圆锥曲线离心率专题

1、圆锥曲线离心率专题训练1.已知F1 , F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P,使得PF1丄PF2，则椭圆离心率的取值范围是（1 )A.B.(0,D -（°，2 .二次曲线"1, iqE I - 2,-1时，该曲线离心率e的范围是（）B.3 椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，/ OPA=90 °则该椭圆的离心率 e的范围是（A .亍，1）B. （，1）C .厅，.）D . （0,）2 24 .双曲线 +-=1的离心率e （1 , 2 ）,则k的取值范围是（）4 kB.(- 3 , 0)C.( - 12 , 0)D .( - 60，- 12 )5

2、.设F1 , F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足/ F1PF2=120 °则椭圆的离心率的取值范围是（A.B.6 .已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,B.0爭）其重心是椭圆的一个焦点,e的取值范围s 1)7 .已知椭圆x2+my 2=1的离心率1），则实数m的取值范围是（第1页共27页A S却B (即3C S和U唇Bd .务1)LW,却8 .已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在 x轴上，左、右焦点分别为 Fi , F2且它们在第一象限的交点为P, PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是

3、（ ）A.（ 0，耳B. 3,C .耳言 D . ，1）2 29 椭圆3b 2, 4b2，则该椭圆的离心率e的取值范仝_+匚（a>b>0）的内接矩形的最大面积的取值范围是 a2 t/围是（）A閉爭 B胃書C眉D 啓孕10 .如图，等腰梯形ABCD 中，AB / CD 且 AB=2 , AD=1,DC=2x（x （ 0 , 1）.以A , B为焦点，且过点e1；以C, D为焦点，且过点 A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为的双曲线的离心率为B.(心，+ ©D.(一二,+ g)2 211 .已知双曲线令-1 （a>h b>0）的焦距为$ b22c，离心

4、率为e，若点（-1 ,。）与点（1 ,。）到直线計十1的距离之和为 S,且S 一：，则离心率e的取值范围是（ ）A. |噜何b.负Bc .睜州転 V5112 .已知F1 , F2是椭圆2 2冷 +讣 1 (a>b>0)的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点，使得/ F1PF2=60 °则椭圆离心率e的取值范围是（A.B.13 .已知方程 x3+2ax 2+3bx+c=0(a, b , cR)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率,. I 的取值范围是（呼+8）B.（価 +8）2 214 .已知椭圆 亠+冬二1上到点 a2 b2A （0 , b ）距离最远的点是

5、B （0，- b ）,贝U椭圆的离心率的取值范围为（B.，则双曲线的离15 .已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与 x轴的夹角为心率的取值范围是（B.(V2» 2)（占2近）£16 .已知双曲线的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上，/ F1PF2的平分线分线段 F1F2的比为5 : 1 ,则双曲线离心率的取值范围是B.(1 ,（2，匚D. (, 217 .椭圆2=1 （a> b > 0）上一点A关于原点的对称点为I?B ,F为其右焦点,若 AF 丄 BF，设/ ABF=a，且 a，则该椭圆离心率的取值范围为（1A.18 .已知椭圆2 2Z-+=1

6、 Ca>b>0）的左、右焦点分别为¥ b2F1 (- c, 0), F2 (c, 0),若椭圆上存在点 P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）19 .已知直线I: y=kx+2（k为常数）过椭圆2 2il (a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,A .皿芈5e的取值范围是则椭圆离心率)(OS誓6sinZPFjFginZP FA.(0，:')B.(二")2 220 .双曲线斗-b>0）的焦距为2c,直线I过点（a, 0 ）和（0, b）,且点（1 , 0）到直线I a2 b的距离与点（-1, 0）到直线I的

7、距离之和则双曲线的离心率 e的取值范围是（VsB.呻)爭,V5121 .点A是抛物线 C1 : y2=2px（p > 0 ）与双曲线2 2C2 :丄-仝二1 （a > 0, b > 0）的一条渐近线的交点，若a b点A到抛物线C1的准线的距离为 p，则双曲线C2的离心率等于（）22 .在椭圆2fl （a>b>0）上有一点M , F1, F2是椭圆的两个焦点，若|肝1 卜 |MF2 |=212，则椭圆离心率的范围是（B.C.23 .椭圆=1上存在一点P,使得它对两个焦点 F1, F2的张角/ F1PF2=7T，则该椭圆的离心率的取值范B.【，1）c . (0，-2

8、224 椭圆 ' _ （a>b >0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是 （）a2 b2A （ 0，1） B（ 0，£ C 專剳 D p 42 225 椭圆；-i'： - .>i ：的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得 F1F2Pa2 b2为等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）A B.2 226 设A1、A2为椭圆- I '的左右顶点，若在椭圆上存在异于a2 b2A1、A2的点P,使得PO * p止2二0 ,其中0为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）2 227 .

9、已知点F1、F2分别是双曲线二 =1的左、右焦点，过 F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点, a2 b2e的取值范围是（）若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率C ( : - 1, 1+卜汨)D (1 , 2)28 .如图，已知A （- 2,0） , B （ 2, 0）,等腰梯形ABCD满足|AB|= - 2|CD| , E为AC上一点，且扼二入眈.又9«C、D、E三点.若 1 .，则双曲线离心率e的取值范围为（）B.1，听c .丽 +D | 歼 +8)2 229 .已知椭圆 耳+艺护=1 （a> b > 0） 上一点A关于原点的

10、对称点为 B, F为其右焦点，若 AF丄BF，设/ ABF= a,F b2则该椭圆离心率 e的取值范围为B.2 230 .已知P为椭圆 +-=1 （a >b > 0）上一点，Fi, F2是椭圆的左、右焦点，若使 PF1F2为直角三角形的点 a2 b2P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（D . L ', + m)A. （ 0， _：）B.（，1）参考答案与试题解析1.已知F1 , F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P,使得PF1丄PF2，则椭圆离心率的取值范围是(1)A.B.D.(°，解：如图所示,纣)2,当且仅当xo=O时取等号.椭圆的短轴的一个端点是到椭

11、圆的中心距离最短的点.若椭圆上存在点 P,使得PFi丄PF2，贝U cb , c2为2=a2 - c2，化为2 e，解得1 .又 ev 1,V *%.此故选B.2 .二次曲线4 評ioE -1时，该曲线离心率 e的范围是(A.B解： m - 2 ,-1,F面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.2 2 耳 n V .设椭圆上任意一点 P (x°, y°),贝U界a2 b2，可得s (;)a该曲线为双曲线，a=2 , b2= - m ,离心率e=u(4-IT=- m - 2 , - 1,3 椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，/ OPA=90 &

12、#176;则该椭圆的离心率 e的范围是（）A 厅1）B.（耳，1）C 庁，D （0，）解：可设椭圆的标准方程为:2 2令(a> b >0) a2 b设P (x, y) , / / OPA=90 ° 点P在以OA为直径的圆上.该圆为:联立a> 2, 2_ /2+y-歹92_ ax+ y 二 0J / 飞+百1I, a b，化为 x2 ax+y 2=0 化为(b2 a2) x2+a3x a2b2=0 ,-a2b2且D解得ab2ax- 勺归解得b2 - a2 2 c则/ 0 v x v a, 0< -，c化为 c2> b2=a 2 c2,匕解得:.该椭圆的离心

13、率e的范围是故选：C.2 24 双曲线二1的离心率e (1 , 2 )，贝U k的取值范围是()4 kD .( 60, 12 )A . ( s, 0)B. ( 3 , 0)C.( 12 , 0)2 2解双曲线十+戶的离心率e ( 1 , 2),2 2双曲线标准方程为：企一-上一=1 k v 0,4 k24 - k 1 v e2 v 4, 1 vv 4, 12 v k v 0 ,故答案选C5 .设F1 , F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足/ F1PF2=120 °则椭圆的离心率的取值范围是(B.C. (0,半)D Co,V3.解：F1 ( c, 0 ), F2 ( c, 0

14、), c > 0,设 P (X1 , y1),则 |PF1|=a+ex 1, |PF2|=a ex 1.在 PF1F2中，由余弦定理得cos1203 中)'* (a -已工2 _ 4c22 Ca+ex )( _ ex 1 )解得X12 =T X12 (0 , a2,Ac' - 3a20 <:v ae，即 4c2 3a 2 0 .且 e2v 1故椭圆离心率的取范围是故选A.6 .已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围( )A.(0,翠)B. © 书)C.竽，1)2 2解：不防设椭圆方程： 七+勺二1

15、(a > b > 0),a b再不妨设：B (0 , b ),三角形重心 G (c, 0 ), 延长BG至D，使|GDF丄,2设 D (X, y),则丽二(X,厂 b)，丽 a,，由 BF=-1bD，得：g 一 b二弓(k, y b),JJ解得：厂一：，-而D (辛6 -舟)是椭圆的内接三角形一边 AC的中点,所以，D点必在椭圆内部,则把b 2=a 2 - c2代入上式整理得:又因为椭圆离心率 e (0,1),所以，该椭圆离心率 e的取值范围是二3打故选B.7 .已知椭圆x2+my 2=1的离心率託 G,1)，则实数m的取值范围是()A.(0 -弓)B.4-00)C.S却U已SD

16、.务 DUd. |)弓)U (|8 .已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为Fi，F2且它们在第一象限的交点为P, PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（B.解：设椭圆的方程为=1 （a > b > 0）,其离心率为e1,双曲线的方程为-2mnD .=1 ( m > 0 , n > 0),|FiF2|=2c ,有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P, PFi F2是以PFi为底边的等腰三角形,在椭圆中，|PF1|+|PF 2|=2a，而 |PF2|=|F 1F2

17、|=2c , |PF1|=2a - 2c ; 同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c ;由可得a=m+2c3),故选C.2 29 .椭圆丄+=1 (a>b>0)的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2 , 4b2，则该椭圆的离心率e的取值范围是()B.解：在第一象限内取点(x, y),设 x=acos0, y=bsin 0, (0 v 0<厶)则椭圆的内接矩形长为2acos 0,宽为 2bsin0,内接矩形面积为 2acos0?bsin 0=2absin20 lab ,由已知得：3b 2l2ab b2,： 3b a i4b , 平方得：9b2 i4a2W6b2,9 (a2

18、- c2) i4a 2<16 (a2 - c2), 5a 2<9c2 且 12a26c2,J即e故选B.10 .如图，等腰梯形 ABCD中，AB / CD 且 AB=2,AD=1 , DC=2x (x (0 ,1).以A , B为焦点,C, D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为 e2，则ei+e 2的取值范围为且过点 D( )的双曲线的离心率为 e1；以B.(C.+ 8)解: BD=匚-口厂.丨'I.,VlHx - 1 d rjl+4x：+l|a1=, C1=1 , a2=_, C2=x ,|22s.二 e1 = , e2=, e1e2=1但e1+e 2引刁 j中不能取=”，

19、I 2+2x= 2 + - 1十4k 一 1寸1+4工+1|x/l+4x - 12二 ei+e 2=-1),贝U ei+e 2=g令 t= I :， i ( o, n(t+昌),t ( 0 ,甘£ - 1),ei +e 2 ( 口，+ g) ei+e 2的取值范围为（.！，+ m）ii .已知双曲线2 2二一三尸1 （占>1* b>Q）的焦距为2c,离心率为e,若点（-i ,0）与点（i, 0）到直线兰-工的距离之和为S,且S二二-，则离心率e的取值范围是A.孚 V?解：直线I的方程为-，即 bx ay ab=0 . a b由点到直线的距离公式，且a> i，得到点（

20、i, 0）到直线I的距离di由S,即同理得到点（-2ab7a2+b2c,s=d i +d于是得 4e4 25e2+25 O .解不等式，得'<5.由于e>i> 0, 所以e的取值范围是故选A.2 2i2 .已知Fi , F2是椭圆-41 （a>b>0）的两个焦点，若存在点 P为椭圆上一点，使得/ FiPF2=60 °则 a2 b£椭圆离心率e的取值范围是（）A.B.C.界D 冷空虫誓解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角/ FiPF2渐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点 P0处时,张角/ F1PF2

21、达到最大值由此可得:存在点P为椭圆上一点，使得/FiPF2=60 ° P0F1F2 中，/ FiPoF260 ° 可得 Rt P0OF2 中，/ OP0F2绍0 ° 所以 PoO</： OF2，即 b.其中 c=1# a2 - c2Wc2,可得 a2詔c2,即三*椭圆离心率 e=£，且a>c>0a齐V故选C2-213 .已知方程x3+2ax 2+3bx+c=0(a, b , cR)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率,-| 的取值范围是(B.解：设f (x)=x3+2ax 2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f

22、(1)=1+2a+3b+c=0 ，故 c= - 12a-3b ,所以f (x)=(X - 1) x2+ (2a+1 ) x+ (2a+3b+1)的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率,故 g (x) =x 2+ (2a+1 ) x+ (2a+3b+1 ),有两个分别属于(0, 1), (1 , + 的零点,故有 g (0)> 0 , g (1 )v 0, 即卩 2a+3b+1 >0 且 4a+3b+3 v 0,则a, b满足的可行域如图所示,，贝U p (-1,r2a+3b+l=0I4a+3b+3=0表示(a, b )到(0, 0)的距离,且(0, 0)至 P (- 1,）的

23、距离为d=31）匚咎）J字故答案为：A.的取值范围是（一 ,+ a）B （0，- b ）,贝U椭圆的离心率的取值范围为（(Of為D .:1)解：设点P （x, y）是椭圆上的任意一点,2 2勺恰1，化为则J/ tl - |PA|2=x 2+ (y - b) 2=椭圆上的点P到点A由二次函数的单调性可知:2 - c2,即离心率的取值范围是故选：C.a2 (1 （0, b ）距离最远的点是 B （0，- b ）,f （y）在（-b , b）单调递减,2c2<a2,=f (y),15 .已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为学口召，则双曲线的离 心率的取值范围是(2i

24、 2V2)解：双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=±xa贝U tan a= a.兀V住丈幵则双曲线离心率的取值范围是 1 vtan av 厶即卩 1 vvb2=2 - 2 C呂2 a2 a 1 vv 3求得V2v-B.(1 ,的两焦点为Fi、F2,点P在双曲线上，/ F1PF2的平分线分线段 F1F2的比为5 : 1 ,D. (, 2解：根据内角平分线的性质可得PF】FF?=弓，再由双曲线的定义可得5PF2 PF2=2a , PF2=¥，由于 PF2=淘a , 再由双曲线的离心率大于 1可得，1v e故选 A.17 .椭圆=1 (a> b > 0)上一点A

25、关于原点的对称点为 B, F为其右焦点,K若AF丄BF，设/ ABF=a，且a 匕,，则该椭圆离心率的取值范围为(V2A. - , 1B.D .,解： B和A关于原点对称 B也在椭圆上设左焦点为F'根据椭圆定义：|AF|+|AF '|=2a又 |BF|=|AF |AF|+|BF|=2aO是Rt ABF的斜边中点，|AB|=2c又 |AF|=2csin a |BF|=2CCOS a 代入 2csin a+2ccos a=2a丄sinG +cos CIa心，段12471TsinZPF1Ir2"sirLZ：FF1Ir2，则该椭圆的离心率的取值范围为(A .( o，.:)B.

26、解：在 PF1F2中，由正弦定理得:3inZPF1F2_sinZFF1F211sinCl +cos 'I逅<sin 2+中即e=,K ,w + n43' Win ( a+2芯八23故选B18 .已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi (- c, o), F2 (c, o),若椭圆上存在点 P使则由已知得:即：aPFi=cPF 2设点P (xo, yo)由焦点半径公式,a (a+ex o) =c (a - exo)得：PFi=a+ex o, PF2=a - exo 则a (c - a)a (e 1)e ( c+a)e (e+1)解得：x0=由椭圆的几何性

27、质知：xo>- a则,s (e T)e (e+1)>-a,整理得e2+2e - 1>0 ,解得：ev-：-1 或 e> _ ： - 1，又 e (0 , 1),故椭圆的离心率: e ( (- 1 , 1),19 .已知直线I:y=kx+2（k为常数）过椭圆2 2二;+厶尹（占>b>0）的上顶点 a2 bJB和左焦点F,且被圆x2+y 2=4截得的弦长为L，若L，则椭圆离心率B.e的取值范围是（解：圆 x2+y 2=4的圆心到直线I: y=kx+2 的距离为d=直线 I: y=kx+2 被圆 x2+y 2=4截得的弦长为L,由垂径定理,，解之得d5，解之得k2

28、/直线I经过椭圆的上顶点 B和左焦点F, b=2 且 c=- |>=-，即卩 a2=4+2 c471a*=1+k2因此，椭圆的离心率 e满足e2=/ k2I . 0 v,，可得 e2 (0 ,故选：B20 .双曲线22a2-'' I -'-'的焦距为2c ,直线I过点（b2a, 0)和(0, b),且点（1 , 0）到直线I.则双曲线的离心率 e的取值范围是（1 , 0）到直线I的距离之和的距离与点（-K_L¥+ abB.解：直线I的方程为，即 bx+ay - ab=O .由点到直线的距离公式，且a> 1，得到点(1, 0)到直线1的距离二

29、同理得到点(-1, 0)到直线I的距离由于所以:，得5討_ 1 w得驻4> 0,于是得解不等式,<5 .e > 12,即卩 4e4 25e 2+25 O .2-a2>Sc2a2 + b故选21 .点A是抛物线C1: y2=2px ( p > 0 )与双曲线C2：丄一工一二(a> 0 , b > 0)的一条渐近线的交点，若点a bC2的离心率等于(到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线 血VsA.B.解：取双曲线的其中一条渐近线:by=x,a联立,二2的by=xaZpa2P2pa7点A到抛物线C1的准线的距离为 p ,双曲线C2的离心率e=3a21b24

30、故选：C.上有一点 M ,Fi , F2是椭圆的两个焦点，若|MF1MlUr2|=2l2，则椭圆离心率的范围是（解：由椭圆定义可知：|MFi|+|MF 2|=2a ,+ IF2+2山 F 11 |M F? |=4a2,在厶MF1F2中，由余弦定理可知.2山卩|甌F2|cosQ=4 c2-|HF2|=2b2,0.由 可得：4c2=4a2 - 4b2 2|MF i|?|MF 2|cos所以 |MF i|?|MF2|cos 9=0 .2,所以 c为，即 c2为2=a2-c2, 2c2a2,所以e 故选B.2=1上存在一点P对两个焦点Fi , F2的张角/B.Fi PF2=,则该椭圆的离心率的取值范围

31、是解：T椭圆方程为:+y 2=0 ,a2-l2" b2=i，可得 c2=a 2 - 1 , c=椭圆的离心率为e=又椭圆上一点 P,使得角/ F1PF2=,设点 P 的坐标为(xo, yo),结合 Fi (- c, 0), F2 (c, 0),可得 PF 1= (- c - X0,- y0), PF2= ( c- X0,- y。),F+=0 P (xo.yo)在椭圆=1上,+12c0_ T a=0将 c2=a 2 - 122 a2 和a*02 a，代入可得代入，得+2=0，所以J= 0- - axoa解之得1 v a2<2椭圆的离心率e=,1 )224 如果椭圆丄b2B.(&#

32、176;C.(a> b > 0) 上存在点P,使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是()解：设(x, y), / P到原点的距离等于该椭圆的焦距，x2+y2=4c22 2 P在椭圆-上，2 ,2j1 -3,启b2H - 1 12K 2ab联立得/ o<x2<a2故选C25 椭圆的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得 F1F2P/ b2为等腰三角形，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）A（号于 B 4，D C（眷" D-+ U解：当点p与短轴的顶点重合时， F1F2P构成以Fl F2为底边的等腰三角形，此种情况有2

33、个满足条件的等腰 F1F2P;当厶F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，T Fi F2=F i P,点P在以Fi为圆心，半径为焦距 2c的圆上因此，当以Fi为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰 F1F2P,此时a - cv 2c ,解得a v 3c，所以离心率e当e=y；时， Fi F2P是等边三角形，与 中的三角形重复，故 e有；同理，当FiP为等腰三角形的底边时，在 e且e于时也存在2个满足条件的等腰 F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得 FiF2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e （丄，丄）U （，i）

34、2 2 一 _26 设Ai、A2为椭圆 七+f 1的左右顶点，若在椭圆上存在异于 Ai、A2的点P,使得瓦戶薦二，a b其中0为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）*x，- y), pab. (a 半)解：A1 (- a, 0), A2 (a , 0)，设 P (x, y)，则 P0=(-而二(a - x) (- x) + (- y) (- y) =0 , y2=ax - x2 > 0, 0 v x v a .2 2代入亠 丄7=1，整理得(b2 - a2) x2+a 3x- a2b2=0 在(0, a )上有解,32令 f (x) = (b2 - a2) x2+a 3x - a2

35、b2=0，： f (0) = - a2b2< 0, f (a) =0，如图: = ( a3) 2 - 4 x (b2 - a2) x(-a2b2) =a 2(a4 - 4a2b2+4b 4 ) =a 2 (a2 - 2c2) 2为,对称轴满足0 v-v a，即£2c2二，又 0 v二v1 , v -2a2 av 1，故选=1的左、右焦点，过 F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点,e的取值范围是(若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率A .( 1 , 1+尺为B.(1，的)C.( : - 1 , 1+忙；:j) D . (1 , 2):解：根据双曲线的对称性，得 ABE 中，|AE|=|BE| , ABE是锐角三角形，即/ AEB为锐角由此可得 Rt AF1E 中，/ AEFV 45 ° 得 |AFl| V |EFl|b2C2-a22aa |AFi|=,|EFi|=a+