圆锥曲线解题模型

1、直线和圆锥曲线常考题型运用的知识,I、中点坐杯公式：X = Ali.,y = 21±A, 中X,y杲点川斗,”）（七,儿）的中点坐标2、弦K公式：若点A（几儿），*（勺.儿）4啟线y kx+b（k *0）±t则y严U+几“ = g+b这是同点纵横坐标变抓 是两大坐标变换技巧|A5|= J（斗一壬尸+（牙一儿尸=J（片一壬）2+（匕一爾尸=/屮2心_£）2 =（1 + 疋）（旺 +）2 4兀血或者 I 人 b| = J（石一七）2+（”_儿）2 =JG 儿-|）2 + （>-,-y2）2 =J（l + -）（>'|-y2）2 =J（l + *）（

2、X + >2）2 一 4）1 儿3、两条直线4：y W+Q，4：y=垂直：则=-1苗条亢线垂则用线所在的向试片1，2 =0h厂4、韦达定理：若一元二次方程ax2 +£>x+c = 0（o*0）W两个不同的根心七.M'JXj + x, = ,xx2 =.aa常见的一蝴S型：M-：数形结合确定直後和Bl锥曲找的位置关系题型二：弦的垂亶平分域问题題型三'动弦过定点的问题题割过已知曲枚上定点的孩的问题题塑五：共枚向何题题塑六：面积问题題塑七：弦或弦长为定值问JR®SA：角度问题问九：四点共线问题问十：范BS问题（本质杲函数问题何十r 存在性问题：（存在点

3、，存在直线尸匕畑存在实軌存在图形，三角形（等比、等Sh直角人四边形（矩形.菱形、正方形儿圆） 题S-：效形结合UK定直枚和8B儀曲枚的位賈关系例題I、已知血线/:y = kx + l+ = 1始终有交点，求皿的取值范出4 m解：根据WX/: v = tv +1的方程可知，肖线恒过定点（0. I）, me： + - = 1过动点（0±5/万）,!/»工4.如 4 m果 11 线/:y=/Lt + imifi|51|C: + - = 1 始终冇交点则 V>h Um 4. HPl</nH.m*4>规律捉號：通过戌线的代数形式，町以看出肖线的特点：/:y = U

4、+ l=>过定点(0.1)l:y = k(x+)= 过定点(一 1, 0)/:厂2 =吃+1)=>过定点(-L 2)题塑二，弦的垂宜平分钱问题例題2、过点TCI.0)作直线/与曲线N :尸二兀交于A、B两点，庄k轴上是否存在一点&心0),使得AABE是等边三角形.若存在，求出斗；若不存在，请说明理由.解:依题克知，直线的斜率存在,且不等于0设直线/: .y 二攵(x+l), k *0. AWJ. Bg,yj由卩;(X+1)i8y整理得"4(頂_ 1)jt+疋=0y =x由£i线和抛物线交于两点，得A = (2i 1)24T=-4T + i>02k2

5、p'2kt2k2 -I由韦达定肥 得:斗+七=_殳一山土 =1则线段AB的中点为(线段的时理分线方外为:守)令冃叫尸右讣则畤岭°)v ABE为正三用形 E(丄T-丄.0)到力线AB的距离d为 2k22|人四=(石_丹)2+(才一儿尸=斗¥ J1 + F d = J：曲：火TiTF=盘了解得&=土亜満足式此时X(l=-. 2L21|133型三：动弦过定点的问題40例題3、己知椭阴IC：务+右=1(。>»>0)的离心率为晅，且在只轴上的顶点分别为Ai(20).A2(2,0)(I)求椭圆的方程二(II)若直线/: X = r(r > 2

6、)与X轴交于点T,点P为H线/上异于点T的任点,負线PAl.PA?分别与椭圖交于M、N点.试何直线MN是杏通过側 岡的焦点？并证明你的结论fh (I)由己如橢冏c的离心率g =.“ =2则得r = J5.b = i 从而梢观的方稈为+/= i"W+2)八叶J >9r245)设时佔)直线人册的猝率为J则立綾人“的方程为y二£(x + 2),由能理得(1 + 4*12)X2 + I6M+I6jt；-4 = O -2和片是方程的两个根. 一2百="*打:1+ 4R；4k2 脑 4k廿Ey，1点“的軸'为(77#rn尹砂，设瞰A収的桝沁.則待点N的杠为(踪盏

7、 )； = &“* 2),yp = kt -2) /.苦丰-直线MN的方程为上二21=2i二2kIX-Xj Xz-X令尸°得 H、' 将点M. N的*标代入，化购后得：x = - y厂八f又-t>2. .-.0<-<2v*fira的烬点为(V3.0).*.-=>/5.即; = II3故当/=y 时.MN过桶恻的热点.型四：过已知曲枚上定点的孩的冋逼例聽4 知点A. B. C是桶関E： 4+4 = 1上的三点.具中点A(2>/3.0) 的右顶点.山找BC o- b1过椭圖的川心0,SC=0, |c| = 2|Xc| . tel号 求点C的坐

8、标及楠團E的力涩；(II若HHSlE上心纟两点PQ.便鮒直线PC与直线QC关于fi.r = V3对空求直线PQ的斜率.解：区| = 2网,目BC过楠B1的中心O.-.|oc|=|ac|-.mc5c=o .- ZAC0 二壬又 A (2 J5,0) .点 C 的坐杯 为b血.vA(20) feffiPU的右顶点,;心=2吳则柿阴方程为：£. + 21 = |12 b将点CC/5.JJ)代入方程.得於=4. 桶関E的方理为丄+工-|124(II)V直线PC与直线QC关于ax = V3对称.及£1綾PC的斜率为I 対虫伐QC的斜牢为-I 从而玖找PC的方程为:y-V3=(x-V3

9、)> WJy = U+d(l-R)宙!尸&+血 If 消 y塑理徐 x2 + 3v:-12 = O二罕斗同理可彼罕咛石（1 + 3疋）Q 若（1 + 3疋）（1 + 32）”+迅（1一&）兀+9“一18；:-3 = 0兀=巧是方程的一个根,yQ = %+力(-肪 + % _>/J(l + R) = k(xp +%)_2馆2 =-12&75(1+ 3T)_ 二9£-1弘-3 9£+1弘一3= -36女1» 九-75（1+3”）J5（i+%） V5（i+3i）方 则逍线PQ的料率为定值丄。題塑五：共找向量问題例題5.设过点1X0,3

10、）的直线交曲线W + - = 1于P.Q两点.且OP = /d2,?R实数/的収值范恥94解:UULlIHMJ设 PfgyJ.Qfgy/.Q DP = / 0(? (xbyr3)=/ (x2ty2-3)即lx.3 * /(v, 3)判别式払.韦达定珅浓.配凑法设ripQ的方程为:，=虹+ 3*工0,由|：虹+ ?消y整理后，得4x +9y = 36(4 4 9f + 54kx + 45 = () P Q 是曲线 M 上的两点A = (54A:f -4x45(4 + 9A:2) = 1- 80>0>5由韦达定理弘54R4+91§皿 一（1"）362:45（4 +

11、9，）A5（1+ 2）2由得OvJs丄代入.整理得 吹 5肖直线PQ的斜率不存在，即x = 0时,总之实数/的収值范旳是中二BfflA：面积问题例题6.已知啊呦C：45"2巴+巴+ 2 忑 X,91 + 4,4:=1 +79“9k.36A“ 9解之得丄V久<55(1+ A)255易知几=5或2=丄。54 + 9"（a>b>0）的离心申为些,短轴一个端点到Xi.f'- A的距离为73。< I )求椭圆C的方程:< II >设卫线1与肠関C交于A、B两点，坐标原点O到XI线1的距离为返，求AAOB面枳的址大值. 2解：(I )设椭圖的

12、半焦距为c,依题总£申."=1, .所求椭關方枳为+y2 = l.< a 33a * y/x(II)设 AC中 y,). B(xr y2). (I)当 AB 丄 x 轴时.<2)当 AB 与 x 轴不垂直时.设頁线 AB 的方程为 y = k.x + m 由已luJH , f<jm2 =|(Jt1 + l),把y “ + /«代入#6圆方程整理得(3k2 + l)x2 + 6曲 + 3m2-3=0.-6km/. x +x =；3dM讣邮""也-讦=(1+小36曲12(亠1)(31 + 1)3 + 112(疋 + 1)(3&qu

13、ot;,-亦)(3P+T73(" + IK9"+l) (3Jt2 + l)2(“0)W3+122x3 + 6Wk=± '时等号成立。当点=0时.AB = 4i.综上所述|48=2当AB址大时. AO"面枳取呆大值S = ' |A|z x £ = £2 2 2题型七：弦或荻长为定值问题例趣7.在平面宜角坐标系xOy中.过定点C (0. p)作线与拋物线宀2py (p>0)相交于A. B两点.(I)若点N是点C关于坐杯原点O的对称点，求厶ANB面枳的披小位：<11)是古存在垂肖丁 y轴的宜线I,便得1 被以AC

14、为直径的例截斜张K恒为定值？若存在.求出1的方程；若不存在.说明理由.:.当& = OW， （SA1AV）min = 2运円.（11）假设满足条件的直线1存在,其方祝为y=aAC的中点为O"与AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点 为H,则07/丄PQO点、的坐标为（半4）少円=勻人I = £ Jx： +（儿-用=；Jy； + b 少|斗一屮 =；|2_儿-p.=|O艸-少卜;（y； +小_（加_ y, _沙在.其方程为y = £,.|PQf = (2|PW|)2=4 (a -£)比 a(p-a)令a-# = 0,衍“ =£此时PQ

15、= P为定伯，故满足条件的貞线I存即抛物线的通径所在的自线.餌法2：(I)前同解法I,再由眩长公式得a b = Vi + '|a-| - x2|=Ji +x2)3 -x, = Ji + " JWF + 8“，= 2pJl + FjF + 2.乂由点到贞线的韭离公式得d = -r Jl+F从而 S©rn = d卜科=2pjI + L+2=2/rJ* + 2、22Jl+F当 R = 0时，(SUffV)max = 142p2.(II)假设満足条件的直线l存在,其方程为y=a则以AC为直轻的圆的方程为（大一0）（文一 J*一（y pXy ”）= 0将线方秤y=a代入得X2

16、 一xx一(a p)(a 一 儿)=0.则A=x； - 4(a - “)(4 -卄)=4 (a设直线I与以AC为直径的侧的交点为P（x2,y2） ,Q（x4,y4），則有+ a(p-a).令么-#二0得&二务此时|PQ|二"为定伯.故满足条件的貞线丨存在.其方种为丿二£即抛物线的通径所在的fi线.題塑八：角度问题例遗8、（如图 ）图，"（2, 0） fil 3 （2, 0）是平面上的两点.动点P满足：|PM| + |/W| = 6. （ I ）求点P的轨迹方程；（II）若|PM|PN|=，求点"的坐标.I 1 11 1-cosZMPN解：（I）由

17、椭圆的定义,点P的轨逝是以M V为焦点.长轴长2沪6的楠圖 (21) ffl 因此半焦距尸2,长半轴沪3,从而短半轴H 岳二7二石所以椭岡的方程为+ - = 1.5（11）由 | PM11PN卜=7.得 |PM | |P/V| cos MPN = | PM 11PN| - 2.（D1 - cos MPN因为cosMPN工1.P不为摘阕K轴顶点故 U构成三角形在PX中.|AW| = 4jll余弦定理彳j=|PMf +1PNf _ 211 P/V|cos MPN. 将代入，紂 4|PM| +|PN一2(|PM|PN|-2).故点P在以""为焦点，实轴K为2力的双曲线-/ = !

18、上 由（I珈点P的坐标又满足和斗"所以由方程组何+9宀無斜"土爱X2 + 3y2 =3.広>，=±即p点坐标为（塑湮）、（迺 逅）、（巫更）或a 僅）.2 2 2 2 2 2 2 2问題九：四点共銭问题例题9、设梅闘C:匚+与= l（a>b>0）过点M（JIl）睛焦点为（->/2.0）a b<I）求椭圆C的方程二讦明：点Q总金浆定K线上解由題急：C-2 = 20 122-t + -v = I ，侪得a2=42 = 2.所求側园方程为 + - = 1(C Zr4 2c2=a2-b2方法一设点Q. A. B的坐标分别为（儿刃,（几）,（工

19、22）APRtWJ2>0 IM # I又A, P, B. QPq点共线，从而丽=-&两，元=20云于是从而彳二占_ 251-2X + 久耳=-I + XH - 2儿1-2(1)I-Z2又点A. B件闿回C上，即X； + 2y? = 4.(1) + (2) X2 并结合(3人(4) 4s + 2y = 4即点 e(x,y)总在定 3«2x + y-2 = 0±方法二设dQ（、,y）,AO）,B（心,”），由題设，|顾两|范面|均不为孑.(1)(2)又P.40艸点共细 可设丙二-尤?0两=2页（&皿0.±1） 于是4-2x1 - ZyTTO，1=

20、TT4 + Zx1 + Zy77TO?2=77T由于）在tttac±,将（1）, （2）分別代入C的方ly.r+ 2/=<«?理御(x2 + 2y2 - 4)a2 - 4(2x + y - 2) A +14 = 0(3)(x2 + 2y 一4)2, + 4(2.r + y-2)2 + l4 = 0(4)(4)(3) 得& 2x + y-2)Z = 07 2*0./. 2x + y-2 = 0閒点Q(仏y)总在定直线2x + y-2 = O上问息十：苑国问息(本就是褚数问JK)设片、人分別+ y2= I的左、右焦民4（I）若P足该桅列上的-个动点，求PR P&a

21、mp;的址大值和赧小債：（II）设过定点M（0.2）的fl线f与椭阀交于不同的阿点A、B, HZAOB沟锐角（其中O为坐杯原点），求tl级/的 斜率R的取值范用解：（I ）解法一：易知" = 2,b=l«=J5所以斤（r/10）斥（J5.0）,设P（.to）.则PF -PF, = （75-.t,-yj,（V5-x,-y-x' + y' -3 = a? + 13 =扌（3十-8） 因为卜2,2,故x = 0,即点P为椭阴如轴站点时，PF巫右城小值-2 当 = ±2,即点P为楠闘长轴缁点时，祈 巫冇址大值1两两=阴两 cos ZF严*2-3 （以下同解

22、法一）解法一：易知4 = 2上= 1C = J5,所以斥（J,O）,&（JIu）,设P（d 则+ )"+(“-J5) +'-12（II）鼻然自线x = 0不満足題设条件，可设II线=（几2）"（%儿），I、kz + - x- + 4fct + 3 = O 4丿rr + 4由 A=(4il)： -4+x3 = 4jt2-3>0： k>-X0°<Zy405<90<,<=>cosZA0a>0<=>CM d5>0/.CM面二片占 + 为兀又为为=(X+2)(g + 2)= RhE + 2R(

23、ii +土)+ 4 =q it2 + I+ - >0.即R?<4-2<点<2+ - F +丄44执由、W#或纠问十一、存在性问乩(存在点.存在宜践y=kxmF存在实航 存在附形：三角形(务比、宜角儿四垃形 (矩形、菱形、正方形人)T 叶I 3过M (2, V2) . N(艸点5地标原点,(I)求椭BSE的方程$(ID足否存介恻心作原点的使得该闖的任懸一条切线与椭闘E恒有対个交点AbllO/i丄0用？若存介，写出该圆的方程.并求AB的取值范Itb若不存/卜说明理宙.解：因为椭BSE：亠+ j = l (a,b>0) hl M (2, y/2 ) <r /r M&.l)曲点.所以/沪解得6 1 .3 /rlh2 4:二沖E的方程为訐中(2)假设存A肉心仆原点的虬 使冯该刿的任慰一条切线与椭恻E恒和旳个交点Ab II鬲丄丽股该阅的切线y = kx m方程为) = &“”】解方程如j2 v2+ = 184得宀 2(kx + m)2 =8,011(1 + 2f + 2m:-8 = 0,则厶=l627n2-4(I + 2jt2)(2wr-8) = 8(弘，一/ + 4)>U即8疋-龙 + 4>04 bn斗 7 = ：八八wf、门f y.> k(2nr -8)42/rT2 "i S”