最基本任意恒成立问题-单参双参

1、2a / 八 x (a-l)x-a (x-1)(x a) 解：(1)/ f (x) =x - _ + (a- 1)=一x当-1v a0,x (-a, 1)时，f (x)v0,x (1 ,+ 8)时，f ( X )0,当a0,fx (1,-a)时，f ( X )v0,f ( x)为增函数; f ( x)为减函数; f ( x)为增函数.(x)为增函数; f ( x)为减函数;x ( - a, +8)时，f (x) 0, f ( x)为增函数.f ( Xn) _ f ( Xi)-1 对对任意 xi, X2( 1, +8)，且 X1X2恒成立不妨设X2 X1，则上式等价于f(X2) X2 -(f (

2、xj xj 0在x (1,：)恒成立构造辅助函数g (x) =f (x) +x，贝U y = g(x)在(1：)单调递增aag (x) =x + a，则 x + a0在 (1,=：)恒成立xx2h(x)=(1)2xa 二x_在 x (1, ：)恒成立，令x -11T X (1,(0,1) . h(x) max= a-4X已知祈数=一flJ-+inx+l(aER).讨论倉数的单调th定乂在R上的佛曲数只在S上遽减?茬不等式/(F(x)J+/(ajr-ln工1)32/(1)对=E1冷恒成立求实数a的取值范参变分离解决恒成立问题，本题综合了函数奇偶性和单调性，建立了不等式关系；且煮时住乩十上时住1一

3、* 切上Jan.X “mIn ,r I 2/rt-K-aJ-+hi j-bKl xt jeEbaJSrit立.即心竽且岑2对*討崗时Hit比 7 分 诜0小=呼*Cr号严禺/刃在1心上逢於准23迪比丄皿刀一9分 玫触冲化皿二IzUq.JTX!触丁)揽1.3土递誉.化触戸_=触3= 书屋. H汁LeC7TTJ1 鮭分已知临自然对数的底数，弘)=眞z卄十贬，/Cx)1, F(x)f(x),求实数口的取值范邑,(I)证明：丁1+2宀 Hx)-F(x)-/(r),訂,一“就-2宀十炉九咅丄* T1凋谨离）上卑遍涕塔.社设川说舟（小=2“-冷+丄.工r a 1 刘讥Lr汀“宀“1八一口儿肝（和汀一B创卄

4、沖单豳驚221眄g*即申小. 二当日 4时，Hx）A-a “当灯乞4时,H（x）在1, + ooj内单谒递增.H日04，2!时仝厅.即Fg*（巧”-8分人 ir(x) = 2e1-1 +1+-a4I M入c1十也（亠1）时.+2凸 4. x l + ln(|-0 时* H(对单谴递减.设x二卄与-1）,则昭即用岭）刃）-W蚊5十吨7八sag不叱 编上，若g汀 列約芒八曲的取值范叫弘 12分在横向复合导数的处理上，可以采用参变分离的方法，利用图象是否存在交点来判定导数的零点，从而研究原函数的单调区间，再结合原函数的特殊零点H 1 =0。但在解决方程：a =2ex V 1时，可以虚设一个:-；x已

5、知a，R，函数f（x）二ex-ax的图象与x轴相切.（I）求f（X）的单调区间;（n）当x 1时， 解：（i）f（x） .m（x1）lnx，求实数 m的取值范围.x -1X =e-a，设切点为（人,0）,X。10 -e- axo =0,再小01解得4-f (xo) =0,f (x0)=0,0 一 _a=0,所以 f x =ex T .当 x 1 时，f x ： 0 ；当 x 1 时，f x j.依题意，X =1 a =1,(n)令 g(x) =f (x) _m(x _1)ln故f x的单调递减区间为(_：,1)，单调递增区间为(1,；).x , x 0 .x 1x -1x 1则 g (x) =

6、e . m(lnx) -1，令 h(x) =g (x)，贝U h(x) =e mxj e _ - m.g 1 =0 ;二次导之后研究是复杂的横向复合函不定的横向复合导数，采用了二次导处理；存有特殊零点2x的图像交点来判定 h x的零点，从而判定 h x的单调区间;x J e 数；可以采用参变分离处理，通过m二x +1111 m 两种情况讨论；2 21 1ex- .1 , m( ： _2)：1，所以 h (x) 0 ,x xexAx 12二为单调递增函数；所以分 m,1，因为当x .1时，2所以h(x)即g(x)在(1,;)上单调递增.又因为 g(1)=0,所以当x .1时，g (x) 0 ,

7、从而g(x)在1,匚)上单调递增，而 g(1) = 0 ,所以g(x) 0，即f(x) .m(x-1)lnx成立;(ii)若m，可得h (xex -m(112)在(0,：)上单调递增.2x x(i)若m,x因为 h(1)=1_2m：0 , h(1 l n(2m)=2m-m2 0,1+1 n(2m)1+1 n(2m)所以存在x,三(1,1 ln(2m)，使得h(xj =0，且当x (1,为)时，h(x) :：: 0，所以h(x)即g (x)在(1,xJ上单调递减, 又因为g (1) =0，所以当x三(1,x)时，2x有根，设零点为：，则1： h x ： 0 , h x从而g(x)在(1,x)上单

8、调递减，以上部分的分析似乎让题目变得复杂:当1当 m- , m =2单调递减，(a, +况),h(x)0 , h(x )单调递增，由h(x )图象可知，(1,a ), h(x)v0, g(x )单调递减，可得。而 g(1)= 0 ,所以当 x (1,xJ 时，g(x) ：0，即 f(x) m(x1)ln x 不成立. 纵上所述，k的取值范围是(-：，2已知函数f (x)lnx.x(I)求函数f (x)在x =1处的切线方程。(n)若a为实数，函数f(x)在区间(a,a 1)上的有极值，求a的取值范围;(川)试问是否存在 k,b. N，使得ex kx b . f (x)恒成立？若存在，请写出k,

9、b的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。双参，连不等式，恒成立，采用了先找后证明的方式；In x解：(I)因为f (x): , f(1) = o 所以函数f (x)在x=1处的切线方程为y=1x1 In x小 ，In x 人e (n)因为 f(x), x 0，由 f (x)二-，令 f (x) =0 ,得 x = 1xx当 0 ：x ：:1 时，f (x)0 ;当 x 1 时，f (x) ：0所以f (x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,=)上单调递减。所以函数f (x)在x=1处取得极大值。因为函数f (x)在区间a, a 1上有极值，所以 a ： 1 ： a 1，解得 0 a

10、 ： 1。(III )因为y=ex过点(0,1)，结合函数y=ex的图象可知，当 b_1时，直线y=：kx，b与函数y=ex的图象 恒有公共点，不合题意，所以b 2xAf(x)u 乞：2 l2r-x。 (*)xxxx xexe e(i) 设 g(x) ，则 g (x)2 ，令 g (x)=0，得 x=1。xxx则g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1：)上单调递增。所以g(x)_g(1) = e 2，即不等式e . 2成立。x1 In x 、 x -2x(1 In x) 1 - 2In x , 小、(ii) 设 h(x)：2，则 h (x)4=3 (x 0),xxx令 h(x) = 0

11、,1得x ，则h(x)在区间(0,1_)上单调递增，在区间所以 h(x) _h(= ev2，即不等式21 jnx1)，贝V h(x )=11 = 10 ,x x所以函数h x在1, :上单调递增.因为 h 3 =11 n3 ：0,h 4 =2 2ln 2 0 ,所以方程h x=0在上存在唯一实根x0，且满足x i3,4 .当 1 ： x ：怡时，h(x) ： 0，即 g (x) ： 0 ,当 x x0时，h(x) 0，即 g (x) 0,x + x I n x所以函数g x=2在1,x)上单调递减，在x。，上单调递增.x Tx 1 ln xx0 1 x - 2所以 g(x lin =g(X0

12、)=+2 =+2 =怡十2匸(5,6 ).-x0 Tx0 T所以 k ： g x min25,6.故整数k的最大值是5 .订知鬧数/（卅二卍斗or + b；対散的底SO杆点（0）业的切战与龙轴平廿. i）就柑，力的伽I 炖Uj t R . t A的不计式丿仗沱（曲-1）时处减仁求曲斗算的彊大仏I解析】 = 1* 且/XO） = e 十（? = （K解得庄=一1. b = 0.3分0fci成立，则g（,r） AlR h恒增*没有垠小值，故平成吃“帝分与川A 0时，解g 3 = 0得X = 111川*当V）0时* 解得xi）时，解得,rlii；即当丁筑F.hi帕时* g单调递磁丫亡Ohmb）时+呂

13、住）单调递增+ T分故当x = Inm时取得最小值gOam） = etm -m Inmn = m-m In附一并0, 3 分即 jm-jjj lnwjH , 2t-m Lin/in- ft r 9分h（m）2minhLni,则 A伽）=1 law,令內（岀）=0,则mtt当川亡（Oe）时.城川）单-调逆増；川亡（氐+=0）时.仃（川）单调递减.故出川=亡时.h（in）取得最大值/）e）=亡二亡g加+冲，即 m + n的最人值为匕”+“叮2分2x设 a R，函数 f (x) = ax -In x, g(x) = e -ax .(1) 若函数h(x) = f (x) 2x，讨论h(x)的单调性.(

14、2) 若Itjx) g(x)AO对x匕(0,+辺)恒成立，求实数a的取值范围.2 ax2 + 2 x _1【解析】(1) h (x)(x 0)x当 a 0 时，： = 4 8a 0 , x =-2 j4 8a-1 ：1 2a4a2a h(x)在(0,1 2a)单调递减，在(1 2a2a2a:)单调递增;当a=0时,( 2x _11h (x), h(x)在(0,-)单调递减，x21在(，匸：)单调递增;21当a : 0 时，.；：-4 8a 0,2x2 -4 8a4a2a h(x)在(0,1 2a)和(亠1 2a：)单调递减,2a2a在(一11 2a2a一11 2a11 2a)单调递增;2a:-

15、4，8a _0, h(x) _0恒成立，此时函数单调递减. In x(2 )若f(x) 0对(0,=)恒成立，即ax2 - I nx 0对(0,=)恒成立，则a (一2 )x设 h(x)n2x(x .0)，则 h (x)2Inx x1当 0 ： x ：e2 时,h (x)0，函数h(x)递增；当x e2时，h(x) ： 0 ,函数h(x)递减，所以当x 0时,h(x)max =h(e2)11, a 一 2e2e/ h(x)无最小值， f(x) ：0对(0：)恒成立不可能.xf_(|x) g(x) 0 对 x(0,p)恒成立， g(x)=exax0，即 ace 对 xJ0,址)恒成立.xexex

16、(x _1)设 H (x), H (x)2，当 0 x : 1 时，H (x) ： 0 ,函数 H (x)递减;xx当 x 1 时，H(x)0，函数 H(x)递增，所以当 x 0 时，H(x)min 二 H(1) = e,.a ： e.1综上可得，cave .2e已知函数bF且 a. 0a =2, b = 1,求函数f (x)的极值；(2)设一-,(i)当 a立，求b的最大值(1 )若a,1时，对任意 x .0, 都有g(x) _1成K(ii )设g ( x)是g ( x)的导函数，若存在x 1,使g(x)+ g (x) =0成立，求一的取aI )当 上， J时,，定义域为-111 |：,：|-:、：。所以畑=2)呼_1)严.令1,得-X-i(-L0)124+rw+0+fM/權大僖极小值.XO由表知/()的极大值是f cl,的极小值是/=4Vo(n)因为ma?) = q.x - /(2)=(鋼 - 2tt)es，当密二-时,(fix) = (x - - 2斶因为曲)2 1在刚计叫上恒成立，