圆锥曲线推论及证明

1、圆锥曲线（椭圆）推论及证明引言圆锥曲线作为一类特殊图形由于它的灵活性而成为热门考题。而在江苏的试题中它往往与函数相伴而行成为解析几何的题型。这些题目的形式大多是两问或三 问，前面的问题以特殊情况来求出一种结论， 最后一问将这个结论推广到给定条 件下的任意情况，而这类题目中曲线又多是椭圆。这次我们就来总结椭圆的一些 特性。1我们都学过在圆上过圆心的直线 AB交圆的两点A B及圆上另一与A B不重合的点C形成的三角形为直角三角形，其中/ ACB=90 （图1） 放在坐标系中则得 kAC kBC =-1 0那么是否在椭圆中过椭圆中心的直线 AB与椭圆交于A、B 两点（图2），其中kAC kBC为定值

2、？B由投影变换（图3）我们可以预测这种关系。下面我们来证明其正确性：证：设 A (x,y ) ,B (-x,-y ) ,C (m,n)kAC kBCn _ y n ym x m x2 2n y-22m x2 2 2 2(a2 一誓)(a2 一苓) bb2 2m x2 2 2 2 a x a m2 2b2 b22 2m -xa2证毕投圆影变换椭圆小结：这个结论需要牢记，因为在很多问题中我们会用到这个结论 例如右图所示，图中AC与AB斜率积为定值，CD与 AB斜率积也为定值，那么AC与CD斜率的商就可以求出是定值2 2而若AB是椭圆y=1的不平行于对称轴的弦，M(Xo,yo)为AB的中点，贝U k

3、oM kAB二b2与，即 Kabab2Xo2a yo证:设 AS),)，则 M 为:设AB为y = kn n，椭圆方程为笃 2 =1a b两式联立得E / 算X E-1=0ba2b2b2根据韦达定理得2knknXiX2b224k乙 2 . 2所以%y222n k x1 x2b2a2kn2 2 2 2 2 2 b2 a2k2 b2 a2k2a2b2a2k2nb2n_ n ib2 a2k2b2a2k2kOMkOM证毕% y2b2x1x2a2kkAB小结:b2a2kb22 a这个问题曾在题目中出现过，主要就是抓住直线与椭圆的方程联立,运用韦达定理求出Xi X2并通过完全平方公式的互化求解椭圆上点P处

4、的切线PT平分.F1PF2在点P处的外角证:设椭圆= 1,Fi(-c,0),F2(C,O),P Xo, Yo，PFi斜率为ki, PT斜率为k2 ,PE斜率为k3由题即证PT平分PFi、PF20TF2即证k3 - k2ikik2i k2k3PT为XoXYoY _i2b2一Xob2yob2Xoi kik2b2Xo,kiyo,k3yoa yoyoXob2XoXo -Cyob2Xoyo2a yoyoXo2a yoXob2Xo2a yoXocXo a2yo-b2Xo cXo - a2y；y°c cXo- b2b2 -a2 -ex。b2yoc cxoyoc同理:k3 - kib2 cxo-ai

5、k2k3yoC a2 -cxoi kik2k3 k?=iik2k3k2 -kik3 - k2i kik2ik2k3证毕X)a2a2c xob2a2 cXoc Xoa2 cXoXob2y -b2cxoyoc cxo2 2 2-a b -b cxoy°c ex。a2YoC2 n Xa2 b2b2小结：这个结论主要是通过椭圆上的点的切线方程（竽竺y =1）入手，表示出切线a b的斜率，再通过倒角公式（tantan 3 -屯 仙仙丘蜃）将 1+ta ndta n 日21 + kik2三者间的斜率两两对应求解设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别

6、交相应于焦点F的椭圆准线于M N两点，贝U MFL NF证：设 P xi, yi ，Q X2, y2 ，PQ为 y =k x c，'y =k(x-c )联立方程x2 y2 a2 b212 2 2k2ck2c2x +由韦达定理可知2 22k caXlX2=bV，XlX2b2 a2k2XiyM二一yiyia2 ac2yi aXia2 a c同理y2k2 :x2 +aa2 acb2''a2 +ac b2 i :42 23a a c 2a cb442 23a a c 2a cb442 23a a c 2a cb4a4 a2c2 2a3b442 23a a c 2a cb4a4

7、a2c2 2a3cb4=-i证毕小结:2a acacXia c2 2 a -cyyyixiaXia X2a2kXi -c X2 -c2x.|X2a xix2 广 ak2 kx2 -c 捲x2 i亠 c2 I2x.|X2a xix2 j亠 ak22a ac22a -cyixia2a acb22 2 2 2 2 2 2 ack -a b 2k ca-cb2 a2k2+b2 a2k2c22 2. 22 2 2 2ack -a b 2k caab2 a2k2b2 a2k2'2 2 2 2 2 22 2 2, 2 2 22 ,2 ack -a b -2c a k c b ack ka2c2k2

8、_a2b2 2k2ca3 a2b2 a4k2b2 a2k2k2 b2 c2-a22 2 2234, 2ack 2k a c a k-b42 234a c 2a c a这个推论也在题目中出现过，只是给了我们具体的数来计算,但思路不变。抓住斜率与点的关系，设出点的坐标和直线方程，结合韦达定理代入计算2 2椭圆笃爲=1 (a >b>0)的左右焦点分别为Fi, F2，点P为椭圆上任意一点 a b.F1PF2 “，贝U椭圆的焦点角形的面积为2 日S 应ff2 = b tan 证：设 Fi(c,0 )，F2(c,0 ), PF=m, PF2= nNFfFzuT1则S pFlF-mnsin r由

9、余弦定理可知m1 2 + n2 -(2c f = 2mn cos日PFiF2二(m + n cos -2mn = 4c22 +2mncosB m n = 2a224a -2mn =4c 2mn cos224a -4c 2mn 2mncos22b = mn 1 cos2b22b2b2mn 二1 cos= 2cos2 cos2 上2 2二 S 应 FF2'2712sin cos二b tan 2 2 2证毕小结：这也是一个典型的结论，对于做题，尤其是填空题有很大帮助总结但是我们通过独立以上总结均出自我们遇过的题目或是老师讲解过的题型, 的证明将其推向了整个椭圆的题目。 在此我们总结的不过是冰山一角，但也是较 为典型的。圆锥曲线的题目多如牛毛，但抓住直线与椭圆方程的关系，运用韦达 定理求解（如果知道这样的结论便于解题的思路拓展），那么细心计算，终会把 正确结果算出来的。而题目大致可总结为以下两种模型：一是两焦点与椭圆上的一点的关系的模 型（斜率、线段长之和等），二是关于原点对称的两点与任意一点的关系模型。 解题时从这些模型入手，会看清题目的思路，比如看到椭圆上的两点与原点的关 系就能迅速想到“点差法”。椭圆还有许多定理等着我们去了解，比如 Pappus定理（如图中六条直线的 三个交点共线）或是Pascal定理（如果一个六边形内接