2014年春季学期固体物理第三章

1、第三章第三章 晶格振动与晶体热学性质（晶格动力学）晶格振动与晶体热学性质（晶格动力学）3.1 3.1 一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动3.2 3.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动3.3 3.3 三维晶格振动三维晶格振动3.4 3.4 正则坐标、声子正则坐标、声子3.5 3.5 晶格振动模式密度晶格振动模式密度 3.1 3.1 一维晶格振动一维晶格振动3.1-1 3.1-1 一维单原子晶格振动方程及其解一维单原子晶格振动方程及其解N N个全同原子一维布拉菲晶格，绝对零度下，原子在格点上，个全同原子一维布拉菲晶格，绝对零度下，原子在格点上，l 模型模型a0nxna第第 个原子的平衡位置

2、个原子的平衡位置n0nx02nx01nx01nx02nx0mx原子质量原子质量晶格常数晶格常数aMnaxn0晶格总长度晶格总长度 LNa f xxa 在不很高的温度下，原子围绕格点在不很高的温度下，原子围绕格点（平衡点）微振动，（平衡点）微振动， xx0nx0nxa 时刻，第时刻，第 个原子瞬时位置个原子瞬时位置 时刻，第时刻，第 个原子偏离平衡点的位移个原子偏离平衡点的位移,nuu na t0( )nnnnx txunauttnn0nx02nx01nx01nx02nx2nu1nunu1nu2nu0mxmul原子振动的运动方程（动力学方程）原子振动的运动方程（动力学方程） 时刻，第时刻，第 两

3、个原子的瞬时位置，两个原子的瞬时位置，nnm、t0( )n mn mn mn mxtxunm au0( )nnnnx txunau,0,( )( )n m nn mnn mnn mnn m nn m nxxtx tnm aunaumauuxu1,2,m 时刻，第时刻，第 两个原子的间距，两个原子的间距，nnm、t-两原子瞬时相对位移两原子瞬时相对位移,n m nn mnuuu0,n m nxma-两原子平衡间距两原子平衡间距 两原子间相互作用势能，两原子间相互作用势能，0,nm nnm nnmxxu由于原子微振动，两原子的瞬时相对位移远小于其平衡间距，由于原子微振动，两原子的瞬时相对位移远小于

4、其平衡间距，0,n m nn m nux将相互作用势能在两原子平衡间距点（势能极小值点）作泰勒将相互作用势能在两原子平衡间距点（势能极小值点）作泰勒展开，展开，22,2,1()()2nm nnm nnm nnm nnm nmamaxmauuxx nnm、第第 个原子与晶格其它原子的总相互作用能，个原子与晶格其它原子的总相互作用能，22,2()()(),22,2()(),1()21()2nn m nn m nmnmnmnn m nn m nmaman m nmnmnn m nmaUmauuxxmaux2,2,nm nn nmnm nmax定义恢复力系数定义恢复力系数n2,()()12nn nmn

5、m nmnmnUmau三 次 或 三 次 以 上 项2,()12nnn n mn m nmnnnUFuuu ,()()n n mn mnmnuu第第 个原子偏离平衡位置时受到的总作用力，个原子偏离平衡位置时受到的总作用力，n得到，得到，第第 个原子的运动方程（动力学方程），个原子的运动方程（动力学方程），n2,2()()nn nmnmnmnd uMuudt 1, 2,3,n 原子绕格点弹性振动（谐振），振动位移与弹性力成正比，原子绕格点弹性振动（谐振），振动位移与弹性力成正比，l 运动方程的近似运动方程的近似,()nn nmnmnmnFuu 简谐近似简谐近似2,2()()nn nmnmnmnd

6、 uMuudt第第 个原子的运动方程（动力学方程）简化为，个原子的运动方程（动力学方程）简化为，n只考虑最近邻原子相互作用势能，并且只考虑最近邻原子相互作用势能，并且 ，得到，得到， 最近邻近似最近邻近似211112()()(2)nnnnnnnnd uMuuuuuuudt 2120122231222112(2)(2)(2)nnnnd uMuuudtd uMuuudtd uMuuudt的的N N个齐次方程个齐次方程 012uuu ，,1,1n nn n温度不很高条件下，原点（温度不很高条件下，原点（ ）原子围绕格点微振动（谐振动）原子围绕格点微振动（谐振动） xx00 x用复指数表示原点原子用复

7、指数表示原点原子t t 时刻的振动位移，时刻的振动位移，0cossini tuAeAtit2A- - 振幅振幅- - 谐振动圆频率谐振动圆频率00 xt0cosuAttxl 运动方程的一般解（格波）运动方程的一般解（格波）00 x谐振动参考圆谐振动参考圆 参考点参考点 格点平衡位置格点平衡位置 一维原子链正方向一维原子链正方向t 变化变化 ，参考点投影围绕原，参考点投影围绕原点完成一次谐振动周期点完成一次谐振动周期参考点投影参考点投影2x0u0nxcosxAt nqa 原点原子的振动传递到其它原子，由于晶格平移对称性，晶格原点原子的振动传递到其它原子，由于晶格平移对称性，晶格中任意一个其它原子

8、中任意一个其它原子 的振幅和振动频率与原点原子相同，但位的振幅和振动频率与原点原子相同，但位相相差相相差 。得到第。得到第 个原子的振动位移，个原子的振动位移，2nanaqxtAtx1, 2,3,n nRnatnaqiRq inAeeutnaun0,nqa1q波 的 传 播 方 向nn波传播方向波传播方向t2q 原子集体振动形成波长原子集体振动形成波长 的简谐波，称为一个的简谐波，称为一个格波格波(Lattice Wave)(Lattice Wave)或晶格振动的一个或晶格振动的一个简正模简正模。2q- - 格波波矢格波波矢 1, 2,3,n nRnan a qn- - 第第 个原子的振动位相

9、个原子的振动位相 tnaqiRq inAeeutnaun0,于是于是, ,得到第得到第 个原子的运动方程的一般解（个原子的运动方程的一般解（格波解格波解），），n当两原子振动位相差当两原子振动位相差 整数倍时，它们的振动位移相等。整数倍时，它们的振动位移相等。()()()i maqtminaqti m n aqi m n aqnuAeAeeu e22mnaql2ilmnnuu eul 振动位移的周期性振动位移的周期性3.1-2 3.1-2 一维单原子晶格格波的性质一维单原子晶格格波的性质22241cossin2qaqaMM4sinsin22mqaqaM22iaqiaqnnnnMueueuu()

10、( )qql 色散关系（圆频率色散关系（圆频率- -波长关系）波长关系）将格波代入运动方程，得到一维单原子晶格格波色散关系，将格波代入运动方程，得到一维单原子晶格格波色散关系，aqa4mM2()( )hqGqhiqa 22sin2mhqahaqqa2a2hGhiaqaa由于倒格子周期性，波矢在第一布里渊区取值即可，由于倒格子周期性，波矢在第一布里渊区取值即可，由于一维晶格倒格矢由于一维晶格倒格矢 ，得到色散关系周期性的倒格，得到色散关系周期性的倒格矢表示，矢表示，l 色散关系的周期等于色散关系的周期等于0,1,2,h （波矢相差倒格（波矢相差倒格矢的两个格波的矢的两个格波的原子振动相同）原子振

11、动相同） xnuaaaa例：例：21,42qBZaaq波矢相差一个倒格矢的两个格波的原子振动相同波矢相差一个倒格矢的两个格波的原子振动相同 254,225haqqGaaa sin2pmqaqq格波相速度（波速），格波相速度（波速）， l 格波相速度、群速度及与波矢的关系格波相速度、群速度及与波矢的关系aqa （波速等于振动位相传播速度，称为相速度）（波速等于振动位相传播速度，称为相速度） 格波群速度，格波群速度， cos2gdqaadqM当格波波长比晶格常数大得多当格波波长比晶格常数大得多 ，20q4sin2qaaqMM paMgaM的格波称为声学波的格波称为声学波 0q （声速，与波矢无关）

12、（声速，与波矢无关）（与波矢无关）（与波矢无关）l 长波近似长波近似aqaa晶格结构可忽略，色散关系与一维晶格结构可忽略，色散关系与一维连续弹性介质中的声波连续弹性介质中的声波相同，相同，0sin xxcos1x 当当 时，时， 0 x 2qa limsin2mmqaqa,0mpgal 短波近似短波近似aqa1i natni ntitanuAeAeAe 时，相邻原子振动相位相反，形成驻波，时，相邻原子振动相位相反，形成驻波， qa0nx02nx01nx01nx02nx0mxnunuttnu1nu平衡位置平衡位置 NnnuuNaN N个原子构成的一维晶格周期性边界条件，个原子构成的一维晶格周期性

13、边界条件，3.1-3 3.1-3 一维单原子晶格的振动模式一维单原子晶格的振动模式l 周期性边界条件（玻恩周期性边界条件（玻恩- -卡曼边界条件）卡曼边界条件）a()()itNaqnaqitnaqNnnuAeuAe12iNaqeNaqh由周期性边界条件，由周期性边界条件，2,0,1,2hqhN a2haN aa22NNhqaa而而h取取N N个不同整个不同整数值数值得到，得到， 独立格波波矢个数（独立格波波矢个数（独立振动模式独立振动模式）= N= N（原胞数）（原胞数）l 一维单原子晶格格波波矢数一维单原子晶格格波波矢数( (格波个数）等于原胞数格波个数）等于原胞数每个波矢点所占体积，每个波

14、矢点所占体积， 1b对一维晶格，格波波矢点对一维晶格，格波波矢点 在一维波矢空间均匀分布，在一维波矢空间均匀分布， hN111 22qLbNNaL波矢点分布密度，波矢点分布密度， 12qLqL123222baajkiaa1,01Ni qqnaq qneNl 周期性边界条件下，所有的晶格振动模式构成正交、完备集周期性边界条件下，所有的晶格振动模式构成正交、完备集- - 正交性正交性 2hqN a证明：证明： 22,qqhhs shhN aN a211002,2111,01 10,01sNNini qqnaNnnish hsiNeeNNshheNshhe当当2hqN a 1,01Ni nnqan

15、nqeN- - 完备性完备性 证明：证明： 110011NNi nnqai nan a qqqeeNN当当 时，时， nan a 10111NqN当当 时，设时，设 nan a nan asa1120011shNNii nan a qNqqeeNN2hqN a22NNh设设 2Nhl21220221201111101Ns lshNiiNNqlsiNsssNNilNsilNeeNNeeNNe0 ,1, 2 ,(1)lN得到，得到， 122NNh3.3.一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动(, )nnad ta(, )nuna td基元基元a1nu1 1、基元中两原子距离、基元中两原子距离2 2、

16、相距、相距 的两原子的恢复力系数的两原子的恢复力系数3 3、基元中两原子的恢复力系数、基元中两原子的恢复力系数4 4、原子质量、原子质量5 5、2ad m21ad假设：假设：1nu1n1n2121,()nnadx2221,nndx在简谐近似、最近邻近似下，在简谐近似、最近邻近似下，l 运动方程运动方程1, 2,3,nNl 运动方程格波解运动方程格波解 2211222112nnnnnnnnnnd umuudtdmuudt ()()i naqtni naqtnuAeBe（原胞数）（原胞数）nnuABl色散关系色散关系2121221212()0()0iqaiqamAeBeAmB2121221212(

17、)0()iqaiqameem24212122()21cos()0mmaq 21221212121cos()qamm 12222112212cos()qamm l色散关系色散关系2121221212()0()0iqaiqamAeBeAmB2121221212()0()iqaiqameem24212122()21cos()0mmaq 2122121212221212121cos()12cos()aqmmaqmm 1222212121212cos()Aaqmm 1222212121212cos()oaqmm 光学支格波色散关系（光学模），光学支格波色散关系（光学模）， 声学支格波色散关系（声学模），

18、声学支格波色散关系（声学模）， 21211/ 2222111/ 2222121cos()sin()cos()sin()2cos()iaqeaqiaqaqaqaq 因为，因为，212211iaqemm声学支、光学支格波色散关系又等于，声学支、光学支格波色散关系又等于，q光学波光学波声学波声学波2min2om1max2Am12max2()ommin0A禁带（禁止振动模式）禁带（禁止振动模式）禁带宽度禁带宽度B B minmaxoAaa禁带禁带l声学波、光学波及其物理意义声学波、光学波及其物理意义在同一时刻，基元中两个原子的振动位移之比，在同一时刻，基元中两个原子的振动位移之比，而而nnBuA212

19、12()0iqamAeB12212()iqaeBAm 212211iaqemm2121ia qia qeBAe2121iaqiaqeBAe 基元中两个原子同方向振动，形成相同振动幅度长声学波。这基元中两个原子同方向振动，形成相同振动幅度长声学波。这种振动可用种振动可用基元质心基元质心的振动形成的长声学波描述（与声波类似）。的振动形成的长声学波描述（与声波类似）。当波矢当波矢 （ ），若取正号，），若取正号，BA波传播方向波传播方向t0q 0A1BA 2121iaqiaqeBAe 基元中两个原子相反振动，形成基元中两个原子相反振动，形成长纵光学波长纵光学波，波传播方向波传播方向t 当波矢当波矢

20、（ ），若取负号，），若取负号，0q 若基元含一个正离子，一个负离子，形成若基元含一个正离子，一个负离子，形成电偶极矩长纵光学波电偶极矩长纵光学波，1波传播方向波传播方向+-t正离子密正离子密负离子疏负离子疏正离子疏正离子疏负离子密负离子密正离子密正离子密负离子疏负离子疏正离子疏正离子疏负离子密负离子密正离子疏正离子疏负离子密负离子密波传播方向波传播方向E+-Et当波矢在布里渊区中心附近，当波矢在布里渊区中心附近，21cos12aqaq qa122221212121222212121212cos()11212aqmmaqmm 1222221212121222121212122212121212

21、21212112121112Aaqmmaqmmaqaqmmm 12122()Aa qm 得到，得到，同理，波矢趋向布里渊区中心时的光学支色散关系，同理，波矢趋向布里渊区中心时的光学支色散关系， 1222221212121222121212121221212112122112Oaqmmaqaqmmmm 在布里渊区边界附近，无论是声学波或光学波，相邻原胞振在布里渊区边界附近，无论是声学波或光学波，相邻原胞振动位相相反。基元中两个原子分别形成驻波，群速度为零。动位相相反。基元中两个原子分别形成驻波，群速度为零。当波矢趋近布里渊区边界，当波矢趋近布里渊区边界，qa 21211ia qia qeBAe若

22、若 ，为声学波，其色散关系，为声学波，其色散关系，AB12Am22Om若若 ，为光学波，其色散关系，为光学波，其色散关系，AB 1222212121212cos()oaqmm 1222212121212cos()Aaqmm l一维双原子晶格周期性边界条件、振动模式数一维双原子晶格周期性边界条件、振动模式数N N个个原原胞一维双原子晶格周期性边界条件，胞一维双原子晶格周期性边界条件，0,1,2h 2qhN annNnnNuu，1iNaqe()()i naqti naqtnnuAeBe，2Naqhqaa波矢在第一布里渊区取值，波矢在第一布里渊区取值，22NNh 波矢取值有波矢取值有N N个独立值（

23、个独立值（原原胞数）。胞数）。 每个波矢对应一个声学波圆频率和一个光学波圆频率。每个波矢对应一个声学波圆频率和一个光学波圆频率。N N个个原原胞一维双原子晶格共有胞一维双原子晶格共有2N2N个独立振动模式（自由度）。个独立振动模式（自由度）。例、二维正方晶格振动例、二维正方晶格振动mm-1 m-2m+2m+1a11,1,1,1,()()(2)lml ml mlmlmlml mfuuuuuuu第（第（m, lm, l）原子与最近邻两列（）原子与最近邻两列（l+1, l-1l+1, l-1）原子相互作用力，）原子相互作用力，l1l 2l 1l 2l 第（第（m, lm, l）原子与最近邻两行（）原

24、子与最近邻两行（m+1, m-1m+1, m-1）原子相互作用力，）原子相互作用力，)2()()(,1,1,1,1,2mlmlmlmlmlmlmluuuuuuuf第（第（m,lm,l）原子的运动方程，）原子的运动方程， 2,1,1,1,1,2(2)(2)l mlmlml ml ml ml md uMuuuuuudt,(0)exp ()l mxyuui lq amq at设二维正方格子格波形式解，设二维正方格子格波形式解， 得到，得到， 2,221,1,1,1() (0)exp ()(0)exp ()(0)exp ()(0)exp ()(0)exp ()xxyyl mxyiq almxyq al

25、mxyiq al mxyiqal mxyd uMMui lq amq atdtuuei lq amq atuuei lq amq atuuei lq amq atuuei lq amq at2(2)(2)2 cos()cos()2yyxxiq aiq aiq aiq axyMeeeeq aq a代入运动方程，得到，代入运动方程，得到， 3.2 3.2 三维晶格振动三维晶格振动三个基矢方向的原胞数三个基矢方向的原胞数123NNN，原胞中原子数原胞中原子数n112233lRl al al a晶格平移矢量晶格平移矢量1a2a3alRljRjr(1,2,)jMjn第第 个原胞中第个原胞中第 个原子质量

26、个原子质量 jljljRRr第第 个原胞中第个原胞中第 个原子平衡位置矢量个原子平衡位置矢量ljlju第第 个原胞中第个原胞中第 个原子在个原子在 方向的瞬时位移方向的瞬时位移 j1, 2,3il l 1, 2,3lljul第第 个原胞个原胞l第第 原胞中第原胞中第 个原子偏离平衡位置受到的弹性势能，个原子偏离平衡位置受到的弹性势能，002012l jljljl jljll jjl jljRRuuRR 定义恢复力系数，定义恢复力系数，002,l jljljl jl jljRRRR ljll jjljlj 两个原胞间距两个原胞间距 不随振动改变，所以，不随振动改变，所以，, l l()llRR,

27、ljl jjjllRR 2,2ljjjjlll jl jd uMRRudt 第第 个原胞中第个原胞中第 个原子的运动方程（简谐近似、最近邻近似），个原子的运动方程（简谐近似、最近邻近似），lj3nN共共 个齐次微分方程个齐次微分方程123NN N N-原胞中原子数原胞中原子数nl,1,2,3 -最近邻原胞数最近邻原胞数 1,2,jnN-原胞数原胞数运动方程的一般解（格波解），运动方程的一般解（格波解），()li q RtljjuqAqe 将一般解带入运动方程，得到三维晶格色散关系，将一般解带入运动方程，得到三维晶格色散关系，2lli q Ri q Rjjjjjlll jMAqeAqRRe ()

28、2()lllliqRRjjjjjlll jiqRRjjlljjlMAqAqRReRReAq ()lliqRRjjjjlllqRRe2jjjjjjMAqqAq令令,1, 2 ,;,1, 2 , 3jjn共共3n3n个线性齐次方程个线性齐次方程132111111113211212111321131311()()()jjjjjjjjjMAqq AqMAqq AqMAqq Aq 例、原胞含一个原子的三维晶格振动方程，例、原胞含一个原子的三维晶格振动方程， 要使要使 有非零解，必有有非零解，必有 ，( )jAq2( )0jjjjjqM 得到关于得到关于 的的 次方程次方程所确定的所确定的 个色散关系，个

29、色散关系，2 每个色散关系称为一支格波，共每个色散关系称为一支格波，共 支。支。 频率最低的频率最低的3 3支格波描述原胞质心运动（原胞各原子同向振动），支格波描述原胞质心运动（原胞各原子同向振动），称为声学波，包括一支纵声学波，两支横声学波。称为声学波，包括一支纵声学波，两支横声学波。 其余其余 支格波描述原胞内各原子间相对运动，称为光学波，支格波描述原胞内各原子间相对运动，称为光学波，包括包括2(n-1)2(n-1)支横光学波支横光学波,(n-1),(n-1)支纵光学波。支纵光学波。 ,1,2,3sqsn,1, 2 ,;,1, 2 , 3jjn33nn行列 行列式3 n3 n3 n(3-3

30、)n由于由于jjhjjqGqshsqGql 三维晶格的周期性边界条件、波矢分布密度三维晶格的周期性边界条件、波矢分布密度iljlNjuu三个基矢方向上的原胞数三个基矢方向上的原胞数123NNN，1,2,3i ()( )( )lliii q Rti qRN atjjAq eAq e1i iiq N ae1qBZ111222333222iiqN ahqN aqN ahqN ah123,0,1,2,hhh 33121231123iiiihhhhqbbbbNNNN取波矢取波矢 22iiiiibh bbN22iiiNNh 取值个数取值个数q123NN N N123,b bb - - 倒格子基矢倒格子基矢

31、1,2,3i 1i 2i 3i 每个波矢点所占体积，每个波矢点所占体积， 1b2b3b波矢点波矢点 在倒格子空间（波矢空间）均匀分布，在倒格子空间（波矢空间）均匀分布， 312123,hhhNNN123123331112211qVbbbNNNNNV波矢点分布密度，波矢点分布密度， 312qVqV每个波矢点所占面积，每个波矢点所占面积， 1b2b对二维晶格，格波波矢点对二维晶格，格波波矢点 在二维波矢空间均匀分布，在二维波矢空间均匀分布， 1212,hhNN22121222111qSbbNNNsS波矢点分布密度，波矢点分布密度， 212qSqS12322231122222baaakakssbaa

32、kas每个波矢点所占体积，每个波矢点所占体积， 1b对一维晶格，格波波矢点对一维晶格，格波波矢点 在一维波矢空间均匀分布，在一维波矢空间均匀分布， hN111 22qLbNNaL波矢点分布密度，波矢点分布密度， 12qLqL123222baajkiaal 金刚石晶格格波金刚石晶格格波声学支格波声学支格波光学支格波光学支格波横声学波横声学波1 1横声学波横声学波2 2纵声学波纵声学波格波格波 N N个原胞（原胞中有两个不等价原子）构成的金刚石晶格共个原胞（原胞中有两个不等价原子）构成的金刚石晶格共6N6N个格波。个格波。6N6N个格波分个格波分6 6支，支， 3 3支光学波，支光学波，3 3支声

33、学波。每支包支声学波。每支包括括N N个独立振动模式。个独立振动模式。横光学波横光学波1 1横横光学光学波波2 2纵纵光学光学波波110110金刚石晶格振动沿金刚石晶格振动沿110 110 的格波与波矢关系的格波与波矢关系横横1 1纵纵纵纵横横2 2光学波光学波声学波声学波q横横2 2横横1 1长长波波范范围围短波范围短波范围2110q 一维单原子晶格第一维单原子晶格第 个原子在第个原子在第 个振动模式下，个振动模式下，3.4 3.4 正则坐标、声子（晶格简谐振动的量子理论）正则坐标、声子（晶格简谐振动的量子理论）3.4-1 3.4-1 正则坐标下的晶体简谐振动正则坐标下的晶体简谐振动(),h

34、hi naqtn hhuA e222hhqNaNNh，221cos()hhq aMnh2,1,1,2(2)n hnhnhn hd uMuuudt瞬时位移瞬时位移波矢波矢运动方程运动方程色散关系色散关系(),hhhhi naqtnn hhqquuA e第第 个原子总振动位移，个原子总振动位移，n N N个原子总相互作用势能，个原子总相互作用势能，20112nnnnnnnuu00n令令一维晶格总振动能量，一维晶格总振动能量，动能动能势能势能引入正则变换（正则坐标），引入正则变换（正则坐标），()hithhQ qNM A e1()hithhA eQ qN M212nnnnEMuN- - 原胞数原胞数

35、M- - 原子质量原子质量hA- - 振幅振幅h- - 振动圆频率振动圆频率hq- - 波矢波矢nnduudt- - 第第 个原子的运动速度个原子的运动速度n1()hhinaqnhquQ qeNM111()()NinaqinaqNQ qeQ qeNM1hinaqeNM 是原子振动位移的一个本征态，是原子振动位移的一个本征态， 12111,NinaqinaqinaqeeeNMNMNM构成构成N N维维正交正交态空间态空间1()hhinaqnhquQ qeNM(1)11()hhi naqnhquQ qeNM1()hhinaqnhquQqeNM 得到，第得到，第 个原子的瞬时振动位移，个原子的瞬时振

36、动位移， n由于原子振动位移是实数，由于原子振动位移是实数， ，即，即， nnuu1()hhinaqhqQqeNM()()hhQqQq1()()211()()2hhhhhhhhinaqinaqhhnqqi qqnahhqqnQ qeQ qeNQ qQ qeN 212nnMu1()hhinaqhqQqeNM正交性正交性 ,1()()2hhhhhhqqqqQ qQ q 211()()()22hhhhhqqQqQqQq211,1()2111121112112hhhhhhhhhhhhhhhhhhhnnninaqiq ainaqiq ahhnqqi qqnaiq aiq ahhqqniq aiq ahh

37、qqqqquuQ qeeQ qeeNMQ qeQ qeeMNQ qeQ qeM 222112121cos212hhhhhiq aiq ahhqhhqhhqQ qeQqeMaqQ qMQ q 得到正则坐标下，一维单原子晶格振动总能量，得到正则坐标下，一维单原子晶格振动总能量，21()2hhqQq2212hhhqQq22111()22nnnnnEMuuu 一维原子晶格振动等效为波矢空间中一维原子晶格振动等效为波矢空间中N N个独立谐振子，总个独立谐振子，总能量为能量为N N个谐振子振动能量之和。个谐振子振动能量之和。 量子力学指出，在微观尺度内，谐振动粒子（谐振子）的能量量子力学指出，在微观尺度内

38、，谐振动粒子（谐振子）的能量本征值本征值必须必须量子化，其波函数才满足单值、有限和连续要求。量子化，其波函数才满足单值、有限和连续要求。 0,1, 2,12hhhhnEn- - 整数量子数整数量子数 3.3-2 3.3-2 声子（晶格简谐振动能量的量子化）声子（晶格简谐振动能量的量子化）l 声子的定义声子的定义hhn零点振零点振动能动能频率频率 的谐振子的能量为，的谐振子的能量为，h- - 谐振子能量子谐振子能量子 所以，所以，N N个原胞、原胞含个原胞、原胞含 个原子的三维晶格振动总能量，个原子的三维晶格振动总能量，33,12hhhnNnNshs qshsqsqEEqnq shq- - 声子

39、（格波能量子）声子（格波能量子） 所以，晶格振动能量以声子为最小单位的不连续值构成。所以，晶格振动能量以声子为最小单位的不连续值构成。n112233hqh bh bh b22iiiNNh,hs qn一定温度下，平均声子数服从玻色一定温度下，平均声子数服从玻色- -爱因斯坦统计分布，爱因斯坦统计分布， shq,/11hsss qB EkTnfe-平均声子数（热平衡晶体中，平均声子数（热平衡晶体中， 格波的存在几率）格波的存在几率）s- - 支格波编号支格波编号 hq- - 波矢波矢 l 玻色玻色- -爱因斯坦统计分布与波尔兹曼统计分布爱因斯坦统计分布与波尔兹曼统计分布例：例：N N个原子的一维单

40、原子晶格振动总能量个原子的一维单原子晶格振动总能量sin2hhmq asin2hhmq aE 声子声子hE0h 1h 2h h 12hNhhqEn晶格振动总能量，晶格振动总能量，l 声子的性质声子的性质粒子性粒子性声子能量声子能量shq声子准动量声子准动量112233hqh bh bh b 声子不是真实粒子，只存在晶体中。晶格原子绕格点谐振，声子不是真实粒子，只存在晶体中。晶格原子绕格点谐振，没有质量定向运动，不产生真实动量，声子只有准动量。没有质量定向运动，不产生真实动量，声子只有准动量。 声子是具有能量、准动量、零自旋的声子是具有能量、准动量、零自旋的“准粒子准粒子”（玻色子（玻色子bos

41、ons ），与其它粒子作用时，声子数不守恒。），与其它粒子作用时，声子数不守恒。波动性波动性(),hhi nthhaqnuA e频率频率 的声子等效为格波，的声子等效为格波，统计性统计性 一定温度下，晶体中能量为一定温度下，晶体中能量为 的平均声子数由玻色的平均声子数由玻色- -爱爱因斯坦统计给出，因斯坦统计给出，h,s qhhhhsshsqhnk Ts qsqs qnk Tsqnene hshqsxkT,0lns qhs qhnxndedx 2ln1xxdeedx,0,0s qhhs qhhs qhs qhnxs qns qnxnnene/11ln111sxkTxdedxee,0hs qn,

42、hs qskTn令 从波色从波色- -爱因斯坦分布得出：爱因斯坦分布得出： 一定温度下，低频声子数多于高频声子数；一定温度下，低频声子数多于高频声子数； 当温度趋向绝对零度，晶格热振动趋于零，当温度趋向绝对零度，晶格热振动趋于零， 当温度很高时，平均声子数与温度成正比，与频率成反比，当温度很高时，平均声子数与温度成正比，与频率成反比，l 玻色玻色- -爱因斯坦统计分布与波尔兹曼统计分布爱因斯坦统计分布与波尔兹曼统计分布 声子是晶格原子集体振动声子是晶格原子集体振动能量能量的量子；的量子； 晶格振动能量等效为晶格振动能量等效为 个声子组成的声子气个声子组成的声子气 ，服从玻色服从玻色- -爱因斯

43、坦统计分布；爱因斯坦统计分布； 声子与其他粒子相互作用时，遵守能量守恒、动量守恒；声子与其他粒子相互作用时，遵守能量守恒、动量守恒； 晶格振动状态变化，等效为格波能量减少或增加一个声子；晶格振动状态变化，等效为格波能量减少或增加一个声子； l 声子对描述晶格振动的意义声子对描述晶格振动的意义3nN 计算波矢空间波矢点密度；计算波矢空间波矢点密度； 计算波矢空间等频面计算波矢空间等频面 体积；体积； 与状态密度相乘，得到与状态密度相乘，得到 状态数；状态数； 由定义得到模式密度；由定义得到模式密度； hhhqqdqhhhqqdq3.5 3.5 声子谱密度（振动模式密度）和计算方法声子谱密度（振动

44、模式密度）和计算方法模式密度（单位频率间隔内的振动模式数），模式密度（单位频率间隔内的振动模式数），()dngd计算方法，计算方法，1b2b3b qdq q三维晶格波矢点在波矢空间均匀分布，三维晶格波矢点在波矢空间均匀分布，32qVV波矢点在波矢空间分布密度波矢点在波矢空间分布密度 32Vql 波矢空间波矢点（状态）密度波矢空间波矢点（状态）密度二维晶格波矢点在波矢空间均匀分布，二维晶格波矢点在波矢空间均匀分布，22qSS波矢点在波矢空间的分布密度波矢点在波矢空间的分布密度 22Sq一维晶格每个波矢点在波矢空间均匀分布，一维晶格每个波矢点在波矢空间均匀分布，2qLL波矢点在波矢空间分布密度波矢

45、点在波矢空间分布密度 2Lq波矢点所占波矢空间体积波矢点所占波矢空间体积波矢点所占波矢空间面积波矢点所占波矢空间面积波矢点所占波矢空间长度波矢点所占波矢空间长度l 等频面等频面 的体积的体积 qqdq-等频面面积元等频面面积元-波矢沿等频面面积波矢沿等频面面积元元法线增量法线增量qqnSdVdS dqqdSndq ( )qxyzqqqqijkqqq1b2b3b qdqqdSndq qS-等频面等频面 q因为，因为， ( )qndqdq 222xyzqqqqqq( )qqSqddVdSq对二维晶格，其等频面是圆周线，对二维晶格，其等频面是圆周线，qdq2qdVqdq两圆周间面积，两圆周间面积， qdq qdq q1b2b