圆锥曲线最值问题教师版

1、谈圆锥曲线最值问题知识要点概述高考中，解析几何内容占总分的20%左右，而圆锥曲线又是解析几何的主要内容，占总分的15%左右，分值一直保持稳定且题型多样，方法灵活，综合性强，常被安排在试卷 的最后，作为把关题或压轴题。而由于圆锥曲线的最值问题又是其重点出题之一，它涉及知识面广，常用到函数知识、不等式及三角等重点知识，又因为其灵活多样，故它能更好地考查学生对数学基础知识，数学思想方法和综合运用数学知识解决问题的能力，要求较高， 难度较大，一般学生不易解答完整。解题方法指导1.解决圆锥曲线问题的方法几何法：数形结合，借助图形及圆锥曲线的定义、性质及平面几何的相关知识 (如两点之间线段最短，点到直线的

2、垂线段最短)进行巧妙解题。代数法：建立目标函数，转化为函数最值问题，常可选用配方法、判别式法、不 等式法、利用函数单调性以及参数法等。2 运用各种方法需注意的问题几何法：凡涉及曲线上的点到焦点 (或准线)距离时，常联想圆锥曲线的第二定义， 利用数形结合的思想解题， 故应画出直观图象， 分析代数式含义，把“数”与“形” 进行有机转化，能达到事半功倍的效果。配方法：常与二次函数相结合， 根据二次函数图象及自变量范围可求最值。若对称轴位置不确定，要分类讨论。判别式法：目标函数可转化为关于x的方程F(x, y)=0且方程有实根，故L 0。不等式法：均值不等式可有效求得最值，但要注意条件“一正，二定，三

3、相等”的 条件。利用单调性：若不是初等函数，可利用求导得函数单调性， 且精确得出自变量范围， 再求得最值。参数法：注意引入参数前后方程的等价性。范例剖析2例1若P是双曲线 -y 1右支上的一个动点，F是双曲线右焦点，已知3A(3,1)，求|PA+|PF的最小值。2解：a = 3, b = 1,=,设点P到右准线距离为PF=23 PHPA+Ipf=PA+PH>|AA'2 11 1PA +23 PF的最小值为3。2利用数形结合是实现转化的重要思想方法。 有平面几何的知识得到最小值。2 a 二 3 - 一c评：圆锥曲线的综合问题常用转化的数学思想, 双曲线的第二定义把代数式转化为两线段

4、的和,2例2已知抛物线C: y2 =4x(1)若椭圆左焦点及相应的准线 C与抛物线的焦点F及准线丨分别重合，试求椭圆短轴端 点B与焦点F连线中点P的轨迹方程。(2)若M (m,0)是x轴上的一个定点，Q是(1)所球轨迹上任一点，试问MQ有无最小值？若有求出，若无说明理由。解：由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0)，准线l:x=-1(1 )设P(x, y)，则B(2x -1,2 y)，椭圆中心为 O'，则FO ' : BF =e，设点B到丨的距2 2离为 d，则 BF :d =e二 FO' : BF = BF : d，即(2x 2) +(2y ) =2x(2x 2)，化

5、简得P点轨迹方程为：y = x -1 (x 1)(2)设 Q(x,y)，则MQ(x -m)2 y2.(xm)2 x 一1x (m ；)(x 1)m-541 3 当m -兰1即m兰时，上在(1 ,+处)上递增，t无最小值，故 MQ无最小值2 2 当口一丄冷 即m>3时，t在x=m-处有最小值m-5，故MQ .二Jm卫2224 I mm 、 4评：第(2)问考查了综合运用数学知识建立曲线方程的能力。第(3)问主要考查了利用二次函数的图象性质和分类讨论的思想求函数最小值，字母常是引起分类讨论的一个点。本题需要良好的分析问题和逻辑推理能力。例3.AB是抛物线y=x2上的动弦，且|AB=a（a为常

6、数，且azl）。求弦AB中点M 离x轴的最小距离。解：设 Iab ： y = kx m 代入 y = x2 得：x2 - kx - m = 0."： =k2 4m 0 设A(x1,y1)， B(x2,y2)则x1+x2=k, xx -mAB = J(Xj x2 j + (% y2 j 二(1 +k2Jk2 +4m = a .a2 = (1 k2)(k24m)得m =丄(a 2 -k2)4 1k2又 +y2 =k(xj+x2)+2m=k 2m出和2 1宀二y0 = k + m221 I 22 一 k4(1 k2)42亠)1 k2)2 2 1=-I +(k +1)14 Vk2A 1 X2

7、 X4 .2当-a=(k2 1)即k2 仁a时等号，即最小距离为1k21 .2a2k2J(k24Ji (k2 1) 送1 a评：解题思路是联立直线方程与曲线方程， 求弦长及中点坐标， 再用一个变量表示另一个变 量，使目标关系式仅表示为一个变量的函数， 达到消元目的，最后目标函数变形转化为可用 基本不等式的形式，达到求最值目的。本题主要考查了抛物线、一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式和基本不等式等基础知 识，也考查了如何消元（参）及转化的数学能力。例42 2 2 2已知椭圆C的方程为：笃爲=l(a b 0),双曲线笃-爲=1的两条渐近线为 a ba bh、12,过椭圆C的右焦点F作直线I,使

8、l_h,又I与12交于P点，设l与椭圆C的两 个交点由上至下依次为A B。当li与 12夹角为60°,双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；求£A，的最大值。|AP解：(1)； a b 0-b .0 1 a-=Tan30o a又C'2 二 a21 _即 a = . 3b 又2C' = 4,即 C' = 2b2,即 4=4b2b2=12.a =-.3.椭圆方程为y2 =13例5.设P(X1,yJ启(X22),川，R(Xn,yn)(n=3,XN)是二次曲线 C上的点，且 a1 =|OR =OP22il|an =OPn2构成了一个公差为d(d0)的等

9、差数列，其中O是坐标原点, 记 Sn 二引 a?屮1 - anx2a2(1)若C的方程为(2)若C的方程为2+仏=1, n=3点R(10,0)且£=255，求点P3的坐标(只需写一个)；100 252 2笃+每=1(a>b>0)，点R(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时, a b求St!的最小值;解:2 .(1 a-i = OR =100又 S3 =ai + a2 + 直=302 =255a2 =5 . d =a2 - ai=100 - 85=15a3 =a2 +d=70设P(x, y)则x2 + y2=70,不妨设 P( .70,0);2 2(2)原点O到二次

10、曲线上C：爲+爲=1(a b 0)个各点的最小距离为b,最大距离为a -b=a2, d : 0,且an2 2,b -a d -n 1=a2(n -1)d _ b2 可得：< d ： 0b2 a2n1022-,0)递增22 n(n -1) b -a又 Sn = nqd在-2n -1b2 -a22 n(n -1) b2-a2 n(b2 a2).当d= 时，Sr有最小值na2n12 n12评：高考对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合， 对重点知识的考查会保持较高的比例并达到必要的深度， 因此对知识点综合性较强的题型学 生应给予充分的重视。本题主要考查了圆锥曲

11、线等差数列和函数等重要知识，只有对各部分知识牢固，灵巧掌握， 才能精确得出自变量 d的范围，最终求出 &这个一次递增函数的最值。例6.2已知椭圆y+y2=1(a > 1)，直线I过点A(- a,0)和点B(a,ta)(t 0)交椭圆于M， a直线MO交椭圆于N。若t"1,21，a为定值，求三角形 AMN面积S的最大值。解:A(-a,O) B(a,ta)可得I的方程 (x a)22x + 2=1 +y =1a可得(a2t24)y2-4aty = 0"0或八化a t +44at=a - a4ata2t244a 2t2t24a2ta2t 4t令g(t)二 a2t 4

12、，则 g '(t) =a2a2t2 -4(at -2)(at 2)t2t2oo当t 2时g'(t)0；当 0<t ：r 时，g'(t) ：0aa故：g(t)在(0, 2)上递减,在(2,+ ：J上递增。a即:lo.当12o.当 0.2 <2a_2 < 2即 卩 1< a _2 时, a2< -< 1 即2< a时,gminagmin2=g(_) = 4ar Smax = aa二 g(1)=4 a r Smax -4a24 a2评：本题主要考查了使用基本不等式应注意的条件，求导确定函数的单调性，以及分类讨论2的思想。此题因不知 -

13、是否在t范围内，因此不能使用基本不等式，考查了综合分析问题解a决问题的能力。例7.若点(x, y)在椭圆4(x -2)2+y2=4上，求1的最小值。x解：令丫二心 则y=kx代入4(x-2)2+y2= 4中得 x(4+k 2)x2-16x 10因为方程有解则=16-4 (4 k2) 12 一02 3 - 23k上2 3故y的最小值为-出x3评：本题主要考查了直线和圆锥曲线的基本知识，思维的闪光点是联立直线方程与曲线方程后整理成的一元二次方程有根，故厶_0,判别式法是典型的常用方法，应熟练掌握。例8.点P(x,y)在椭圆 乜 乞 (y-lf =1上，求x - y的最大值。4解：1 < 22x _2不妨令