a ka4k2 a2b22a3k2 2ab22a2k22ak2e22 ee4 2"e22ak2 a22ab2k2b4 a2b2 b2e2

8、2ak2 2a222k b a e2a k2 i2a当AB的斜率存在时，iia a 2a2 2 2AFBFbbbi iAF BF则XiX2yiy22yo2Xi2 aYi2b2i22X2Y2i2 ab21Yi Y2XiX2.XiX2YiY2 . YiY2b2 xi x2kABYiXiY2X2，kOP西Xoib2kAB2KopaxiX22aYiY2a2Bi O,b , B2 O, b ,N XiO ,P Xo, YouuuvuuuuvB2PXo,Yob,B2MX2, buuu/uuuvBiPXo,Yob,BiNXi,bBi、M共线证明:i3、椭圆的短轴端点为交长轴于N、M两点，则有I 0M由于B2

9、、PXoYobX2buHT由于PFiXoYobX2XibxoYo bB2, P是椭圆上任一* I ONI =auuurXo, Yo ,PF2 c Xo, yo、P、N共线XibxoYo bOM2X。2a2-2Xq bZ 2Xq b2 . 2yob2 .2yob2Xb22y。2 ab2ONAB12 a2 a2y。.2 2by。OMON证明：令M2a，Y1c2 a,N c,y2 , P Xo,yo , A a,0A2 a,0umruurnAPXa,y。，4PXa,y。,二 uumr2 auujura2AMa,y1AN-a,y2cc由于A1、P、M共线Xoayoy。2(aa)c 2y1aaY1Xqa

10、14、椭圆的长轴端点为 Ai、A 2, P是椭圆上任一点, 连结AiP、A2P并延长，交一准线于 N、M两点， 则M N与对应准线的焦点角为 90。C由于A2,P,N共线y*M沪xNx。a-2aacYqy2Y22za.Yq (a)cXq aYlY222aaYo ( a) yo ( a)ccXqaXqa2y。2 2Xqa42 2a a c2c22X。宜 122a b2yoX0YiY2,242 2,4b a a c b2 2 2a cc%y 1'br 1uuu2 aFMc, %b4cuurmr2 aFMFNyyuucFNc, y2cuuuuunrFMFN0M N与对应准线的焦点角为9001

11、5、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦 该准线对应的焦点。2证明：设m ,y0c2ax则AB的方程为axy°y即c16、椭圆的光学性质:b21必过点c,0过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设P x0, y0，则过P点的切线Ix0x-2ay0y1,直线I的法线x交轴于Q直线I的法向量为:x° y°a2，b2umr PF,X0,y。luiu,PF2 cX0, PF2a4y°2 2cx0c2x2cx° b2.2 2b X02a2 o 20 2 a cx0 2a2acxy。同理 PF,2acx02 ar uuir n PF,2cx

12、76; x°2a2yp_b2cx°X0a2b2.22b x2a2a cx02ar uuuu同理n PF22aexo2acos F2PQr uuuncos F2 PQn PF211 inf-uuu-r-PF2nF,PQF2PQ2acx02acx02a2acx（）2 aa2 cx0a21-r-n即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。、双曲线的几何性质(均以笃a(1)焦点三角形面积：Sb2 cot一2(2)、过作/ F1PF2的角平行线的重线垂足M(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交1-r-n2.y21 a,b 0 为例

13、：）b的轨迹是x2x2a外切。（3y、x(6)焦点"PF1F2的切圆心横生标为土 a即与实轴的切点一定是实轴端点、A为双曲线一定点 P为双曲线上动点=PA +A(8)、如图：A为双曲线一定点，P是双曲线上的动点,(9)、焦点到渐近线的距离等于b(9)(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值b2(11)、P是弦AB中点K ab K °p =笃定值ax(12)、P为双线上任一点过 P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值1ab2(13)、过P的切线平分/ 长线过另一焦点(13)(14)双曲线与渐近线把平面分成5部分2 2双曲线上的点x2莒 1a b渐近线上的点2x-2ab2区域的点2 x2 a2$12 2区域的点0x2 y2 1a2b2区域的点2x2a2y2y过渐近线上的点(除中心)只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域 的点作切线分别在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的 切线斜率k 一，区域、的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上(除中 a心)，双曲线