圆锥曲线常考题型总结材料-配有大题及练习

1、圆锥曲线大综合第一局部 圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：X围为题本质是函数问题题型十一：存在性问题存在点，存在直线y kx m，存在实数，三角形等边、等腰、直角，四边形矩形，菱形、正方形，圆二热点问题与轨迹方程问题与中点弦问题7.最值问题，定点，定直线问题第二局部知识储藏元二次方程ax2bxc 0(a0)相关的知识三个“二次问题1.判别式:b2 4ac2.韦达定理

2、:假如一元二次方程2 axbx c0(a0)有两个不等的实数根x1,x2，如此3.1.2.3.x1x2求根公式:bc,X1 X2aa假如一元二次方程b%2 2ab2 4ac.与直线相关的知识直线方程的五种形式：点斜式,2 axbx c斜截式，截距式,与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率:0(a0)有两个不等的实数根两点式，一般式y tan ,0,);点到直线的距离公式：d AX0A2ByB2C一般式或d kX0 y0d2k2%,X2，如此b 斜截式弦长公式：直线y kx b上两点A(Xi, yj, B(x2,y2)间的距离:AB1k2 X1X2.(1 k2)(x1X2)24xiX2(或 AB1屮

3、y2)14.两直线l1 ： %k1x1时2：丫2 k2X2b2的位置关系: l1 l21 l1/l2kk2 且 b| b25.中点坐标公式:两点A(n, yj, B(X2, y2)，假如点 M x, y线段AB的中点，如此x1 x1x 丁，yy2三圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程与简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆与抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义与几何图形：椭圆、双曲线与抛物线的定义与几何性质。2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程3. 圆锥曲线的根本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者

4、的关系，p的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆並，双曲线2b2，抛物线2p焦点三角形的面积:p在椭圆上时SFPf2b2 tan 2p在双曲线上时 SFiPF2b2/嘔四.常结合其他知识进展综合考查1. 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2. 导数的相关知识：求导公式与运算法如此，特别是与切线方程相关的知识3. 向量的相关知识：向量的数量积的定义与坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4. 三角函数的相关知识：各类公式与图像与性质5. 不等式的相关知识：不等式的根本性质，不等式的证明方法，均值定理等五.不同类型的大题1圆锥曲线与圆例1.本小题共14分2 2 双曲线

5、C:笃每 1(a 0,b 0)的离心率为3，右准线方程为xa bI求双曲线C的方程；n设直线l是圆o：x2 y2 2上动点P(x0, y0)(x0y0 0)处的切线，丨与双曲线C交于不同的两点 A, B，证明 AOB的大小为定值【解法1】此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力.a23I由题意，得 c 3，解得a 1,c3 ,C込a2点 P x0, y0 x0y00 在圆 x2 y22 上,圆在点P x0,y。处的切线方程为y y。X0X y。X0,化简得x0x y0y2.22 y 彳,X1由2与2 2冷y22 b

6、2c2 a22 ,所求双曲线C的方程为x21.XoXyy 22 2 23x0 4 x 4x0x 8 2x0 0,切线丨与双曲线C交于不同的两点A、B,且0 x22 2 2 2- 3x2 4 0,且 16X0 4 3怡 4 8 2X00 ,设A、B两点的坐标分别为x-i, y-i , x2, y2 ,【解法如此 x2 COS AOB4xo3xo 4，X1X2OA OBOA| OBOA OB x-|X22】I同解法1.X1X2y2为X22 4Xo3Xo1y。2X0XiXoXiX22xX2,2X0X1X228 2xp3Xq 48 2x23x： 48x03x03x00.AOB的大小为90 .n点 p

7、Xo, yo Xo yo20在圆X2上,2 2X 8 2X0圆在点PXo, yo处的切线方程为y yyoX X0 ,化简得X0Xyoy2.由XoX2y2yoy 21 与 Xoyo 23X2x2 4x0x 8 2xf3x0 48y0X 8 2x00切线丨与双曲线C交于不同的两点A、B,二3x40，设A、B两点的坐标分别为Xi,yi,X2,y2 ,如此壮8 2x02xo 82 ，3x0 4二 OA OB X1X2y$20 , AOB的大小为90 .x0y02 且 xy 0 , 02X。2,0 y 2，从而当3x240时，方程和方程的判别式均大于零2练习1:点A是椭圆C: 92yt0的左顶点，直线l

8、 : x my 1(mR)与椭圆C相交于E,F两点，与x轴相交于点B .且当m 0时， AEF的面积为163I求椭圆C的方程;n设直线AE , AF与直线x3分别交于M , N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由2圆锥曲线与图形形状问题x2例A, B, C是椭圆 W + y2 = 1上的三个点，O是坐标原点.4(1)当点B是W的右顶点，且四边形 OAB(为菱形时，求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OAB(是否可能为菱形，并说明理由.2x解：椭圆WF y2= 1的右顶点B的坐标为(2,0).4因为四边形 OABC菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分.所以可

9、设a(1，m，代入椭圆方程得1 + m= 1，即 作4AA所以菱形OABC勺面积是一I OB AC = - X2X2| m = . 3.22假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y = kx + m(k丰0, m0).x24 y 42 22消 y并整理得(1 + 4k)x + 8kmx+ 4m-4= 0.kx m设 A(xi, yi) , Qx2, y2),如此4kmy1 y22，1 4k2m1 4k2所以AC的中点为M4 kmm1 4k2 ,1 4k2因为M为AC和OB的交点，所以直线 OB的斜率为14k1因为k 工一1，所以AC与 OB不垂

10、直.4k所以OAB(不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形 OAB(不可能是菱形.2 20)过点(2 , 1), 且以椭圆短轴的两个端点和一个练习1 ：椭圆C :笃每 1(a ba b焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形(I )求椭圆的标准方程;(n )设M (x, y)是椭圆C上的动点,P ( p,0)是X轴上的定点，求 MP的最小值与取最小值时点M的坐标.3圆锥曲线与直线问题例椭圆C : x2 2y24 ,(1)求椭圆C的离心率.2上，且OA OB，求直线AB(2)设O为原点，假如点A在椭圆C上，点B在直线y22与圆x2y 2的位置关系，并证明你的结论解析：椭圆的标准方程为:

11、-2，离心率e -a22直线2 2AB与圆x y2相切.证明如下:法一:设点AB的坐标分别为xo yot 2，其中Xo因为OA丄OB，所以OAOB 0，即 txo 2yo解得t2yoX。xo t 时，yot2,代入椭圆C的方程，得22,故直线AB的方程为x 2 .圆心0到直线AB的距离d2此时直线AB与圆x2y 2相切.当xo t时，直线AB的方程为y 2生二x t ,xo t即 yo 2 xxo t y 2xo tyo o .圆心O到直线AB的距离d又 xO 2yO 4 , t2yox，故dxo42xo 8xo 16血.此时直线AB与圆x2 y22相切.法二：由题意知，直线 OA的斜率存在，

12、设为 k，如此直线OA的方程为y kx , OA丄OB ,当k 0时，A2 0，易知B 0 2，此时直线AB的方程为x原点到直线AB的距离为 2，此时直线AB与圆2相切;当k 0时，直线OB的方程为y lx ,k联立2kx 2得点A的坐标1 22y242k.1 2k21 2k22k22k ；1联立Xk得点B的坐标2由点A的坐标的对称性知，无妨取点A2k.1-进展计算,22k于是直线AB的方程为:2k丄2y 21 2kx一22k1 2k2即 k 1 2k2 x 1k .1 2k2 y 2k220 ,2k221 k.1 2k2原点到直线AB的距离此时直线AB与圆2相切。综上知，直线AB 一定与圆2

13、相切.法三:当k 时，A 2 0，易知B 0 2，此时OA 2 OB 2 ,AB J22 222 2，原点到直线AB的距离dOA OBAB此时直线AB与圆x2 y22相切;当0时，直线OB的方程为yXiy1BX2 *，如此0A1 k X1， OBky221 k2 ，联立kx2y22得点A的坐标1 2k42k1 2k222k22k1 2k2.是0Ab的离心率为飞，Aa，0，B（0，b），。0, 0X2例4.2:椭圆C：a OAB的面积为1.I求椭圆C的方程；（I I）设P的椭圆C上一点，直线 PA与Y轴交于点 M直线PB与X轴交于点No求证：AN ? BM为定值。1鼻1)由已如得.e = y曲

14、血=1“血jflB =护+ X，血解?；3=2=1则wm方殍为(11) IftUBfl上/SP 的峑标为2M0.SW).只已ftl ApP0).B0.1)t 则直fitPJl 的方程为sln6y = r a_z O 一 2)2qqsB - 2令就可以得到财点呐标为/23 .(I)求椭圆C的方程;(n )动直线y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点.假如线段AB中点的横坐标为1 72,求斜率k的值；假如点M ( 3，0),求证：MA mb为定值.2 3练习2:抛物线C : y2 = 2 pxp 0，其焦点为F, 0为坐标原点，直线 AB不垂直于x轴 过点F且抛物线C交于A , B两点，直线OA

15、与 OB勺斜率之积为p .1求抛物线C的方程；2假如M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点 D ,求证：-|OD| 2|OM |1练习3:动点P(x, y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l：x 4的距离之比为.2(I )求动点P的轨迹C的方程；定点 A( 2,0)， B(2,0)，动点Q(4, t)在直线丨上，作直线 AQ与轨迹C的另个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为 N，证明：M , N ,F三点共线.5圆锥曲线最值问题x2 y 2例5:椭圆C：冷 2 1(a b 0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A, B两点,a b2|AB| 2.I求椭圆C的方程;设点 P是椭圆C上的一

16、个动点，且点P在y PA , PB与直线x 4分别相交于M , N MN为直径的圆与x轴交于两点E, F ,求点P横坐标的取值 X围与| EF |的最大值.解：I由题意可得，b 1 ,c3e -a22 a1 3得2a4解a24 ,x2椭圆C的标准方程为x 2y 145设 P(Xo,y)(O xo 2), A(0,1) , B(0, 1),所以kPA生，直线PA的方程为yX0心X 1，X0同理：直线PB的方程为yyo!x 1，x0直线PA与直线x4的交点为4(yo 1)M(4,x01)，直线PB与直线x4的交点为N(4,4(yo 1)1)，Xo线段MN的中点他），(4，x0所以圆的方程为（x 4

17、）2(y24 2)2 (1-)2，XX04y0、2如此(x 4)216y22X(110因为2X042y。1,所以y0 12x011分所以(x4)2色5X0因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解,所以5-X00,解得 x0(8,2.5设交点坐标（為,0）,（x2,0），如此|為8Xo14X2练习1 :椭圆C:字a2 y b2的一个焦点为F（2，0），离心率为毎。过焦点F的3所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为2.直线l与椭圆C交于A B两点，线段ABK点为D, C为坐标原点，过0, D的直线交椭圆于MN两点。1求椭圆C的方程；2求四边形AMBN面积的最大值。练习 2：椭圆 C : mx2

18、3my2 1(m0）的长轴长为2 6， 0为坐标原点I求椭圆C的方程和离心率;设点A（3,0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，假如|BA| |BP|，求四边形OPAB面积的最小值6圆锥曲线存在性问题，点 P 0,1 和点 A m,n m0都在2 2例6.椭圆C : 每 1 a b 0的离心率为a b椭圆C上，直线PA交X轴于点M .I求椭圆C的方程，并求点M的坐标用m n表示；n设O为原点，点B与点A关于X轴对称，直线PB交X轴于点N .问：y轴上是否存 在点Q，使得 OQM ONQ ?假如存在，求点 Q的坐标；假如不存在，说明理由.解析:b 1,I丨由题意得-, 解得a2a22 , 2