平面向量的坐标表示(使用)

1、7.37.3平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示v在平面直角坐标系中，平面内的每一点都可以用一对有序实数来表示，这对实数就是点在平面内的坐标；反之，每一对有序实数都能确定一个点。在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也能用一对有序实数来表示呢？思考v导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导弹的飞行速度用向量 表示，若以点O为起点，作向量 ，过点P(x,y)分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 ，（2）用向量 ， 表示向量 ；（3）用单位向量e1、e2表示向量

2、 。a探究aOP OMONOMONOPOPv在平面上，建立一个直角坐标系xOy，若设x轴正方向上的单位向量为 ， y轴正方向上的单位向量为 ，则x轴上的向量总可以表示成 的形式，y轴上的向量总可以表示成 的形式，其中x，y分别是它们的终点在数轴上的坐标。 iji xjy在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量又如何处理呢的向量又如何处理呢?探索探索:oyx可通过向量的平移，可通过向量的平移，将向量的起点移到坐将向量的起点移到坐标的原点标的原点O处处. oyx解决方案解决方案: :我们将这样的起点在坐标原点处的向量称我们将这样的起点在坐标原点处的向量称为为

3、位置向量位置向量，平面上任意向量都有与它相，平面上任意向量都有与它相等的位置向量，所以研究向量的性质可以等的位置向量，所以研究向量的性质可以通过研究其相应的位置向量来实现。通过研究其相应的位置向量来实现。v对于直角坐标系平面内任意向量 ，将它的起点移至原点O，其的终点坐标为P(x,y)。以OP为对角线，作矩形OMPN，则 ， 分别表示成 与 。由向量加法的平行四边形法则可知， 即： 事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一地表示成 的形式。 aOMONi xjyONOM OPjyi x OPjyi x av我们把 叫做向量 的坐标形式，把 叫做向量 在x轴上的分向量，把 叫做向量 在y轴上

4、的分向量。把有序数对(x,y)叫做向量 在直角坐标系中的坐标，记作 ，其中x叫做向量 的横坐标， y叫做向量 的纵坐标， 叫做向量 的坐标表示。aajyi x ai xjya),(ayxaa),(ayxaa4321-1-2-3-2246ij），（ 23POOP=3 +2ij注意观察，发现一个位置注意观察，发现一个位置向量向量,只要它的终点确定了只要它的终点确定了,那这个位置向量也就确定那这个位置向量也就确定了了.位置向量的关键点位置向量的关键点4321-1-2-3-2246ijP向量的坐标表示向量的坐标表示O 点点P（x,y） 一一对应一一对应 OP=x +y =(x,y)ij向量向量OP (

5、x,y)xy一一对应一一对应 点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？( , )ax y理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上是分解出来的基底的系数。是分解出来的基底的系数。 向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任意平移，而它的坐标只有一个。意平移，而它的坐标只有一个。2121y

6、yxxba且、向量的坐标表示是一种向量与坐标的对向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义应关系，它使得向量具有代数意义. .将向量的将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标坐标就是向量的坐标. .v例题：写出下列向量的坐标表示：（1）（2）（3） )3, 5(35aji)0 , 5(5bi), 0(cjv怎样通过坐标确定两个向量相等呢？思考交流思考交流:2121yyxxba且平面向量的直角坐标运算平面向量可以用坐标表示，向量平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？的运算可以用坐标来运算吗？探究：

7、探究： （1）已知）已知a =(x1 , y1), b= (m , n) ， 求求a + b , a b .（2）已知）已知a =(x1 , y1)和实数和实数 ， 求求 a的坐标的坐标 .如何计算？如何计算？ v设 ， ，则 那么),(11yxa 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算。),(22yxb ),(2121yyxxba),(2121yyxxba两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相

8、应坐标的和与差例：已知例：已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(1122yxyx),(1212yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 v设 ， 为一实数，则 那么),(yxc 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算jyixjyi xc)()()(),(yxc 实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应的坐标量的相应的坐标v例题：已知 ， ，求 ， ， 。解：)4

9、, 3(a)3, 5( bbababa32 ) 1 , 8()3, 5()4 , 3(ba)7 , 2()3, 5()4 , 3(ba)3, 5(3)4 , 3(232 ba)17, 9()9,15()8 , 6(v设两个非零向量 ， ，当 时，x1,y1,x2,y2之间满足什么关系？反之，当这个关系成立时，能否得出 ？),(11yxa 思考交流：思考交流：),(22yxb ba/ba/2121xxyy1221xyxyv向量 ， ，当x是何值时，（1） ；（2） 与 方向相同？解：（1） （2）当x=2时， 与 方向相同。 ) 1 ,(xa ), 4(xb ba/ab; 2014/xxxbaab2211()x iy jx iy j2121()()xx iyyj),(11yxM),(22yxNMNMNOMONMN),(1212yyxxMN),(22yxN212212)()(yyxxNM问题解决：问题解决：),(1