平面向量的数乘及其几何意义

1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )如图如图, ,已知向量已知向量 和向量和向量 , ,作向量作向量 . .ABoabbaababba向量的加法向量的加法(平行四边形法则平行四边形法则)oABC如图如图, ,已知向量已知向量 和向量和向量 , ,作向量作向量 . .abbaabab向量的减法向量的减法( (三角形法则三角形法则) )如图如图, ,已知向量已知向量 和向量和向量 , ,作向量作向量 . .ABoabbaababba. )()()(aaaaaaa和作出：，练习：已知非零向量aaaaOABCaaaPQMN想想

2、一一想想：变变化化？和和的的长长度度与与方方向向有有什什么么相相同同的的向向量量相相加加以以后后，BCABOAOC 由图知，由图知，aaa a3记为：记为：.a3OC 即即的方向相同，的方向相同，的方向与的方向与显然显然aa3倍，倍，的长度的的长度的的长度是的长度是3aa3. |a3a3 MNQMPQPN 由图知，由图知，)()()(aaa a3 记为：记为：.a3PN 即即的方向相反，的方向相反，的方向与的方向与显然显然aa3 . |a3a3 aa一般地，实数与向量的积是一个向量， 记作，它的长度与方向规定如下：(1) |aa；(2)0aa当时，的方向与的方向相同；0aa当时，的方向与的方向

3、相反；00.a当时，问题：问题：通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义 问题：问题：你能说明它数乘意义吗？ 定义： 1从两个角度看数乘向量从两个角度看数乘向量 (1)代数角度代数角度 是实数，是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，是向量，它们的积仍是向量；另外，a0的条的条件是件是0或或a0. (2)几何角度几何角度 对于向量的长度而言，对于向量的长度而言， 当当|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向线段的有向线段在原方向在原方向(0)或反方向或反方向(0)上伸长到上伸长到|a|的的|倍；倍； 当当0|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，

4、这意味着表示向量a的有向线的有向线段在原方向段在原方向(01)或反方向或反方向(10)上缩短到上缩短到|a|的的|倍倍在物理中位移与速度的关系：在物理中位移与速度的关系：其中位移、速度，力、加速度都是向量，其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量而时间、质量都是数量s = vt，f = ma.力与加速度的关系：力与加速度的关系：n 判一判(判断下列说法的正误)n (1)实数与向量a的和a与差a是向量()n 提示：实数与向量不能作加减运算n (2)对于非零向量a，向量3a与向量3a方向相反()n 提示：3a与3a方向相反n (3)对于非零向量a，向量6a的模是向量3a的模的2倍(

5、)n 提示：|6a|6|a|2|3a|.aa2a6)2(3aaa6)2(3 实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律： aa)()( 之间的联系）与（思考：aa623a实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律： a5aaa32)32( a2a3aaa )(的联系与思考：aaa32)32(实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律： bbaba22)(2 ba)( 2ba b2baba )(的联系与思考：baba22)(2aa2定义，可得运算律：定义，可得运算律：根据实数与向量的积的根据实数与向量的积的为实数，则为实数，则、设设 )() 1 (aa)()2( )()3(ba；a)

6、(；aa.ba向量的加、减、数乘运算统称为向量向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。的线性运算。)(结合律)(第一分配律)(第二分配律5例计算：；a431 )()(；aba2ba32 )()()(. )()()(cb2a3cb3a23 解：a4) 3() 1 (a43)( ；a12 原式原式)(2ab2a2b3a3 ；b5 原式原式)(3cb2a3cb3a2 .c2b5a ab2的积表示为实数与向量量、把下列各小题中的向ab3;6,3) 1 (ebea;14,8)2(ebea;31,32)3(ebea;32,43)4(ebeaab47ab21ab988ae 23ae34ae思考思考)0(

7、 aaa有有何何关关系系？与与 结结 论：论：. ,是是共共线线向向量量，那那么么如如果果baab 思考思考 结结 论：论：？那那么么共共线线向向量量，是是与与反反过过来来，如如果果abba . abba 那那么么是是共共线线向向量量，如如果果2) 可以是零向量吗可以是零向量吗?思考思考:1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量?共线向量基本定理：共线向量基本定理： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使得，使得ababab课本课本P90 4是否共线：与量、判断下列各小题中向ba4;2,2) 1 (ebea;22,)2(2121eebeea

8、ba解：共线。与baab2解：共线。与ba例.33是否共线与试判断，已知，如图AEACBCDEABADABCDE解：解：DEADAE BC3AB3 )(BCAB3 ，AC3 共线与AEAC.ECA.33三点的位置关系。、试判断，已知，如图变式一：BCDEABAD.A且有公共点三点共线、ECA共线与AEAC例.是否共线是否共线与与试判断试判断，已知已知，如图如图AEACBC3DEAB3AD ABCDE解：解：DEADAE BC3AB3 )(BCAB3 ，AC3 BCDE3DEBC /变式二：求证：共线与 ECDBDEBC/共线与AEAC不在同一直线上与且DEBC(2)证明三点共线的问题证明三点共

9、线的问题:定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题: / CDABCDABCDABCDAB直线直线不在同一直线上与(3)证明两直线平行的问题证明两直线平行的问题: )0(三点共线、CBABCBCABOABCabbb已知任意两非零向量已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=a+bOA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b, OB=a+2b, OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？ba 2ABOBOA ababb 32ACOCOA ababb2ACAB 【例 2】 设 e1，e2是两个不共线向量，已知AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的值【解析】BDe14e2，而 A，B，D 三点共线，AB与BD共线，故存在实数，使得ABBD.即 2e1ke2(e14e2)，得2，k4，得 k8 为所求b中，解：在平行四边形ABCD.-baDBbaAC，ADBMCabADaAB,.,MDMCMBMAbaMAMBMCMD AM-AC21.2121baDB21.21-21baAC21.2121baDM-DB21ba212134.34.43.43.,31