正弦定理和余弦定理(含解析)

1、第七节正弦定理和余弦定理知识能否忆起1正弦定理分类内容定理2R(R是ABC外接圆的半径)变形公式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C，sin Asin Bsin Cabc，sin A，sin B，sin C解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和另一角，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2余弦定理分类内容定理在ABC中，有a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C变形公式cos A；cos B；cos C解决的问题已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高

2、)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)小题能否全取1(2012·广东高考)在ABC中，若A60°，B45°，BC3，则AC()A4B2C. D.解析：选B由正弦定理得：，即，所以AC×2.2在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30° B45°C60° D75°解析：选Ccos A，又0°<A<180°，A60°.3(教材习题改编)在ABC中，若a18，b24，A45°，则此三角形有()A无解 B

3、两解C一解 D解的个数不确定解析：选B，sin Bsin Asin 45°，sin B.又a<b，B有两个4(2012·陕西高考)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a2，B，c2，则b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos B4122×2×2×4，所以b2.答案：25ABC中，B120°，AC7，AB5，则ABC的面积为_解析：设BCx，由余弦定理得4925x210xcos 120°，整理得x25x240，即x3.因此SABCAB×BC×sin B×3×

4、;5×.答案：(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B.(2)在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形典题导入例1(2012·浙江高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值自主解答(1)由bsin Aacos

5、B及正弦定理，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2.在本例(2)的条件下，试求角A的大小解：，sin A.A.由题悟法1应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷2已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断以题试法1ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2

6、Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2A sin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin B sin A，所以 .(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B>0，故cos B，所以B45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入例2在ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状自主解答(1

7、)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)·b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，0<A<180°，A120°.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，解得sin Bsin C.0°<B<60°，0°<C<60°，故BC，ABC是等腰的钝角三角形由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得

8、出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论注意在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解以题试法2(2012·安徽名校模拟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(4，1)，n，且m·n.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，试判断ABC的形状解：(1)m(4，1)，n，m·n4cos2cos 2A4·(2cos2A1)2cos2A2cos A3.

9、又m·n，2cos2A2cos A3，解得cos A.0<A<，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bc·b2c2bc.又bc2，b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b ，于是abc ，即ABC为等边三角形与三角形面积有关的问题典题导入例3(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.自主解答(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsi

10、n C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.由题悟法1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用2在解决三角形问题中，面积公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用以题试法3(2012·江西重点中学联考)在ABC中，cos 2Acos2Acos A.(1)求角A的大小；(2)若a3，sin B2si

11、n C，求SABC.解：(1)由已知得(2cos2A1)cos2Acos A，则cos A.因为0<A<，所以A.(2)由，可得2，即b2c.所以cos A，解得c，b2，所以SABCbcsin A×2××.1在ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Ca<bA<Bcos A>cos B.2(2012·泉州模拟)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边若A，b1，ABC的面积为，

12、则a的值为()A1 B2C. D.解析：选D由已知得bcsin A×1×c×sin，解得c2，则由余弦定理可得a2412×2×1×cos3a.3(2013·“江南十校”联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c2，1，则C()A30° B45°C45°或135° D60°解析：选B由1和正弦定理得cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，所以cos A，则A60°.由正弦定理得，则s

13、in C，又c<a，则C<60°，故C45°.4(2012·陕西高考)在ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为()A. B.C. D解析：选C由余弦定理得a2b2c22abcos C，又c2(a2b2)，得2abcos C(a2b2)，即cos C.5(2012·上海高考)在ABC中，若sin2 Asin2B<sin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解析：选C由正弦定理得a2b2<c2，所以cos C<0，所以C是钝角，故ABC是

14、钝角三角形6在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b2asin B，则角A的大小为_解析：由正弦定理得sin B2sin Asin B，sin B0，sin A，A30°或A150°.答案：30°或150°7在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_解析：由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.答案：8(2012·北京西城期末)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2，B，sin C，则c_；a_.解析：根据正弦定理得，则c2，再由余弦定理得b2a2c22accos B，即a24a120，(a2

15、)(a6)0，解得a6或a2(舍去)答案：269(2012·北京高考)在ABC中，若a2，bc7，cos B，则b_.解析：根据余弦定理代入b24(7b)22×2×(7b)×，解得b4.答案：410ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求B；(2)若A75°，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45°.(2)sin Asin(30°45°)sin 30°cos

16、45°cos 30°sin 45°.故ab×1，cb×2×.11(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a2bsin A0.(1)求角B的大小；(2)若ac5，且a>c，b，求·的值解：(1)因为a2bsin A0，所以 sin A2sin Bsin A0，因为sin A0，所以sin B.又B为锐角，所以B.(2)由(1)可知，B.因为b .根据余弦定理，得7a2c22accos，整理，得(ac)23ac7.由已知ac5，得ac6.又a>c，故a3

17、，c2.于是cos A，所以·|·|cos Acbcos A2××1.12(2012·山东高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.解：(1)证明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B·，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(A

18、C)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比数列(2)因为a1，c2，所以b，由余弦定理得cos B，因为0<B<，所以sin B，故ABC的面积Sacsin B×1×2×.1(2012·湖北高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b20acos A，则sin Asin Bsin C为()A432 B567C543 D654解析：选D由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设cn，bn1，an2(n>1，且

19、nN*)，则由余弦定理可得3(n1)20(n2)·，化简得7n213n600，nN*，解得n4，由正弦定理可得sin Asin Bsin Cabc654.2(2012·长春调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2cos 2C，且ab5，c，则ABC的面积为_解析：因为4sin2cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根据余弦定理有cos C，aba2b27,3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6，所以ABC的面积SABCabsin C×6&#

20、215;.答案：3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2bc)cos Aacos C0.(1)求角A的大小；(2)若a，SABC，试判断ABC的形状，并说明理由解：(1)法一：由(2bc)cos Aacos C0及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin(AC)0，sin B(2cos A1)0.0<B<，sin B0，cos A.0<A<，A.法二：由(2bc)cos Aacos C0，及余弦定理，得(2bc)·a·0，整理，得b2c2a2bc，cos A，0<A<，A.(2)SABCbcsin A，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos A，a，A，b2c26，由得bc，ABC为等边三角形1已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边若a1，b，AC2B，则sin C_.解析：在ABC中，AC2B，B60°.又sin A，A30°或150°(舍)，C90°，sin C1.答案：12在ABC中，a2bco