圆锥曲线的几何性质

1、圆锥曲线的几何性质、椭圆的几何性质（以j+f21、" ABF2的周长为4a（定值）证明：由椭圆的定义AF1BF1AF2bf22a2aAF,BF,2、焦点"PF1F2中:2(1 ) SZPF1F2= b ?tan( 2 ) ( SZPF1F2 )2max = bc证明:(1 )在 < AF1F2 中cosPF112|PF2|2 4c22|PFj |PF22 PF1PF2 cosPF1PF22 PF1PF24c2PF12 b21 cos2c2b2cossin当P在短轴上时，/ F1PF2最大b2(2)OM22 a2hmax bc2 x1 PF1 PF2 = a所以m的轨迹

2、方程为2 1 21(SZPF1F2 ) max = ?1|FF24、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y 2=a 2内切证明：取PFi的中点M，连接0M。令圆M的直径PFi，半径为rOM = !|PF222a I PFi2a -|PFi2圆M与圆0内切以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切5、任一焦点"PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于则 IIR I : IP l=e证明：连接FiI,F2l由三角形内角角平分线性质有IRIRPIF-i R F2R F-i R F2R 2c PFiPF2 PFi PF2 2aPI6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准

3、线相离。证明：令,B x2,y2到准线的距离为di,d2以为直径的圆的圆心为 M到准线的距离为d。AF2 bf2ed-ied2AF2BF2 e d1 d2AB 2Re d1d21R e d-id221d-id22Op ep 1 d 以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点,P在椭圆上，则:(IPA 1+ IPF2 I) max=2a+AFi I(IPA 1+ IPF2 I) min=2a_IAF1证明：连接AP,AF1,PF1APAPAF1PF2AP 2aAP PF1(IPA 1+ IPF2 I ) maxPFi2aAFi.2a=2a+1 AFi(IPA 1+ IPF2 I )

4、 min =2a- I AFi I& A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点,AP PF1AF1 AP PF2 2a AF1(IPA 1+)mine=A到右准线的距离证明：设到右准线的距离PF2)min =ePFd，由椭圆的第二定义有VPA dPFmin = A到右准线的距离9、焦点"PFi F2的旁心在直线 x= ±a 上。证明：令。丨与/PHF2三边所在的直线相切于PMPNF2Nf2aPF1F1F2FMF2NF2NPNF2NF1MF1AF2 A PF1PF1PNPNF1F2F2N2a 2c 2 F2A F2NF1F2F2N即为椭圆顶点。1：当AB的斜率存在时，设直线

5、 AB方程为y k x cy kx c2 x2yb2x2 a2(k2x2 2k2cx c2k2) a2b20ab2八 22, 2、 2 222222 2 小(b a k )x 2a k cx a k c a b 02 22a k c2a e 捲 x22ae 捲 x2 e2a2k2c22a2k2ca ae,b22a2k2cb222a2k2c2a ae22 2 eb2 a2k2322a k2ab22 22ak c2ak2 a2 c2 2ab22ak22a4 22 2a k a b2a2k2c2%c k b ck2b4 a2b2 b2c2k2b22 2 a c空b22：当AB的斜率存在时,1害（定值

6、）yf12、AB是椭圆的任意一弦,P是AB中点,则K AB（定值）证明：令A为，Lr*y2kyo .kAB十b22a.kAB kOP2 akABkOPX1X2x13、椭圆的短轴端点为B2，P是椭圆上任一点,B1P、B2P 分别B1、交长轴于N、M两点,则有 I OM I* ION I =a 2PFoPoM证明：Bio,b,B2o, b , NX|0,PXo, yo, Mx20uuivULUUVB2PXo,yob,b2mX2, bUJUuuuvBiPXo,yob,BiNXi,b由于B2、P、M共线X2buurUUUl由于PFicXo, yo,PF2 c Xo, yo4 X2bxgyo bbi、P

7、、n共线XoXiyo bXibxoyo bOM ON2"Xo b2 2yobXo2b2yo2 b2AB2Xo2a2 yo b22Xo2ab2b2yo2OM14、椭圆的长轴端点为b2 yo2Ai、A 2, P是椭圆上任一点,连结AiP、A2P并延长，交一准线于N、M两点,与对应准线的焦点张角为9o°证明：令2a,yic,N2a，y2cP Xo, yo ，a,o AujirAPujurAMXo2aa,youuju,APXoa, yo ,ULUJa, % AN由于Ai、P、M共线由于A2, p, n共线y“22ayo ( a)cXo acX2acXoa2a-ac2aa)cyo(2

8、 ayoy2a,y2yoyiy22Xoyi2 ,a yo ( cXoa2/ a 、 yo (a)CXo aa)2yiy2.24b a2 2 a cb4222accUUUl2 aFMcyb4cuurUUU2 aFMFN2 y2UUUcFNcy2uuuuuurcFMFN 0M、N与对应准线的焦i2Xo4 a2 a2 ay。2Xo2Xo 2"ayo2 b2yo> 2 a2 2 a c2c点张角为90 015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过2证明：设M c,yo则AB的方程为-2 aX c2 a罟1即召b21必过点该准线对应的焦点。16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭

9、圆反射后必过另一焦点。证明:xo, y，则过P点的切线I辿y°y2b21，直线I的法线x交轴于Q直线|的法向量为：nXoyob2uuiruuur-PF1c Xo, yo ,PF2Xo, 护|22Xo2yo2cxoc22Xo2cxob2.22b Xoa2422a c xo2a22a cxocXo 2 同理 PR 22acxo 222ab22Xo2acxoCXon1n2 yo_uuirPF12Xo1十n2CXo Xoa2r uuuu同理n PF22aex。2 a2 a(1)焦点三角形面积：S b2 cot 22 2 2(2)、过作/ F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是x y a、

10、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与X2 y2 a2内切，小的圆与X2 y2 a2外切。(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交1(6)焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值/MCN = 2arccos -e、A为双曲线内一定点 P为双曲线上动点=PA + PF2min = AF| 2a(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点,PA +|PF2 emin等于A到右准线的距离(9 )、焦点到渐近线的距离等于byAF22,2(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值a-c(11 )、P是弦AB中点Kab Kop = 3定值a1ab2x(12 )、P为双

11、线上任一点过 P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值(13)、过P的切线平分/ F1PF2 (光学性质)即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点(14 )双曲线与渐近线把平面分成5部分双曲线上的点2 x 2 a2 y b2渐近线上的点2 x 2 ab2区域的点2 x2 a2 y b212x2 a2区域的点0b212 2区域的点笃笃 1a b过渐近线上的点(除中心)只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域的点作切线分别A、B两点，与双曲线交于 C、D两点，贝U AC=BD三、抛物线的几何性质均以抛物线y 2px p o为例(1) 如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，PA + PF min等于A到准线的距离2(2) 过抛物线y 2px p 0焦点F作弦AB，其中A (xi,yi) ,B (X2,y2)则有：2 y2 p2 X1X24 AB Xi X2 p AB min 2p1AF1BF以AB为直径的圆与准线丨:xp2(3)过抛物线y2pxp0顶点作任意互