椭圆方程及性质的应用

1、第 1 页 共 8 页椭圆方程及性质的应用椭圆方程及性质的应用教学目标1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)教材整理 1点与椭圆的位置关系设点 P(x0，y0)，椭圆x2a2y2b21(ab0).(1)点 P 在椭圆上x20a2y20b21；(2)点 P 在椭圆内x20a2y20b21；(3)点 P 在椭圆外x20a2y20b21.课堂练习已知点(2,3)在椭圆x2m2y2n21 上，则下列说法正确的是_点(2,3)在椭圆外点(3,2)在椭圆上点(2，3)在椭圆内点(2，3

2、)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，3)也在椭圆上.【答案】教材整理 2直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系及判定直线ykxm与椭圆x2a2y2b21(ab0)联立ykxm，x2a2y2b21，消去y得一个一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解02.弦长公式第 2 页 共 8 页设直线 ykxb 与椭圆的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x1x2|11k2|y1y2|.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)点 P(2,1)在椭圆x24y291 的内部.()(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.()(3)过

3、点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2y221 相交.()(4)长轴是椭圆中最长的弦.()【答案】(1)(2)(3)(4)例题分析(1)若直线 mxny4 和O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数为()A.2 个B.至多一个C.1 个D.0 个(2)已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm，问 m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？【精彩点拨】利用几何法判断直线与椭圆的位置关系.【自主解答】(1)若直线与圆没有交点，则 d4m2n22，m2n24，即m2n241.m29n241，点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有 2 个交点.【答案】A(2)将

4、yxm 代入 4x2y21，消去 y 整理得 5x22mxm210.4m220(m21)2016m2.当0 时，得 m52，直线与椭圆相切.当0 时，得52m52，直线与椭圆相交.第 3 页 共 8 页小结1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的， 的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.再练一题1.已知椭圆的方程为 x22y22.(1)判断直线 yx 3与椭圆的位置关系；(2)判断直线 yx2 与椭圆的

5、位置关系；(3)在椭圆上找一点 P，使 P 到直线 yx2 的距离最小，并求出这个最小距离.【解】(1)由yx 3，x22y22，得 3x24 3x40，(4 3)24340，直线 yx 3与椭圆相切.(2)由yx2，x22y22，得 3x28x60.6443680，直线 yx2 与椭圆相离.(3)由(1)、(2)知直线 yx 3与椭圆的切点 P 满足条件，由(1)得 P 的坐标为2 33，33 ，最小距离 d|2 3|2 262.已知椭圆x236y291 和点 P(4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点.(1)当直线 l 的斜率为12时，求线段 AB 的长度；(2)当 P

6、 点恰好为线段 AB 的中点时，求 l 的方程.【精彩点拨】(1)设直线方程联立方程组利用弦长公式求解；(2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.【自主解答】(1)由已知可得直线 l 的方程为 y212(x4)，第 4 页 共 8 页即 y12x.由y12x，x236y291，可得 x2180，若设 A(x1，y1)，B(x2，y2).则 x1x20，x1x218. 于是|AB| x1x22y1y22x1x2214x1x2252x1x224x1x2526 23 10.所以线段 AB 的长度为 3 10.(2)法一：设 l 的斜率为 k，则其方程为 y2k(x4).联立x236y291，y2

7、kx4，消去 y 得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x232k216k14k2，由于 AB 的中点恰好为 P(4,2)，所以x1x2216k28k14k24，解得 k12，且满足0.这时直线的方程为 y212(x4)，即 y12x4.法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x2136y2191，x2236y2291，两式相减得x22x2136y22y2190，整理得 kABy2y1x2x19x2x136y2y1，由于 P(4,2)是 AB 的中点，x1x28，y1y24，于是 kAB9836412，于是直

8、线 AB 的方程为 y212(x4)，即 y12x4.小结1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立， 得到关于 x(或 y)的一元二次方程， 然后结合根与系数的关系及两点间的距离第 5 页 共 8 页公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.2.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是

9、椭圆x2a2y2b21(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，由，得1a2(x21x22)1b2(y21y22)0，变形得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2b2a2x0y0，即 kABb2x0a2y0.再练一题2.椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为32， 且椭圆与直线 x2y80 相交于 P， Q，且|PQ| 10，求椭圆的方程.【解】e32，b214a2.椭圆方程为 x24y2a2.与 x2y80 联立消去 y，得 2x216x64a20，由0 得 a232，由弦长公式得 1054642(64a2).a

10、236，b29. 椭圆的方程为x236y291.探究在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？【提示】(1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.(2)解决椭圆x2a2y2b21(ab0)中的范围问题常用的关系有axa，byb；离心率 0e1；一元二次方程有解，第 6 页 共 8 页则判别式0.已知椭圆 C：x22y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上

11、，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值.【精彩点拨】(2)中，设 A，B 坐标OAOB0|AB|化为关于 x0的函数求最值.【自主解答】(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x24y221，所以 a24，b22，从而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故椭圆 C 的离心率 eca22.(2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x00.因为 OAOB，所以OAOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.又 x202y204，所以|AB|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x204x204x20224x20 x204x20

12、28x204(0 x204).因为x2028x204(01B.m1 且 m3C.m3D.m0 且 m3【解析】由yx2，x2my231，得(m3)x24mxm0.由0 且 m3，得 m1 且 m3，又m0，m1 且 m3. 【答案】B4.若过椭圆x216y241 内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_.【解析】设弦两端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2116y2141，x2216y2241，两式相减并把 x1x24，y1y22 代入得y1y2x1x212，所求直线方程为 y112(x2)，即 x2y40.【答案】x2y405.如图 214，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆y28x241的下焦点，交椭圆于 A，B 两点，求弦 AB 的长【解】令点 A，B 的